הגדרה של גיאומטריה לא אוקלידית

לין גומז | יָם. 2022
פרופסור לפילוסופיה

ביסודו של דבר, גיאומטריות לא אוקלידיות הן אלו שעולות מהשאלה של מה שנקרא העמדה החמישית של אוקלידסלכן חיוני אפיון כללי של עבודתו של אוקלידס, שהיה מתמטיקאי וגיאומטר יווני, שעבודתו היא פרדיגמטית עבור גֵאוֹמֶטרִיָה, להיחשב לאחד ממייסדיה. זה ידוע בוודאות בִּטָחוֹן שחי בעיר אלכסנדריה, מוקד תרבותי של העת העתיקה, בסביבות שנת 300 לפני הספירה. ג.

העבודה שלו אלמנטים זה מתחיל בסדרה של "עקרונות", המורכבת מרשימה של 23 הגדרות; ואחריו 5 הנחות, המתייחסות ל דמויות גיאומטרי במיוחד; ו-5 אקסיומות כלליות, המשותפות לדיסציפלינות מתמטיות אחרות. לאחר מכן, לאחר העקרונות, אוקלידס מציג את ה"הצעות", משני סוגים: בעיות, המתייחסות ל- בִּניָן של דמויות עם שלטון ומצפן; ומשפטים, המתייחסים להדגמת התכונות שיש דמויות גיאומטריות.

ההנחה החמישית של אוקלידס

הוא קובע כי "אם קו ישר הנופל על שני קווים ישרים אחרים הופך את הזוויות הפנימיות של אותה צד לקטנות משני קווים ישרים, ואז, אם שני הקווים מתארכים ללא הגבלה, הם נפגשים בצד שבו הזוויות קטנות משתיים יָשָׁר”. אם הזוויות היו ישרות, אז קווים כאלה, לפי הגדרה מס' 23, היו מקבילים ("קווים מקבילים הם קווים שאם הם נמצאים באותו מישור ומתארכים ללא הגבלת זמן, אינם נפגשים בשום כיוון.”).

הנחת היסוד הזו, מורכבת יותר מהקודמת, לא הייתה מוטלת כשלעצמה בספק: לא היה ברור כי, בהארכת קווים ללא הגבלה, הם יחתכו בצד שבו הזוויות היו קטנות משתי זוויות ישרות, מכיוון שלא ניתן יהיה להוכיח זאת על ידי בִּניָן. לאחר מכן, נותרה פתוחה האפשרות שהקווים התקרבו זה לזה ללא הגבלת זמן מבלי להצטלב.

ניסיונות להוכיח את ההנחה החמישית

מסיבה זו, מהעת העתיקה ועד לאמצע המאה ה-19, הייתה שורה של ניסיונות כושלים להוכיח את ההנחה החמישית: תמיד הושגה הוכחה; אך הצגת עמדה נוספת נוספת (שקולה מבחינה לוגית לחמישית), השונה מאלו של אוקלידס. כלומר, לא ניתן היה להוכיח את ההנחה החמישית, אלא הוחלפה בהנחה מקבילה.

דוגמה לכך היא ההנחה של ג'ון פלייפייר (ס. XVIII): "נקודה אחת מקבילה לישר זה עוברת דרך נקודה מחוץ לישר שנמצאת באותו מישור." (ידוע כ "פוסטולציה מקבילה”). גיאומטריות לא אוקלידיות נובעות בדיוק מהניסיונות הכושלים להוכיח את ההנחה החמישית של המערכת האוקלידית.

מבחן האבסורד של סאצ'רי

בשנת 1733 ניסה המתמטיקאי האיטלקי ג'ירולמו סאצ'רי להוכיח את האבסורד של ההנחה החמישית של אוקלידס. לשם כך, הוא בנה מרובע (המכונה "מרובע של סאצ'רי", שבו זוג זוויות אחד הם ישרות זוויות) וקבע כי ההנחה החמישית מקבילה לטענה כי זוויות אופייניות (אלה מול זוג הזוויות הישרות) של אותו מרובע הן גם זוויות ישרות. ואז יש שלושה הַשׁעָרָה אפשרי, סותר זה את זה: ששתי הזוויות האופייניות הן ישרות, חדות או קהות. כדי להוכיח את ההנחה החמישית על ידי האבסורד, היה צורך להוכיח (מבלי להזדקק לחמישית הניח) שההשערות של הזווית הקהה והחריפה מרמזות על סתירה, ולכן, שֶׁקֶר.

Saccheri הצליח להוכיח כי השערת הזווית הקהה סותרת, אך הוא לא הצליח במקרה של הזווית החדה. להיפך, הוא הסיק סדרה של משפטים התואמים ואינם תואמים את הגיאומטריה האוקלידית. לבסוף, הוא הגיע למסקנה שבהתחשב במוזרותם של משפטים אלה, ההשערה חייבת להיות שקרית. כתוצאה מכך, הוא סבר שהוא הוכיח שההנחה החמישית היא אבסורד; עם זאת, מה שהוא כן עשה היה להוכיח בטעות קבוצה חשובה של משפטים של גיאומטריה לא אוקלידית.

הגילוי ה"בו-זמני" של גיאומטריות לא אוקלידיות

קארל פ. גאוס, במאה התשע עשרה, היה הראשון שחשד שלא ניתן להוכיח את ההנחה החמישית מארבע האחרות (כלומר, שהיא הייתה באופן עצמאי) ובהגות את האפשרות של גיאומטריה לא אוקלידית שהתבססה על ארבע ההנחות האוקלידיות ועל שלילת חמישי. הוא מעולם לא פרסם את התגלית שלו: זה נחשב למקרה של גילוי בו זמנית, כי היו לו שלושה רפרנטים עצמאיים (גאוס עצמו, יאנוס בוליאי וניקולאי לובצ'בסקי).

ההכחשה ל חמישי חוֹק אוקלידית מרמזת על שתי אפשרויות (לקבל את הניסוח המקביל של Playfair): דרך נקודה מחוץ לקו ישר, או ללא מעבר מקביל, או יותר ממעבר מקביל אחד. בין הגיאומטריות הלא אוקלידיות אנו מוצאים, למשל, את הגיאומטריה "דִמיוֹנִי" מאת לובצ'בסקי, - נודע מאוחר יותר בשם "היפרבולי"- לפי, "בהינתן נקודה חיצונית לישר, עוברים בנקודה זו אינסוף קווים חותכים, אינסוף ישרים שאינם חותכים ורק שני ישרים מקבילים.”, שלא כמו המקבילה האוקלידית הייחודית; או הגיאומטריה האליפטית של ברנהרד רימן, הקובעת כי "דרך נקודה מחוץ לקו, שום מקבילה לקו זה לא עוברת.”.

יישומים והשלכות של הגילוי

נכון לעכשיו, ידוע שבמרחב המקומי, שתי הגיאומטריות נותנות תוצאות משוערות. ההבדלים מופיעים כאשר המרחב הפיזי מתואר בגיאומטריה כזו או אחרת, בהתחשב במרחקים גדולים. למרות שאנו ממשיכים להשתמש בגיאומטריה אוקלידית, מכיוון שהיא זו שמתארת ​​את המרחב שלנו בצורה פשוטה ביותר בקנה מידה מקומי, התגלית של גיאומטריות לא-אוקלידיות היה מכריע ככל שפירושו שינוי רדיקלי של הבנת האמיתות מַדָעִי.

עד אז, הגיאומטריה האוקלידית נחשבה לתאר את החלל באמת. כאשר הוכיחו את האפשרות לתאר זאת באמצעות גיאומטריה אחרת, עם הנחות אחרות, היה צורך לחשוב מחדש על הקריטריונים שלפיהם ניתן היה להניח הסבר כזה או אחר כגון "נָכוֹן”.

בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה

MARTINEZ LORCA, A. (1980) "האתיקה של סוקרטס והשפעתם על מַחֲשָׁבָה Occidental", ב-Revista Baética: Estudios de Arte, גֵאוֹגרַפיָה והיסטוריה, 3, 317-334. אוניברסיטת מלאגה.