Definizione del Principio/Equazione di Bernoulli

Il principio di Bernoulli, spesso chiamato anche equazione di Bernoulli, è uno dei concetti più importanti dell'idrodinamica e della meccanica dei fluidi. Fu formulato dal fisico e matematico svizzero Daniel Bernoulli nel 1738 come parte del suo lavoro "idrodinamica” e parte della conservazione dell'energia in un fluido ideale in movimento.

Immaginiamo la seguente situazione: Abbiamo un tubo attraverso il quale scorre acqua, che esce dal tubo con una certa velocità e una certa pressione. Procediamo quindi a ricoprire parzialmente con un dito il foro di uscita del tubo; così facendo vediamo come l'acqua esce ora con maggiore velocità. Questo è un esempio del principio di Bernoulli in azione.

Fluidi ideali in movimento

Il principio di Bernoulli si applica ai fluidi ideali in movimento, quindi prima di passare alla spiegazione di questo principio, è importante menzionare cosa intendiamo per fluido ideale. Un fluido ideale è una semplificazione di un fluido reale, questo viene fatto perché la descrizione di un fluido ideale è matematicamente più semplice e ci fornisce risultati utili che possono essere successivamente estesi al caso fluido vero.

Ci sono quattro ipotesi che vengono fatte per considerare un fluido ideale e tutte hanno a che fare con il flusso:

• Flusso costante: Un flusso costante è quello in cui la velocità con cui il fluido si muove è la stessa in qualsiasi punto dello spazio. In altre parole, assumiamo che il fluido non subisca turbolenza.

• Incomprimibilità: Si presume anche che un fluido ideale sia incomprimibile, cioè che abbia sempre una densità costante.

• Non viscosità: La viscosità è una proprietà dei fluidi che, in termini generali, rappresenta la resistenza che il fluido oppone al movimento. La viscosità può essere considerata analoga all'attrito meccanico.

• Flusso irrotazionale: Con questa ipotesi ci riferiamo al fatto che il fluido in movimento non compie alcun tipo di movimento circolare attorno a nessun punto del suo percorso.

Facendo queste ipotesi e avendo un fluido ideale semplifichiamo notevolmente il trattamento matematico e garantiamo anche la conservazione dell'energia, che è il punto di partenza verso il principio di Bernoulli.

Spiegazione dell'equazione di Bernoulli

Consideriamo un fluido ideale che si muove attraverso un tubo come mostrato nella figura seguente:

Useremo ora il teorema del lavoro e dell'energia cinetica, che è un altro modo di esprimere la legge di conservazione dell'energia, questo ci dice che:

\(W = {\rm{\Delta }}K\)

Dove \(W\) è il lavoro meccanico totale e \({\rm{\Delta }}K\) è la variazione di energia cinetica tra due punti. In questo sistema abbiamo due tipi di lavoro meccanico, uno svolto dalla forza di gravità sul fluido e un altro che risulta dalla pressione del fluido. Sia \({W_g}\) il lavoro meccanico svolto dalla gravità e \({W_p}\) il lavoro meccanico svolto dalla pressione, possiamo allora dire che:

\({W_g} + {W_p} = {\rm{\Delta }}K\)

Poiché la gravità è una forza conservativa, il lavoro meccanico svolto da essa sarà uguale alla differenza di energia potenziale gravitazionale tra due punti. L'altezza iniziale alla quale si trova il fluido è \({y_1}\) e l'altezza finale è \({y_2}\), quindi, abbiamo:

\({W_g} = – {\rm{\Delta }}mg{\rm{\Delta }}y = – {\rm{\Delta }}mg\left( {{y_2} – {y_1}} \right )\)

Dove \({\rm{\Delta }}m\) è la porzione di massa del fluido che passa per un certo punto e \(g\) è l'accelerazione di gravità. Poiché il fluido ideale è incomprimibile, allora \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). Dove \(\rho \) è la densità del fluido e \({\rm{\Delta }}V\) è la porzione di volume che attraversa un punto. Sostituendo questo nell'equazione precedente otteniamo:

\({W_g} = – \rho g{\rm{\Delta }}V\sinistra( {{y_2} – {y_1}} \destra)\)

Consideriamo ora il lavoro meccanico svolto dalla pressione del fluido. La pressione è la forza esercitata per unità di area, cioè \(F = PA\). D'altra parte, il lavoro meccanico è definito come \(W = F{\rm{\Delta }}x\) dove \(F\) è la forza applicata e \({\rm{\Delta }}x\) è lo spostamento effettuato in questo caso sull'asse x. In questo contesto possiamo pensare a \({\rm{\Delta }}x\) come alla lunghezza della porzione di fluido che scorre attraverso un certo punto. Combinando entrambe le equazioni abbiamo che \(W = PA{\rm{\Delta }}x\). Possiamo renderci conto che \(A{\rm{\Delta }}x = {\rm{\Delta }}V\), cioè è la porzione di volume che attraversa quel punto. Pertanto, abbiamo che \(W = P{\rm{\Delta }}V\).

Nel punto iniziale, sul sistema viene svolto un lavoro meccanico pari a \({P_1}{\rm{\Delta }}V\) e nel punto finale il sistema compie lavoro meccanico sull'ambiente pari a \({P_2}{\rm{\Delta }}V\). Il lavoro meccanico dovuto alla pressione del fluido sarà quindi il lavoro svolto sul sistema meno il lavoro che esso compie sull'ambiente circostante, vale a dire che:

\({W_p} = {P_1}{\rm{\Delta }}V – {P_2}{\rm{\Delta }}V = \sinistra( {{P_1} – {P_2}} \destra){\rm {\Delta }}V\)

Infine, la differenza di energia cinetica \({\rm{\Delta }}K\) sarà uguale all'energia cinetica nel punto finale meno l'energia cinetica nel punto iniziale. Questo è:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_2^2 – \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_1^ 2 = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}m\sinistra( {v_2^2 – v_1^2} \destra)\)

Da quanto sopra, sappiamo che \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). L'equazione di cui sopra è quindi come:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\sinistra( {v_2^2 – v_1^2} \destra)\)

Sostituendo tutti i risultati ottenuti nell'equazione di conservazione dell'energia, si ottiene che:

\(\sinistra( {{P_1} – {P_2}} \destra){\rm{\Delta }}V – \rho {\rm{\Delta }}V\sinistra( {{y_2} – {y_1}} \destra) = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\sinistra( {v_2^2 – v_1^2} \destra)\)

Possiamo fattorizzare il termine \({\rm{\Delta }}V\) su entrambi i lati dell'equazione, questo porta a:

\({P_1} – {P_2} – \rho g\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho \left( {v_2^2 – v_1^2 } \Giusto)\)

Sviluppando i prodotti mancanti dobbiamo:

\({P_1} – {P_2} – \rho g{y_2} + \rho g{y_1} = \frac{1}{2}\rho v_2^2 – \frac{1}{2}\rho v_1^ 2\)

Riorganizzando tutti i termini su entrambi i membri dell'equazione otteniamo che:

\({P_1} + \rho g{y_1} + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = {P_2} + \rho g{y_2} + \frac{1}{2}\rho v_2^ 2\)

Questa equazione è una relazione tra lo stato iniziale e lo stato finale del nostro sistema. Possiamo finalmente affermare che:

\(P + \rho gy + \frac{1}{2}\rho {v^2} = costante\)

Quest'ultima equazione è l'equazione di Bernoulli da cui deriva il suo principio. Il principio di Bernoulli è una legge di conservazione per un fluido ideale in moto.

Riferimenti

David Halliday, Robert Resnick e Jearl Walker. (2011). Fondamenti di fisica. Stati Uniti: John Wiley & Sons, Inc.