Definizione di frazioni equivalenti

Due o più frazioni si dicono equivalenti se rappresentano la stessa quantità, cioè se
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\;,\)
le frazioni \(\frac{a}{b}\) e \(\frac{c}{d}\) si dicono equivalenti.

Frazioni equivalenti: rappresentazione grafica

Considera il quadrato, che divideremo in quarti, terzi, ottavi e dodicesimi.

Dalle figure precedenti si notano le seguenti equivalenze:

Come ottenere una o più frazioni equivalenti?

Esistono due metodi di base per ottenere una frazione equivalente a una data frazione.

1. Moltiplica il numeratore e il denominatore per lo stesso numero positivo.

Esempi:

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 5 \right)}}{{4\left( 5 \right)}} = \frac{{15}}{{20}} \)

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 7 \right)}}{{4\left( 7 \right)}} = \frac{{21}}{{28}} \)

\(\frac{5}{8} = \frac{{5\left( 6 \right)}}{{8\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{{56}} \)

2. È diviso per lo stesso divisore comune positivo del numeratore e del denominatore.

\(\frac{{52}}{{56}} = \frac{{52 \div 4}}{{56 \div 4}} = \frac{{13}}{{14}}.\)

\(\frac{{80}}{{140}} = \frac{{80 \div 20}}{{140 \div 20}} = \frac{4}{7}.\)

\(\frac{{21}}{{57}} = \frac{{21 \div 3}}{{57 \div 3}} = \frac{7}{{19}}\)

Quando in una frazione sia il numeratore che il denominatore sono divisi per lo stesso divisore comune diverso da 1, si dice che la frazione è stata ridotta.

frazioni irriducibili

Una frazione si dice irriducibile se il massimo comun divisore del numeratore e del denominatore è uguale a 1.

Se \(mcd\left( {a, b} \right) = 1,\) la frazione \(\frac{a}{b}\) è chiamata frazione irriducibile.

Data una frazione \(\frac{a}{b}\) per ottenere una frazione equivalente a questa frazione e che è anche una frazione irriducibile il numeratore e il numeratore sono divisi per il massimo comun divisore di \(a\;\) e di \(B.\)

La tabella seguente mostra esempi di frazioni irriducibili e riducibili; se è riducibile, mostra come ottenere una frazione equivalente irriducibile.

Frazione	Massimo comun divisore	Irriducibile	frazione equivalente irriducibile
\(\frac{{14}}{{42}}\)	7	NO	\(\frac{{14}}{{42}} = \frac{{14 \div 7}}{{42 \div 7}} = \frac{2}{7}\)
\(\frac{3}{{25}}\)	1	Sì	\(\frac{3}{{25}}\)
\(\frac{{21}}{{201}}\)	3	NO	\(\frac{{21 \div 3}}{{20\;1 \div 3}} = \frac{7}{{67}}\)
\(\frac{5}{{24}}\)	1	Sì	\(\frac{5}{{24}}\)
\(\frac{{72}}{{1125}}\)	9	NO	\(\frac{{72}}{{1125}} = \frac{{72 \div 9}}{{1125 \div 9}} = \frac{8}{{125}}\)

Frazioni equivalenti: rappresentazione verbale.

La tabella seguente mostra due diversi modi per visualizzare informazioni equivalenti, dal punto di vista numerico.

Frase verbale	Frase equivalente (numericamente)	Argomentazione
Nel 1930, in Messico, 4 persone su 25 parlavano una lingua madre.	Nel 1930, in Messico, 16 persone su 100 parlavano una lingua madre.	Entrambi i dati sono stati moltiplicati per 4
Nel 1960, in Messico, 104 persone su 1.000 parlavano una lingua madre.	Nel 1960, in Messico, 13 persone su 125 parlavano una lingua madre	Entrambi i dati sono stati divisi per 8.

Frazioni equivalenti: rappresentazione decimale

La tabella seguente mostra vari numeri decimali e frazioni equivalenti che li rappresentano.

Numero decimale	Frazione	frazione equivalente	Operazioni
\(0.25\)	0.25=\(\frac{{25}}{{100}}\)	0.25=\(\frac{1}{4}\)	\(25 \div 25 = 1\) \(100 \div 25 = \)
\(1.4\)	\(1.4 = 1 + \frac{4}{{10}} = \frac{{14}}{{10}}\)	\(1.4 = \frac{7}{5}\)	\(14 \div 2 = 1\) \(10 \div 2 = 5\)
\(0.145\)	\(0.145 = \frac{{145}}{{1000}}\)	\(0.145 = \frac{{29}}{{200}}\)	\(145 \div 5 = 29\) \(1000 \div 5 = 200\)

Frazioni equivalenti: rappresentazione in percentuale

La tabella seguente mostra vari numeri decimali e frazioni equivalenti che li rappresentano.

Numero decimale	Frazione	frazione equivalente	Operazioni
20%	\(\frac{{20}}{{100}}\)	\(\frac{1}{5}\)	\(20 \div 20 = 1\) \(100 \div 20 = 5\)
150%	\(\frac{{150}}{{100}}\)	\(\frac{3}{2}\)	\(150 \div 50 = 3\) \(100 \div 50 = 2\)
55%	\(\frac{{55}}{{100}}\)	\(\frac{{11}}{{20}}\)	\(55 \div 11 = 5\) \(100 \div 5 = 20\)

Frazioni equivalenti: da eterogeneo a omogeneo

Date due frazioni eterogenee \(\frac{a}{b}\) e \(\frac{c}{d}\), possiamo trovare due frazioni omogeneo in modo tale che una frazione sia equivalente alla frazione \(\frac{a}{b}\;\) e l'altra a \(\frac{c}{d}\).

Successivamente, mostreremo due procedure per eseguire quanto menzionato nel paragrafo precedente.

Osserviamo:

\(\frac{a}{b} = \frac{{a\left( d \right)}}{{b\left( d \right)}}\)

\(\frac{c}{d} = {\rm{\;}}\frac{{c\left( b \right)}}{{d\left( b \right)}}\)

La tabella seguente mostra alcuni esempi.

F. eterogeneo	Operazioni	F. omogeneo
\(\frac{4}{5}\), \(\frac{2}{3}\)	\(\frac{{4\left( 3 \right)}}{{5\left( 3 \right)}} = \frac{{12}}{{15}}\) \(\frac{{2\left( 5 \right)}}{{3\left( 5 \right)}} = \frac{{10}}{{15}}\)	\(\frac{{12}}{{15}}\), \(\frac{{10}}{{15}}\)
\(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}\)	\(\frac{{7\left( {18} \right)}}{{12\left( {18} \right)}} = \frac{{126}}{{216}}\) \(\frac{{4\left( {12} \right)}}{{18\left( {12} \right)}} = \frac{{48}}{{216}}\)	\(\frac{{126}}{{216}},\) \(\frac{{48}}{{216}}\)
\(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)	\(\frac{{7\left( {14} \right)\left( 4 \right)}}{{10\left( {14} \right) 4}} = \frac{{392}}{{ 560}}\) \(\frac{{3\left( {10} \right)\left( 4 \right)}}{{14\left( {10} \right)\left( 4 \right)}} = \frac{ {120}}{{560}}\) \(\frac{{5\left( {10} \right)\left( {14} \right)}}{{4\left( {10} \right)\left( {14} \right)}} = \frac{{700}}{{560}}\)	\(\frac{{392}}{{560}}\), \(\frac{{120}}{{560}},\) \(\frac{{700}}{{560}}\)

Lo svantaggio di questo metodo è che nel processo possono essere prodotti numeri molto grandi; In molti casi è possibile evitarlo, se si calcola il minimo comune multiplo dei denominatori e il secondo metodo si basa sul calcolo del minimo comune multiplo.

Minimo comune multiplo nel calcolo delle frazioni

Successivamente, attraverso due esempi, come ottenere frazioni omogenee utilizzando il minimo comune multiplo dei denominatori, che sarà il comune denominatore delle frazioni coinvolte.

Considera le frazioni: \(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}.\)

Il minimo comune multiplo di \(12\) e \(18\) è \(36\); Ora

\(36 \div 12 = 3\)

\(36 \div 18 = 2\)

\(\frac{7}{{12}} = \frac{{7\left( 3 \right)}}{{12\left( 3 \right)}} = \frac{{21}}{{36 }},\)

\(\frac{4}{{18}} = \frac{{4\left( 2 \right)}}{{18\left( 2 \right)}} = \frac{8}{{36}} \)

Consideriamo ora le frazioni: \(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)

Il minimo comune multiplo di \(10\), \(14\) e \(3\) è \(140\); Ora

\(140 \div 10 = 14\)

\(140 \div 14 = 10\)

\(140 \div 4 = 35\)

\(\frac{7}{{10}} = \frac{{7\left( {14} \right)}}{{10\left( {14} \right)}} = \frac{{98} }{{140}},\)

\(\frac{3}{{14}} = \frac{{3\left( {10} \right)}}{{14\left( {10} \right)}} = \frac{{30} }{{140}}\)

\(\frac{5}{4} = \frac{{5\left( {35} \right)}}{{4\left( {35} \right)}} = \frac{{175}}{ {140}}\)

Dalle figure precedenti si nota il seguente fatto:

\(\frac{1}{4} = \frac{3}{{12}}\)

Ecco altri esempi.

F. eterogeneo	min denominatori comuni	Operazioni	F. omogeneo
\(\frac{1}{{14}}\) \(\frac{1}{{18}}\)	126	\(126 \div 14 = 9\) \(\frac{1}{{14}} = \frac{{1\left( 9 \right)}}{{14\left( 9 \right)}} = \frac{9}{{126}} \) \(126 \div 18 = 7\) \(\frac{1}{{18}} = \frac{{1\left( 7 \right)}}{{18\left( 7 \right)}} = \frac{7}{{126}} \)	\(\frac{9}{{126}}\), \(\frac{7}{{126}}\)
\(\frac{5}{6}\) \(\frac{2}{{15}},\) \(\frac{4}{9}\)	90	\(90 \div 6 = 15\) \(\frac{5}{6} = \frac{{5\left( {15} \right)}}{{6\left( {15} \right)}} = \frac{{75}}{ {90}}\) \(90 \div 15 = 6\) \(\frac{2}{{15}} = \frac{{2\left( {15} \right)}}{{15\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{ {90}}\) \(90 \div 9 = 10\) \(\frac{4}{9} = \frac{{4\left( {10} \right)}}{{9\left( {10} \right)}} = \frac{{40}}{ {90}}\)	\(\frac{{75}}{{90}}\), \(\frac{{30}}{{90}}\), \(\frac{{40}}{{90}}\)