Esempio di spazio pieno

L'Analisi Matematica è la branca delle scienze matematiche che si occupa dello studio di spazio pieno, che è un tipo di spazio metrico.

Uno spazio metrico è costituito da coppie di punti e funzione della distanza tra loro; in questi spazi è possibile definire una sequenza di Cauchy che è formata da distanze sempre più ridotte tra questi due punti. Quando nello spazio metrico non è più possibile trovare una distanza minore nella sequenza allora abbiamo a spazio pieno. Gli insiemi numerici chiusi, cioè quelli in cui c'è un limite, sono spazi completi.

Esempio di spazio pieno:

L'insieme dei numeri naturali, compreso lo 0, è uno spazio completo poiché questo insieme è chiuso dalla fine di 0. La rappresentazione di questo insieme di numeri è no= [0, 1, 2,… n}.

Prendiamo due punti qualsiasi tra due elementi di questo insieme, ad esempio 4 e 8, rappresentati nel modo seguente p = (4, 8), la funzione distanza tra due punti è uguale a 4, la successione di Cauchy è data dalla successione {4, 3, 2, 1, 0} che converge su 0.

Un altro esempio è l'insieme dei numeri reali positivi formati con {0} che è rappresentato come E⁺= [0, 1, 2, 3, 4,…. no}, poiché dati due punti in questo spazio la successione di Cauchy convergerà quando la distanza è 0

L'insieme dei numeri razionali non è uno spazio completo, poiché la distanza 0 (il numero 0 come numero non esiste in questo insieme) che rende la successione di Cauchy non convergente in nessun punto di questo impostato.

Ogni intervallo chiuso dei numeri naturali è uno spazio completo.