Esempio di minimo comune multiplo

Il Minimo Comune Multiplo, rappresentato dalla sigla m.c.m., di due o più numeri è il più piccolo dei multipli comuni di detti numeri, diverso da zero. Il modo più semplice per trovare il m.c.m. di due o più numeri è scomporre ciascuno dei numeri nei suoi fattori primi. Quindi il minimo comune multiplo è uguale al prodotto di tutti i fattori comuni e non comuni con il loro massimo esponente. Analizziamo il seguente esempio di minimo comune multiplo per chiarire l'idea:
1) Lascia che ci siano due navi che partono insieme da Città del Messico. Uno ripartirà entro dodici (12) giorni e l'altro entro quaranta (40) giorni. La domanda è: quanti giorni impiegheranno entrambe le navi per partire insieme?
In questo esempio, ciò che dobbiamo fare è trovare il minimo comune multiplo di 12 e 40. Per fare ciò, scomponiamo ciascuno di questi numeri nei suoi fattori primi.
No. Fattori primi
12 2
6 2
3 3
1
No. Fattori primi
40 2
20 2
10 2
5 5
1
Nell'esempio, scomporre un numero nei suoi fattori primi rappresenta la divisione di ciascuno di essi per il numero primo più piccolo che lo divide esattamente. Quindi arriviamo alle seguenti conclusioni:

12 = 2 x 2 x 3, o qual è lo stesso 12 = 2 al quadrato (2) x3 y
40 = 2 x 2 x 2 x 5, o qual è lo stesso 40 = 2 al cubo (3) x5
Il minimo comune multiplo è il prodotto dei fattori comune e non comune con il loro massimo esponente, cioè il m.c.m. di 12 e 40 = 2 rialzato cubo x 3 x 5, m.c.m di 12 e 40 = 120, quindi la risposta corretta per questo esempio è che le navi usciranno di nuovo insieme entro 120 giorni.

Un altro esempio di minimo comune multiplo:

2) Due ciclisti professionisti giocano una gara sulla pista di un velodromo. Il primo impiega 32 secondi per completare un giro completo e il secondo 48 secondi. Quante volte in secondi si incontreranno al punto di partenza?
L'esempio è simile al precedente quindi dobbiamo scomporre 32 e 48 nei loro fattori primi.
N. fattori primi
32 2
16 2
8 2
4 2
2 2
1
N. fattori primi
48 2
24 2
12 2
6 2
3 3
1
Quindi 32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 cioè 32 = 2 elevato alla quinta (5) e 48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 cioè 48 = 2 elevato alla quarta (4) x 3 .
Poiché il minimo comune multiplo è uguale al produttore dei fattori comune e non comune con il loro massimo esponente, abbiamo che il m.c.m di 32 e 48 = 2 elevato alla quinta x 3. Il minimo comune multiplo di 32 e 48 = 96, quindi la risposta a questo esempio è che i due ciclisti si incontreranno di nuovo al punto di partenza a 96 secondi.
3) In una banca gli allarmi di sicurezza sono programmati in modo efficiente. Il primo suonerà ogni 10 secondi, il secondo ogni 15 secondi e l'ultimo ogni 20 secondi. Per quanti secondi suoneranno insieme gli allarmi?
Il ragionamento è simile a quello degli esempi precedenti, dobbiamo calcolare il minimo comune multiplo di 10, 15 e 20. Per questo eseguiamo la scomposizione dei suoi fattori primi dei tre numeri.
N. fattori primi
10 2
5 5
1
N. fattori primi
15 3
5 5
1
N. fattori primi
20 2
10 2
5 5
1
Abbiamo che 10 = 2 x 5, che 15 = 3 x 5 e che 20 = 2 al quadrato (2) x 5. Il minimo comune multiplo di 10, 15 e 20 = 2 al quadrato (2) x 3 x 5 = 60. La risposta a questo esempio è che tutti e tre gli allarmi suoneranno insieme a 60 secondi (un minuto).
Ricorda che i numeri primi sono quei numeri che sono divisibili solo tra l'unità (1) e se stessi.