Esempio di rapporti e proporzioni

I rapporti e le proporzioni, che chiamiamo Motivo al quoziente che è indicato da due numeri e che rappresenta la relazione tra due quantità e a proporzione all'uguaglianza che esiste tra due o più ragioni.

1. Motivo

Un rapporto indica in forma di divisione la relazione tra due grandezze. Ci dice quante unità ci sono rispetto alle altre, ed è solitamente indicato semplificando le frazioni.

Ad esempio, se in una classe abbiamo 24 ragazze e 18 ragazzi, la rappresenteremo in uno dei seguenti modi:

24/18
24:18

E poiché possiamo semplificare la frazione dividendola per 6, allora avremo:

4/3
4:3

E si legge che c'è un rapporto di 4 a 3, o 4 per ogni 3.

Ciascuno dei valori di un rapporto ha un nome. Il valore che si trova sul lato sinistro della relazione è chiamato antecedente, e viene chiamato il valore sul lato destro conseguente.

In questo caso, il rapporto tra ragazze e ragazzi è un rapporto di 4 a 3, o 4 ragazze ogni 3 ragazzi.

2. Proporzione

La proporzione indica per mezzo di un'uguaglianza il confronto di due rapporti. Per scrivere una proporzione bisogna tener conto che i valori antecedenti sono sempre dalla stessa parte, così come quelli conseguenti.

Nel nostro esempio di classe, possiamo confrontare il rapporto che abbiamo, di 4 ragazze per ogni 3 ragazzi, e possiamo calcolare quanti ragazzi ci sono in una stanza in relazione al numero di ragazze o vice versa. Per questo, prima di tutto scriveremo la proporzione che già conosciamo:

4:3

Allora un segno di uguale

4:3=

E poi l'importo totale, ad esempio quello della stessa stanza, ricordando che bisogna rispettare l'ordine dell'antecedente e del conseguente. Nel nostro esempio, l'antecedente sarà il numero delle femmine, e il conseguente il numero dei maschi.

4:3=24:18

Per verificare l'uguaglianza della proporzione, vengono eseguite due moltiplicazioni. In una proporzione, prenderemo come riferimento il segno di uguale. I numeri più vicini sono chiamati centri e i numeri più lontani sono gli estremi. Nel nostro esempio, i numeri 3 e 24 sono i più vicini al segno di uguale, quindi sono i centri. Il 4 e il 18, sono gli estremi. Per verificare che la proporzione sia corretta, il prodotto della moltiplicazione dei centri deve essere uguale al prodotto della moltiplicazione degli estremi:

3 X 24 = 72
4 X 18 = 72

2.1 Proporzione diretta e proporzione inversa

Le proporzioni possono esprimere relazioni in cui aumentando la quantità dell'antecedente aumenta la quantità del conseguente. Questa variazione è chiamata proporzione diretta. L'esempio sopra è un rapporto diretto.

In proporzione inversa, l'aumento della quantità nell'antecedente, significa la diminuzione della quantità nel conseguente.

Ad esempio, in un negozio di mobili, 6 lavoratori realizzano 8 sedie in 4 giorni. Se vogliamo sapere quanti lavoratori sono necessari per costruire le 8 sedie in 1, 2 e 3 giorni, useremo una proporzione inversa.

Per determinarlo utilizzeremo il numero di lavoratori come cifra antecedente e il numero di giorni come cifra conseguente:

6:4=

Seguendo lo stesso ordine, dall'altra parte dell'uguaglianza avremo nuovamente come precedente il numero dei lavoratori, e di conseguenza i giorni che ci vorranno. Avremo qualcosa come il seguente:

6:4 = ?:3
6:4 = ?:2
6:4 = ?:1

Per determinare la proporzione inversa, moltiplicheremo i fattori del rapporto noto, nel nostro esempio, 6 e 4, e divideremo il risultato per i dati noti del secondo rapporto. Quindi, nel nostro esempio, avremo:

6 X 4 = 24
24 / 3 = 8
24 / 2 = 12
24 / 1 = 24

Avremo quindi le seguenti proporzioni:

6:4 = 8:3
6:4 = 12:2
6:4 = 24:1

Con quello che possiamo calcolare che per produrre le 8 sedie in tre giorni occorrono 8 operai; per farli in due giorni, abbiamo bisogno di 12 lavoratori, e per farli in 1 giorno, abbiamo bisogno di 24 lavoratori.

Esempi di motivi

1. In una scatola abbiamo 45 biglie blu e 105 biglie rosse. Lo esprimiamo come 45:105 e dividendo per 15, abbiamo che il rapporto è 3:7 (tre ogni sette), cioè tre biglie blu ogni sette biglie rosse.
2. In una classe scolastica, ogni pallone è usato da ogni squadra di cinque bambini, cioè abbiamo cinque studenti per ogni pallone da calcio. Abbiamo quindi in questo motivo esempio che il rapporto tra studenti - palle è 5 a 1. Questo rapporto è scritto 5: 1 e concludiamo che c'è un rapporto di cinque studenti per ogni pallone da calcio.
3. In un parcheggio ci sono auto di fabbriche asiatiche e americane. In totale ci sono 3060 auto, di cui 1740 sono di fabbricazione asiatica e il resto, 1320, sono di fabbricazione americana. Questo ci darà che il rapporto è 1740/1320. Per semplificarlo, lo dividiamo prima per 10, il che ci lascia 174/132. Se ora lo dividiamo per 6, avremo il rapporto 29:22, cioè nel parcheggio ci sono 29 auto asiatiche ogni 22 auto americane.

Esempi di proporzioni:

Proporzione diretta:

1. In un negozio si vendono dolci nazionali e importati con un rapporto di 3: 2 Se sappiamo che vengono venduti 255 dolci nazionali al giorno, quanti dolci importati vengono venduti al giorno?

3:2=255:?
2 X 255 = 510
510/3 = 170 dolci importati.
3: 2 = 255: 170 (tre sta a due come 255 sta a 170).

1. Ragazzi e ragazze sono stati invitati a una festa. Se sappiamo che hanno partecipato 6 ragazze ogni 4 ragazzi e ci sono 32 ragazzi alla festa, quante ragazze ci sono andate?

6:4 = ?:32
32 X 6 = 192
192/4 = 48 ragazze sono andate alla festa.
6: 4 = 48:32 (6 è 4 come 48 è 32)

1. Per assemblare un tavolo sono necessarie 14 viti. Di quante viti abbiamo bisogno per assemblare 9 tavoli?

14:1 = ?:9
14 X 9 = 126
126/1 = sono necessarie 126 viti.
14: 1 = 126: 9 (14 sta a 1 come 126 sta a 9)

Proporzione inversa:

1. Due gru movimentano 50 container in un'ora e mezza. Quante gru servono per movimentare i 50 container in mezz'ora?

2:1.5 =?:.5
2 X 1,5 = 3
Sono necessarie 3 / .5 = 6 gru.
2: 1.5 = 6: .5 (due gru sono un'ora e mezza, come sei gru sono mezz'ora)

1. Se 4 studenti fanno un lavoro di squadra in 45 minuti, quanto tempo ci vorrà se la squadra è composta da 6, 8, 10 e 12 studenti?

Avremo le seguenti proporzioni:

a) 4:45 = 6 :?
b) 4:45 = 8 :?
c) 4:45 = 10 :?
d) 4:45 = 12 :?

4 X 45 = 180

a) 180/6 = 30 minuti
b) 180/8 = 22,5 minuti
c) 180/10 = 18 minuti
d) 180/12 = 15 minuti

Quindi le proporzioni saranno:

a) 4:45 = 6:30
b) 4:45 = 8: 22,5
c) 4:45 = 10:18
d) 4:45 = 12:15

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