Esempio di disuguaglianza fattorizzabile

Una disuguaglianza è la relazione che esiste tra due espressioni algebriche per indicare che possono essere diverse o uguale a seconda del tipo in questione, maggiore di (>), minore di ( =), minore o uguale a (<=).

La soluzione a questa relazione è l'insieme di valori che una variabile può assumere per soddisfare la disuguaglianza.

Le proprietà di una disuguaglianza sono le seguenti:

• Se a> b e b> c allora a> c.
• Se lo stesso numero viene aggiunto a entrambi i membri di una disuguaglianza, vale a> b quindi a + c> b + c.
• Se entrambi i membri di una disuguaglianza vengono moltiplicati per lo stesso numero, la disuguaglianza vale. Se a> b allora ac> bc.
• Se a> b allora –a
• Se a>b allora 1/a <1/b.

Con queste proprietà è possibile risolvere a disuguaglianza fattorizzabile, fattorizzandone i termini e trovando l'insieme dei valori della variabile che lo soddisfano.

Esempio di disuguaglianza fattorizzabile:

Sia la seguente disuguaglianza

x2 + 6x + 8> 0

Fattorizzando l'espressione a sinistra abbiamo:

(x + 2) (x + 4)> 0

Affinché questa disuguaglianza sia valida per tutti i numeri reali tali che X Deve essere maggiore di -2, poiché per x <= -2 il risultato è l'insieme dei numeri minori o uguali a 0.

Trova l'insieme dei numeri che soddisfano la seguente disuguaglianza:

(2x + 1) (x + 2)

Effettuando le operazioni dobbiamo:

2x2 + 3x + 2

Sottrarre x2 da entrambi i lati della disuguaglianza è:

2x2 - x2 + 3x + 2

x2 + 3x + 2 <3x

sottraendo 3x da entrambi i lati della disuguaglianza abbiamo:

x2 + 3x - 3x + 2 <3x - 3x

x2 + 2 <0

poi

x2 <2

x <2/21

L'insieme dei numeri che risolve questo problema è costituito da tutti quei numeri che sono inferiori alla radice quadrata di 2.