Definizione di razionalizzazione dei radicali (matematica)

La razionalizzazione dei radicali è un processo matematico che viene eseguito quando c'è un quoziente con radicali o radici nel denominatore. In questo modo, le operazioni matematiche possono essere facilitate dove sono coinvolti quozienti con radicali e altri tipi di oggetti matematici.

Tipi di quozienti con radicali

È importante menzionare alcuni tipi di quozienti con radicali che possono essere razionalizzati. Tuttavia, prima di entrare pienamente nel processo di razionalizzazione, è necessario ricordare un paio di concetti importanti. Per prima cosa, supponiamo di avere la seguente espressione: \(\sqrt[m]{n}\). Questa è la radice \(m\) del numero \(n\), cioè il risultato di detta operazione è un numero tale che elevandolo alla potenza \(m\) si ottiene il numero \(n\) di conseguenza). La potenza e la radice sono operazioni inverse, in modo tale che: \(\sqrt[m]{{{n^m}}} = n\).
Vale invece la pena ricordare che il prodotto di due radici uguali è uguale alla radice del prodotto, vale a dire che: \(\sqrt[m]{n}\sqrt[m]{p} = \sqrt[m ]{{np}}\). Queste due proprietà saranno i nostri migliori alleati nella razionalizzazione.

Il tipo più comune e semplice di quoziente con un radicale che possiamo trovare è il seguente:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }}\)

Dove \(a\), \(b\) e \(c\) possono essere qualsiasi numero reale. Il processo di razionalizzazione in questo caso consiste nel trovare un modo per ottenere nel quoziente l'espressione \(\sqrt {{c^2}} = c\) per eliminare il radicale. In questo caso basta moltiplicare per \(\sqrt c \) sia il numeratore che il denominatore:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{b\sqrt c }}\frac{{\sqrt c }}{{\sqrt c }} = \frac{{ a\sqrt c }}{{b\sqrt c \sqrt c }}\)

Ricordando quanto detto sopra, sappiamo che \(\sqrt c \sqrt c = \sqrt {{c^2}} = c\). Pertanto, alla fine otteniamo che:
\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{bc}}\sqrt c \)

In questo modo abbiamo razionalizzato l'espressione precedente. Questa espressione non è altro che un caso particolare di un'espressione generale che è la seguente:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}}\)

Dove \(a\), \(b\), \(c\) sono numeri reali e \(n\), \(m\) sono potenze positive. La razionalizzazione di questa espressione si basa sullo stesso principio della precedente, ovvero ottenere l'espressione \(\sqrt[n]{{{c^n}}} = c\) al denominatore. Possiamo ottenere ciò moltiplicando per \(\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\) sia il numeratore che il denominatore:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}} }\frac{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}} = \frac{{a\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}\)

Possiamo sviluppare il prodotto dei radicali al denominatore come segue: \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^m}{c^ {n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^{m + \left( {n – m} \right)}}}} = \sqrt[n]{{{c^n}}} = c\). Pertanto, il quoziente razionalizzato rimane come:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{bc}}\sqrt[n]{{{c^{n – M}}}}\)

Un altro tipo di quoziente con radicali razionalizzabile è quello in cui abbiamo un binomio con radici quadrate al denominatore:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\)

Dove \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) e \(e\;\) sono numeri reali. Il simbolo \( ± \) indica che il segno può essere positivo o negativo. Il binomio denominatore può avere entrambe le radici o solo una, tuttavia, usiamo questo caso per ottenere un risultato più generale. L'idea centrale per realizzare il processo di razionalizzazione in questo caso è la stessa dei casi precedenti, solo quella in questo caso moltiplicheremo sia il numeratore che il denominatore per il coniugato del binomio trovato nel denominatore. Il coniugato di un binomio è un binomio che ha gli stessi termini, ma il cui simbolo centrale è opposto al binomio originario. Ad esempio, il coniugato del binomio \(ux + vy\) è \(ux – vy\). Detto questo, abbiamo allora:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\frac{{b\sqrt c \ mp d\sqrt e }}{{b\sqrt c \mp d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{\left( {b\sqrt c \pm d\sqrt e } \right)\left( {b \sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}\)

Il simbolo \( \mp \) indica che il segno può essere positivo o negativo, ma deve essere opposto al simbolo del denominatore affinché i binomi siano coniugati. Sviluppando la moltiplicazione dei binomi del denominatore otteniamo che:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{{ b^2}\sqrt {{c^2}} + bd\sqrt {ce} – bd\sqrt {ce} – {d^2}\sqrt {{e^2}} }}\)

Alla fine otteniamo che:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{{b^2}c – {d^2}e}}\left( {b\ sqrt c \mp d\sqrt e } \destra)\)

Con ciò abbiamo razionalizzato il quoziente con il radicale. Questi quozienti con i radicali sono quelli che generalmente possono essere razionalizzati. Successivamente, vedremo alcuni esempi di razionalizzazione dei radicali.

esempi

Vediamo alcuni esempi di razionalizzazione con quozienti con radicali del tipo sopra citato. Supponiamo innanzitutto di avere il seguente quoziente:

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }}\)

In questo caso basta moltiplicare numeratore e denominatore per \(\sqrt 2 \)

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }} = \frac{3}{{7\sqrt 2 }}\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{3 }{{7\sqrt 2 \sqrt 2 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{7\sqrt 4 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{14}}\sqrt 2 \)

Supponiamo ora di avere il seguente quoziente con radicale:

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\)

In questo caso abbiamo una sesta radice di una potenza cubica. Nella sezione precedente abbiamo detto che se abbiamo un radicale della forma \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\) nella denominatore, possiamo razionalizzare il quoziente moltiplicando numeratore e denominatore per \(\sqrt[n]{{{c^{n -M}}}}\). Confrontando questo con il caso qui presentato possiamo renderci conto che \(n = 6\), \(c = 4\) e \(m = 3\), quindi Pertanto, possiamo razionalizzare il quoziente precedente moltiplicando il numeratore e il denominatore per \(\sqrt[6]{{{4^3}}}\):

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}} }\frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\sqrt[6]{{{4^3} }} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^6}}}}}\sqrt[6]{{{4^3}}} = \frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{6}\)

Supponiamo infine di avere la seguente funzione:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\)

Come mostrato nella sezione precedente, per razionalizzare questo tipo di quoziente con i radicali, devi moltiplicare il numeratore e il denominatore per il coniugato del denominatore. In questo caso il coniugato del denominatore sarebbe \(x – \sqrt x \). Pertanto, l'espressione sarebbe la seguente:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\frac{{x – \sqrt x }}{{x – \sqrt x }} = \frac{1}{{\left( {x + \sqrt x } \right)\left( {x – \sqrt x } \right)}}\left( {x – \sqrt x } \right)\)

Sviluppando la moltiplicazione dei binomi coniugati del denominatore, si ottiene infine che:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }} = \frac{{x – \sqrt x }}{{{x^2} – x}}\)

Riferimenti

Aguilar Arturo, Bravo Fabián, Gallegos Herman, Cerón Miguel e Reyes Ricardo. (2009). Aritmetica. Messico: Pearson Education.