Definizione di progressione aritmetica

Una sequenza di numeri \({a_1},\;{a_2},{a_3}, \ldots \) ​​​​è chiamata progressione aritmetica se la differenza tra due numeri consecutivi è uguale allo stesso numero \(d\), cioè Sì:

\({a_{n + 1}} - {a_n} = d\)

Il numero \(d\) è chiamato la differenza della progressione aritmetica.

L'elemento \({a_1}\) è chiamato il primo elemento della sequenza aritmetica.

Gli elementi della progressione aritmetica possono essere espressi in termini del primo elemento e della sua differenza, cioè:

\({a_1},{a_1} + d,{a_1} + 2d,{a_1} + 3d\)

Sono i primi quattro elementi della progressione aritmetica; In generale, il \(k – \)esimo elemento è espresso come segue:

\({a_k} = {a_1} + \sinistra( {k – 1} \destra) d\)

Dalla precedente espressione otteniamo:

\({a_k} – {a_l} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d – \left( {{a_1} + \left( {l – 1} \right) d} \right )\)

\({a_k} – {a_l} = \sinistra( {k – l} \destra) d\)

L'espressione precedente è equivalente a:

\({a_k} = {a_l} + \sinistra( {k – l} \destra) d\)

Esempi applicati per progressione aritmetica

1. Trova la differenza della progressione aritmetica: \(3,8,13,18, \ldots \) ​​​​e trova gli elementi \({a_{20}},\;{a_{99}}\)

Soluzione

Poiché \(5 = 8 – 3 = 13 – 8 = 18 – 3\) possiamo concludere che la differenza è:

\(d = 5\)

\({a_{20}} = {a_1} + \sinistra( {20 – 1} \destra) d = 3 + 19\sinistra( 5 \destra) = 98\)

\({a_{99}} = {a_1} + \sinistra( {99 – 1} \destra) d = 3 + 98\sinistra( 5 \destra) = 493\)

2. In una progressione aritmetica abbiamo: \({a_{17}} = 20\;\)e \({a_{29}} = – 130\), determinare la differenza della progressione aritmetica e scrivere i primi 5 elementi.

Soluzione

Logorante

\({a_k} – {a_l} = \sinistra( {k – l} \destra) d\)

\({a_{29}} – {a_{17}} = \sinistra( {29 – 17} \destra) d\)

\( – 130 – 20 = \sinistra( {12} \destra) d\)

\( – 150 = \sinistra( {12} \destra) d\)

\(12d = – 150\)

\(d = – \frac{{150}}{{12}} = – \frac{{25}}{2}\)

Per trovare i primi 5 elementi; calcoleremo \({a_1}\):

\({a_k} = {a_1} + \sinistra( {k – 1} \destra) d\)

\({a_{17}} = {a_1} + \left( {17 – 1} \right)\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} + \left( {16} \right)\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} – 200\)

\({a_1} = 20 + 200 = 220\)

I primi 5 elementi sono:

\(220,220 + \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 2\left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 3 \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 4\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(220,\frac{{415}}{2},195,\frac{{365}}{2},170\)

Numeri poligonali e somma dei primi \(n\) elementi di una progressione aritmetica

numeri triangolari

I numeri triangolari \({T_n}\;\) sono formati dalla progressione aritmetica: \(1,2,3,4 \ldots \); nel seguente modo.

\({T_1} = 1\)

\({T_2} = 1 + 2 = 3\)

\({T_3} = 1 + 2 + 3 = 6\)

\({T_4} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\)

numeri quadrati

I numeri quadrati \({C_n}\;\) sono formati dalla progressione aritmetica: \(1,3,5,7 \ldots \); come segue

\({C_1} = 1\)

\({C_2} = 1 + 3 = 4\)

\({C_3} = 1 + 3 + 5 = 9\)

\(C{\;_4} = 1 + 3 + 5 + 7 = 16\)

numeri pentagonali

I numeri quadrati \({P_n}\;\) sono formati dalla progressione aritmetica: \(1,3,5,7 \ldots \); come segue

\({P_1} = 1\)

\({P_2} = 1 + 4 = 5\)

\({P_3} = 1 + 4 + 7 = 12\)

\({P_4} = 1 + 4 + 7 + 10 = 22\)

Successivamente, mostreremo la formula per trovare la somma dei primi \(n\) elementi di una progressione aritmetica.

Data la progressione aritmetica, \({a_1},{a_2} = {a_1} + d,{a_3} + 2d, \ldots .,{a_n} = {a_1} + \left( {n – 1} \right) D\). Per calcolare la somma \({S_n} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_n};\) puoi usare la formula:

\({S_n} = \frac{{n\sinistra( {{a_1} + {a_n}} \destra)}}{2}\)

che è equivalente a

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

Applicando la formula precedente si ottengono le formule per calcolare i numeri triangolari, quadrati e pentagonali; che sono riportati nella tabella seguente.

numero poligonale	\({a_1}\)	\(D\)	Formula
Triangolare \(n – \)th	1	1	\({T_n} = \frac{{n\sinistra( {n + 1} \destra)}}{2}\)
Quadrato \(n – \)th	1	2	\({C_n} = {n^2}\)
Pentagonale \(n – \)th	1	3	\({P_n} = \frac{{n\sinistra( {3n – 1} \destra)}}{2}\)

Esempio sui numeri poligonali

3. Dall'esempio 2 calcolare \({S_{33}}\).

Soluzione

In questo caso \({a_1} = 200\) e \(d = – \frac{{25}}{2}\)

applicando

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = \frac{{34\left( {2\left( {200} \right) + \left( {33 – 1} \right)\left( { – \frac{{25 }}{2}} \right)} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = 17\sinistra( {400 + 16\sinistra( { – 25} \destra)} \destra) = 17\sinistra( 0 \destra) = 0\)

mezzi aritmetici

Dati due numeri \(a\;\) e \(b,\) i numeri \({a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}}\) sono chiamati \(k\) significa numeri aritmetici \(a\;\) e \(b\); se la sequenza \(a,{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},b\) è una progressione aritmetica.

Per conoscere i valori delle medie aritmetiche \(k\) dei numeri \(a\;\) e \(b\), è sufficiente conoscere la differenza della progressione aritmetica, per questo deve essere considerato:

\(a = {a_1},{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},{a_{k + 2}} = b,\)

Da quanto sopra stabiliamo la relazione:

\(b = a + \sinistra( {k + 2 – 1} \destra) d\)

Risolvendo per \(d\), otteniamo:

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

esempi

4. Trova 7 medie aritmetiche tra i numeri -5 e 25.

Soluzione

Quando si applica

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

con \(b = 25,\;a = – 5\) e \(k = 7\;\):

\(d = \frac{{25 – \left( { – 5} \right)}}{{7 + 1}} = \frac{{30}}{8} = \frac{{15}}{4 }\)

Le 7 medie aritmetiche sono:

\( – \frac{5}{4},\;\frac{5}{2},\;\frac{{25}}{4},10,\frac{{55}}{4},\ frac{{35}}{2},\frac{{85}}{4}\)

9. Una persona ha dato 2.000 dollari come acconto per acquistare un frigorifero e ha pagato il resto con la sua carta di credito per 18 mesi senza interessi. Deve pagare $ 550 al mese per saldare il debito, che ha acquisito per pagare il suo frigorifero.

A. Quanto costa il frigorifero?

B. Se hai pagato il resto in 12 mesi senza interessi, quanto sarebbe il pagamento mensile?

Soluzione

A. In questo caso:

\({a_{19}} = 2000 + 18\sinistra( {550} \destra)\)

\({a_{19}} = 2000 + 9900 = 11900\)

B. Tra i numeri 2000 e 11900 dobbiamo trovare 11 medie aritmetiche, per le quali:

\(d = \frac{{11900 – 2000}}{{12}} = 825\)

5. Data la sequenza \(7,\;22,\;45,\;76,115,162\) trovare i seguenti 3 elementi e l'espressione generale dell'elemento \(n\).

Soluzione

La successione in questione non è una progressione aritmetica, poiché \(22 – 7 \ne 45 – 22\), ma possiamo formare una sequenza con le differenze di due elementi consecutivi e la tabella seguente mostra il risultati:

Elementi della sequenza \({b_n}\)	Sequenza \(\;{c_n} = {b_n} – {b_{n – 1}}\)	\(d = {c_{n + 1}} – {c_n}\)
\({b_1} = 7\)	\({c_1} = {b_1}\)
\({b_2} = 22\)	\({c_2} = {b_2} – {b_1} = 15\)	\({c_2} – {c_1} = 8\)
\({b_3} = 45\)	\({c_3} = {b_3} – {b_2} = \)23	\({c_3} – {c_2} = 8\)
\({b_4} = 76\)	\({c_4} = {b_4} – {b_3} = 31\)	\({c_4} – {c_3} = 8\)
\({b_5} = 115\)	\({c_5} = {b_5} – {b_4} = 39\)	\({c_5} – {c_4} = 8\)
\({b_6} = 162\)	\({c_6} = {b_6} – {b_5} = 47\)	\({c_6} – {c_5} = 8\)

La terza colonna della tabella precedente ci dice che la sequenza \(15,\;23,31,39,\;47, \ldots .\); è una sequenza aritmetica la cui differenza è \(d = 8\).

Successivamente, scriveremo gli elementi della sequenza \({b_n}\) in termini della sequenza \({c_n},\)

\({b_1} = {c_1}\)

\({b_2} = {c_1} + {c_2}\)

\({b_3} = {b_2} + {c_3} = {c_1} + {c_2} + {c_3}\)

\({b_4} = {b_3} + {c_4} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + {c_4}\)

In generale hai:

\({b_n} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + \ldots + {c_n}\;\)

Quando si applica

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{c_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

Con \({c_1} = 7\) e \(d = 8,\) otteniamo:

\({b_n} = \frac{{n\left( {14 + \left( {n – 1} \right) 8} \right)}}{2}\)

\({b_n} = n\sinistra( {7 + 4\sinistra( {n – 1} \destra)} \destra)\)

\({b_n} = n\sinistra( {4n + 3} \destra)\)

Applicando la formula precedente: \({b_7} = 217,\;{b_8} = 280,\;{b_9} = 351\)