Come si definisce il teorema di Talete?

Dal Teorema di Talete, date più rette parallele, la retta \(T\) si dice trasversale alle rette parallele se interseca ciascuna delle rette parallele.

Nella figura 1, le rette \({T_1}\) e \({T_2}\) sono trasversali alle rette parallele \({L_1}\) e \({L_2}.\)

Il teorema di Talete (versione debole)
Se più parallele determinano segmenti congruenti (che misurano la stessa) in una delle loro due trasversali, determineranno segmenti congruenti anche nelle altre trasversali.

Nella figura 2 le linee nere sono parallele e devi:
\({A_1}{A_2} = {A_2}{A_3} = {A_3}{A_4}.\)
Possiamo garantire quanto segue:
\({B_1}{B_2} = {B_2}{B_3} = {B_3}{B_4}.\)

Si dice che il saggio Talete di Mileto abbia misurato l'altezza della piramide di Cheope, per questo ha usato le ombre e l'applicazione delle proprietà di somiglianza del triangolo. Il Teorema di Talete è fondamentale per lo sviluppo del concetto di similarità dei triangoli.

Rapporti e proprietà delle proporzioni

Un rapporto è il quoziente di due numeri, con il divisore diverso da zero; vale a dire:

\(\frac{a}{b}\;{\rm{con\;}}b \ne 0\)

Una proporzione è l'uguaglianza di due rapporti, cioè:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k,\)

\(k\) è anche chiamata la costante di proporzionalità.

Proprietà delle proporzioni

Se \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\) allora per \(m \ne 0:\;\)

\(\frac{{ma}}{{mb}} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a – c}}{{b – d}} = K\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{f}{g} = \frac{{a + c + f}}{{b + d + g}} = K\)

\(\frac{{a \pm b}}{b} = \frac{{c \pm d}}{d}\)

esempi

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{9 + 15}}{{24 + 40}} = \frac{{24}} {{64}}\)

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{15 – 9}}{{40 – 24}} = \frac{6}{{ 16}}\)

\(\frac{{9 + 24}}{{24}} = \frac{{15 + 40}}{{40}}\)\(\frac{{33}}{{24}} = \frac {{55}}{{40}}\)

La coppia di segmenti \(\overline {AB} \) e \(\overline {CD} \) si dice proporzionale ai segmenti \(\overline {EF} \) e \(\overline {GH} \) se la proporzione è rispettata:

\(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{EF}}{{GH}}\)

Dove \(AB\;\) denota la lunghezza del segmento \(\overline {AB} .\)

Il teorema di Talete

Tornando alla definizione, diverse parallele determinano segmenti proporzionali corrispondenti nelle loro rette trasversali.

Nella figura 3 le rette sono parallele e possiamo garantire:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_2}{B_3}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\( \frac{{{A_2}{A_4}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_2}{B_4}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_3}}}{{{A_1}{A_2}}} = \frac{{{B_1}{B_3}}}{{{B_1}{B_2}}}\)

Osserviamo che le prime due proporzioni precedenti sono equivalenti alle seguenti proporzioni:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}}\)Di sopra noi abbiamo:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + {B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}}\)

In molte occasioni è meglio lavorare con le proporzioni precedenti e in questo caso:

\(\frac{{{A_i}{A_j}}}{{{B_i}{B_j}}} = k\)

Contrario del teorema di Talete

Se più rette determinano segmenti proporzionali corrispondenti nelle loro rette trasversali allora le rette sono parallele

Se nella figura 4 è soddisfatta

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)

Allora possiamo affermare che: \({L_1}\parallel {L_2}\parallel {L_3}.\)

La notazione \({L_1}\parallel {L_2}\), leggi \({L_1}\) è parallela a \({L_2}\).

Dalla precedente proporzione si ottiene:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_1}{A_3}}}{{{ B_1}{B_3}}}\)

Divisione di un segmento in più parti di uguale lunghezza

Attraverso un esempio concreto illustreremo come dividere un segmento in parti di uguale lunghezza.

Dividi il segmento \(\overline {AB} \) in 7 segmenti di uguale lunghezza

Situazione iniziale

Disegna una linea ausiliaria che passa attraverso una delle estremità del segmento

Con l'aiuto di un compasso si disegnano sulla linea ausiliaria 7 segmenti di uguale lunghezza

Disegna la linea che unisce le estremità dell'ultimo segmento disegnato e l'altra estremità del segmento da dividere

Si disegnano parallele all'ultima linea appena tracciata che passa per i punti in cui gli archi della circonferenza si intersecano con la linea ausiliaria.

Dato un segmento \(\overline {AB} \), si dice che un punto \(P\) del segmento divide il segmento \(\overline {AB} \), nel rapporto \(\frac{{AP} } {{PB}}.\)

Divisione di un segmento in un dato rapporto

Dato un segmento \(\overline {AB} \), e due interi positivi \(a, b\); il punto \(P\) che divide il segmento nel rapporto \(\frac{a}{b};\;\) può essere trovato come segue:

1. Dividi il segmento \(\overline {AB} \) in segmenti \(a + b\) di uguale lunghezza.
2. Prendi \(a\) segmenti contando dal punto \(A\).

esempi

Divisione del segmento \(\overline {AB} \) nel rapporto \(\frac{a}{b}\)

Motivo	Numero di parti in cui è suddiviso il segmento	Posizione del punto \(P\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{4}{3}\)	\(4 + 3 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = 6 = \frac{6}{1}\)	\(6 + 1 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{2}{3}\)	\(2 + 3 = 5\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{3}{2}\)	\(3 + 2 = 5\)

Esempi applicativi del Teorema di Talete

applicazione 1: Tre lotti si estendono da via Sol a via Luna, come mostrato in figura 5.

I confini laterali sono segmenti perpendicolari a Luna Street. Se il fronte totale dei lotti su via Sol misura 120 metri, determinare il fronte di ciascun lotto su detta via, se è noto anche:

\({A_1}{A_2} = 10{\rm{m}},\;{A_2}{A_3} = 40{\rm{m}},\;{A_3}{A_4} = 20{\rm{ m}},\;{A_4}{A_5} = 30{\rm{m}}.\)

Dichiarazione problema

Poiché le rette sono perpendicolari a Via Luna, quindi sono parallele tra loro, applicando il Teorema di Talete possiamo affermare:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}},\; \;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_4}}}\;,\;\;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_5}} } = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_5}}}\)Di quanto sopra possiamo concludere:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}}\;\)

Allo stesso modo possiamo concludere:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}}\)

Soluzione

Per determinare la costante di proporzionalità \(k,\) utilizzeremo le proprietà delle proporzioni:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4} + {A_4}{A_5}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + { B_3}{B_4} + {B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}} = \frac{{100}}{{120}} = \frac{5}{6}\)

Da quanto sopra si ottiene:
\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{5}{6}\)\(\frac{{{B_1}{B_2}}}{ {{A_1}{A_2}}} = \frac{6}{5}\)\({B_1}{B_2} = \frac{6}{5}{A_1}{A_2} = \frac{6}{ 5}\sinistra({10} \destra) = 12.\)

Analogamente:

\({B_2}{B_3} = \frac{6}{5}{A_2}{A_3} = \frac{6}{5}\sinistra( {40} \destra) = 48\)\({B_3} {B_4} = \frac{6}{5}{A_3}{A_4} = \frac{6}{5}\sinistra( {20} \destra) = 24\)\({B_4}{B_5} = \frac{6}{5}{A_4}{A_5} = \frac{6 }{5}\sinistra( {30} \destra) = 36\)

Risposta

Segmento	\({B_1}{B_2}\)	\({B_2}{B_3}\)	\({B_3}{B_4}\)	\({B_4}{B_5}\)
Lunghezza	12 m	48 m	24 m	36 m

applicazione 2: Un grafico ha disegnato una mensola a forma di parallelogramma e posizionerà 3 mensole come mostrato nella Figura 6, i punti E ed F sono i punti medi dei lati \(\overline {AD} \) e \(\overline {BC} ,\) rispettivamente. Devi fare dei tagli negli scaffali per poter fare gli assemblaggi. In quale parte degli scaffali devono essere eseguiti i tagli?

Dichiarazione del problema: A causa delle condizioni fornite nel problema, è soddisfatto quanto segue:

\(ED = EA = CF = BF\)

Come costruzioni ausiliarie estenderemo i lati \(\overline {CB} \) e \(\overline {DA} \). Si traccia una retta per il punto A passante per \(A\) e parallela al lato \(\overline {EB} \) e per il punto \(C\;\) si traccia una retta parallela al lato \(\overline {DF} \).

Useremo il Teorema di Talete per dimostrare che i segmenti \(\overline {EB} \) e \(\overline {DF} \) sono paralleli per applicare il Teorema di Talete.

Soluzione

Per costruzione il quadrilatero \(EAIB\) è un parallelogramma quindi abbiamo che EA=BI, poiché sono lati opposti di un parallelogramma. Ora:

\(\frac{{DE}}{{EA}} = \frac{{BF}}{{BI}} = 1\)

Applicando il reciproco del teorema di Talete possiamo concludere:

\(\overline {AI} \parallelo \overline {EB} \parallelo \overline {DF} \parallelo \overline {JC} \)

Prendendo i segmenti \(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \) ei segmenti BC e CI come loro trasversali; COME:

\(FC = BF = BI\)\(CH = HG = GA\)

Prendendo \(\overline {AD} \parallel \overline {BC} \) e i segmenti \(\overline {AC} \) e \(\overline {EB} \) come loro trasversali avremo:

\(\frac{{EG}}{{GB}} = \frac{{AG}}{{GC}} = \frac{{AG}}{{CH + HG}} = \frac{{AG}} {{2\sinistra( {AG} \destra)}} = \frac{1}{2}\)

Analogamente si dimostra che:

\(\frac{{DH}}{{HF}} = 2\)

Risposte

I tagli diagonali \(\overline {AC} \) devono essere eseguiti nei punti \(G\;\) e \(H\), in modo tale che:

\(\frac{{AG}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{1}{3}\)

Lo stesso vale per gli scaffali \(\overline {EB} \) e \(\overline {DF} \).