Definizione di frazioni miste, unitarie, omogenee ed eterogenee

Misto. Una frazione mista è costituita da un numero intero maggiore o uguale a uno e da una frazione propria, l'ortografia generale di una frazione misto è della forma: \(a + \frac{c}{d},\) la cui scrittura compatta è: \(a\frac{c}{d},\;\), cioè: \(a\ frazione{c}{d} = a + \frac{c}{d}\). Il numero \(a\) è chiamato la parte intera della frazione mista e \(\frac{c}{d}\) è chiamato la sua parte frazionaria.

omogeneo. Se due o più frazioni hanno lo stesso denominatore si dice che sono come frazioni. Ad esempio, le frazioni \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{{ 10}}{4}\) sono omogenee perché hanno tutte lo stesso denominatore, che in questo caso è \(4\). Mentre le frazioni \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{5} { 2}\) non lo sono frazioni omogenee poiché il denominatore di \(\frac{5}{2}\) è \(2\) e il denominatore delle altre frazioni è \(4\). Uno dei vantaggi delle frazioni omogenee è che le operazioni aritmetiche di addizione e sottrazione di funzioni sono molto semplici.

eterogeneo. Se due o più frazioni, almeno due di esse non hanno lo stesso denominatore, allora queste frazioni sono dette frazioni eterogenee. Le seguenti frazioni sono eterogenee: \(\frac{3}{5},\;\) \(\frac{7}{5}\), \(\frac{1}{4},\) \(\ frac{2}{5}\).

unitario. Una frazione è identificata come unità se il numeratore è uguale a 1 \(1,\) \(2\). Le seguenti frazioni sono esempi di frazioni unitarie: \(\frac{1}{2},\;\) \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\), \(\;\frac{1}{5}\).

Espressione verbale di una frazione mista

frazione mista	Espressione verbale
\(3\frac{1}{2} = \)	Tre e mezzo intero
\(5\frac{3}{4} = \)	Cinque numeri interi e tre quarti
\(10\frac{1}{8} = \)	Dieci interi con un ottavo

Conversione di una frazione mista in una frazione impropria

Le frazioni miste sono utili per la stima, ad esempio è facile stabilire:

\(5\frac{1}{{20}} > 4\frac{9}{{10}}\)

Tuttavia, le frazioni miste di solito non sono pratiche per eseguire operazioni come la moltiplicazione e la divisione, motivo per cui è importante come convertire in una frazione mista.

La figura precedente rappresenta la frazione mista \(2\frac{3}{4}\), ora ogni intero è composto da quattro quarti, quindi in 2 interi ci sono 8 quarti e a questi bisogna aggiungere gli altri 3 quarti, cioè Dire:

\(2\frac{3}{4} = \frac{{2\sinistra( 4 \destra) + 3}}{4} = \frac{{11}}{4}\)

Generalmente:

\(a\frac{c}{d} = \frac{{ad + c}}{d}\)

La tabella seguente mostra altri esempi.

frazione mista	Operazioni da eseguire	frazione impropria
\(3\frac{1}{2}\)	\(\frac{{3\sinistra( 2 \destra) + 1}}{2}\)	\(\frac{7}{2}\)
\(5\frac{3}{4}\)	\(\frac{{5\sinistra( 4 \destra) + 3}}{4}\)	\(\frac{{23}}{4}\)
\(10\frac{1}{8}\)	\(\frac{{10\sinistra( 8 \destra) + 1}}{8}\)	\(\frac{{81}}{8}\)

Conversione di una frazione impropria in una frazione mista

Per convertire una frazione impropria in una mista, calcola il quoziente e il resto della divisione del numeratore per il denominatore. Il quoziente ottenuto sarà la parte intera della frazione mista e la frazione propria sarà \(\frac{{{\rm{resto}}}}{{{\rm{denominatore}}}}\)

Esempio

Per convertire \(\frac{{25}}{7}\) in una frazione mista:

Per le operazioni effettuate si ottiene:

La tabella seguente mostra altri esempi.

frazione impropria	Calcolo del quoziente e del resto	frazione impropria
\(\frac{{25}}{7}\)		\(3\frac{4}{7}\)
\(\frac{{35}}{8}\)		\(4\frac{3}{8}\)
\(\frac{{46}}{5}\)		\(9\frac{1}{5}\)

Uso quotidiano delle frazioni miste e proprie

Nella vita di tutti i giorni bisogna misurare, comprare, confrontare prezzi, fare sconti; per misurare ci vogliono le unità di misura e non sempre offrono unità intere dei prodotti e non sempre si paga con una quantità intera di monete di una unità.

Ad esempio, è comune che alcuni liquidi vengano venduti in contenitori il cui contenuto è \(\frac{3}{4}\;\) di un litro, mezzo gallone o un gallone e mezzo. Forse quando vai a comprare un tubo chiedi \(\frac{1}{8},\;\) \(\frac{7}{8},{\rm{\;}}\) \({ \rm {3}}\frac{1}{2}\) e non è necessario dire l'unità di misura, che in questo caso è il pollice.

Operazioni fondamentali di frazioni simili

La somma di \(\frac{3}{4}\) e \(\frac{2}{4}\), è esemplificata nel seguente schema:

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{{3 + 2}}{4} = \frac{5}{4}\)

Mentre la sottrazione viene eseguita come segue:

\(\frac{3}{4} – \frac{2}{4} = \frac{{3 – 2}}{4} = \frac{1}{4}\)

In generale, per frazioni omogenee:

\(\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{{a + b}}{d}\)

\(\frac{a}{d} – \frac{b}{d} = \frac{{a – b}}{d}\)

Gli Egiziani e le frazioni unitarie

La cultura egizia ha raggiunto un notevole sviluppo tecnologico e ciò non sarebbe avvenuto senza uno sviluppo pari a quello della matematica. Ci sono vestigia storiche in cui è possibile trovare documenti sull'uso delle frazioni nella cultura egizia, con una particolarità, usavano solo frazioni unitarie.

Ci sono diversi casi in cui scrivere una frazione come somma di frazioni unitarie è semplice come

\(\frac{3}{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)

Nel caso in cui \(n = 2q + 1\), cioè dispari, si ha che:

\(\frac{2}{n} = \frac{1}{{q + 1}} + \frac{1}{{n\left( {q + 1} \right)}}\)

Lo illustreremo con due esempi.

Per esprimere \(\frac{2}{{11}}\); in questo caso abbiamo \(11 = 2\left( 5 \right) + 1\), quindi:

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{11\left( 6 \right)}},\)

vale a dire,

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{66}}\)

Per esprimere \(\frac{2}{{17}}\); in questo caso abbiamo \(17 = 2\sinistra( 8 \destra) + 1\),

\(\frac{2}{{15}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{120}}\)

Successivamente, mostriamo alcune frazioni come somma di frazioni unitarie,

Frazione	Espressione come somma di frazioni unitarie	Frazione	Espressione come somma di frazioni unitarie
\(\frac{3}{n}\)	\(\frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)	\(\frac{5}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{2}{3}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{6}\)	\(\frac{7}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{3}{4}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\)	\(\frac{2}{9}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{45}}\)
\(\frac{3}{5}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{4}{5}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{20}}\)	\(\frac{7}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{36}}\)
\(\frac{5}{6}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\)	\(\frac{8}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{3}{7}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{231}}\)	\(\frac{4}{9}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{9}\)
\(\frac{4}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{5}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{6}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{42}}\)	\(\frac{{19}}{{20}}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\)

Utilizzando la tabella precedente possiamo sommare frazioni ed esprimere tali somme; come somma di frazioni unitarie.

Esempi di frazioni eterogenee

Esempio 1

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{{15}}} \right) + \left ( {\frac{1}{3} + \frac{1}{9}} \destra)\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \frac{2}{3} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{9}\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{6}} \right) + \frac{1 }{{15}} + \frac{1}{9}\)

Esempio 2

\(\frac{4}{7} + \frac{5}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}} \right) + \left ( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}} \destra)\)

\(\frac{2}{7} + \frac{5}{9} = 1 + \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)

Infine, possiamo esprimere la stessa frazione come somma di frazioni unitarie in modo diverso come:

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{504}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{{63}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)