מהי משוואת דיראק וכיצד היא מוגדרת?

פול אדריאן מוריס דיראק (1902-1984) הציע בסוף 1928 את אחת המשוואות בעלות החשיבות הגדולה ביותר השלכות בפיזיקה של העידן הנוכחי, וזאת משום שהיא מאחדת את העקרונות של מכניקת הקוונטים עם אלה של תוֹרַת הָיַחֲסוּת.

ציטוט (APA)

אוולין מייטי מרין | אוגוסט 2022
מהנדס תעשיה, MSc בפיזיקה, ו-EDD

ניתן לבטא משוואה זו בכמה דרכים, כשהקומפקטית והפשוטה ביותר היא מה שנחשב לאחת המשוואות האסתטיות ביותר במדע:

\(\left( {i\nabla - \frac{{mc}}{h}} \right) = 0\)

איפה:
i: יחידה דמיונית
m: מסת מנוחה של האלקטרון
ħ: הקבוע המופחת של פלאנק
ג: מְהִירוּת של האור
: אופרטור סיכום של נגזרות חלקיות
: פונקציית גל מתמטית של האלקטרון

הערך המוחלט של הריבוע של פונקציית הגל מייצג את הִסתַבְּרוּת למצוא את החלקיק במיקום מסוים, בהתחשב בו אֵנֶרְגִיָה, מהירות, בין שאר הפרמטרים, כמו גם שלה אבולוציה בזמן. במילים אחרות, משוואת פול דיראק משתמשת במטריצות הפועלות על וקטורים ומייצגת התפתחות של משוואת שרדינגר בפיזיקה קוונטית רלטיביסטית.

משוואת דיראק שימשה במקור לתיאור התנהגותו של אלקטרון נטול אינטראקציה, אם כי ישימותה משתרעת על תיאור של חלקיקים תת-אטומיים כאשר הם נעים במהירויות הקרובות למהירות האור. דיראק הצליח להסביר בקנה מידה תת-אטומי את ההתנהגות הכפולה של גל וחלקיק שהייתה ידועה כבר אז, שכן הוא בחן את תכונותיהם של חלקיקים כמו תנע זוויתי

עוד אחת מהתרומות המשמעותיות של משוואת דיראק היא חיזוי האנטי-חומר, שקיומה הוכח מאוחר יותר (ב-1932) על ידי קרל ד. אנדרסון באמצעות תא ענן שאיתו זיהה את הפוזיטרון. זה גם מסביר במידה רבה את המבנה העדין שזוהה בקווים ספקטרליים אטומיים.

התמונה מציגה את התצלום המפורסם שצולם במהלך ועידת "פוטונים ואלקטרונים" ב-1927, שם מוצגים כמה מהמדענים המצטיינים בהיסטוריה. בהיקף השמימי נמצא פול דיראק.

רקע משוואת דיראק

על מנת להבין את השיקולים שנקט דיראק בפיתוח המשוואה שלו, כמו גם את הבסיסים שעליהם התבססה גישתו, חשוב להכיר את התיאוריות שקדמו לו דֶגֶם.

ראשית, יש את משוואת שרדינגר המפורסמת של מכניקת הקוונטים, שפורסמה ב-1925, הממירה כמויות לאופרטורים קוונטיים. משוואה זו משתמשת בפונקציית הגל (), כאשר נקודת ההתחלה שלה היא המשוואה הקלאסית של אנרגיה E = p2/2m ומשלבת את כללי הקוונטיזציה הן לתנע (p) והן לאנרגיה (ו):

\(ih\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {r, t} \right) = \left[ {\frac{{{h^2}}}{{2m}}{\ nabla ^2} + V\left( {r, t} \right)} \right]\left( {r, t} \right)\)

הנגזרת החלקית /t מבטאת את התפתחות המערכת ביחס לזמן. המונח הראשון בתוך הסוגר הריבועי מתייחס ל- אנרגיה קינטית (\({\nabla ^2} = \frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r, t} \right)\)), בעוד שהמונח השני מתייחס ל- אנרגיה פוטנציאלית.

הערה: בתורת היחסות של איינשטיין, המשתנים של מרחב וזמן חייבים להיכנס באופן שווה ל- משוואות, מה שלא המקרה במשוואת שרדינגר, שבה הזמן מופיע כנגזרת, והמיקום כנגזרת נגזרת שנייה.

כעת, במשך מאות שנים, מדענים ניסו למצוא מודל של פיזיקה המאחד את התיאוריות השונות, ובמקרה של המשוואה של שרדינגר, לוקחת בחשבון את המסה (m) ואת מטען האלקטרון, אך אינה מתייחסת להשפעות היחסיות המתבטאות בגובה גבוה. מהירויות. מסיבה זו, בשנת 1926, הציעו המדענים אוסקר קליין ווולטר גורדון משוואה שאכן לוקחת בחשבון את עקרונות היחסות:

\({\left( {ih\frac{\partial }{{\partial t}}} \right)^2} = \left[ {{m^2}{c^4} + c{{\left( { - ih\bar \nabla } \right)}^2}} \right]\)

הבעיה עם משוואת קליין-גורדון היא שהיא מבוססת על של איינשטיין, שבה האנרגיה בריבוע, אז המשוואה הזו (קליין-גורדון) משלבת נגזרת בריבוע ביחס לזמן, וזה מרמז שיש לה שני פתרונות, המאפשרים ערכים שליליים של זמן, וזה לא הגיוני גוּפָנִי. כמו כן, יש לו את אי הנוחות של יצירת ערכי הסתברות הנמוכים מאפס כפתרונות.

בניסיון לפתור את חוסר העקביות המשתמע מפתרונות שליליים בסדרי גודל מסוימים שאינם תומכים בתוצאות אלה, פול דיראק התחיל ממשוואת קליין-גורדון ל ליניאריזציה שלו, ובהליך זה, הוא הציג שני פרמטרים בצורה של מטריצות של מימד 4, המכונה מטריצות דיראק או גם פאולי, ואשר הם ייצוג של האלגברה של סיבוב. פרמטרים אלה מסומנים כ-  ו- ` (במשוואת האנרגיה, הם מיוצגים כ-E = pc + mc2):

לפי מה שיש שוויון מתקיים, התנאי הוא ש´2 = m2c4

באופן כללי, כללי הקוונטיזציה מובילים לפעולות עם נגזרות החלות על פונקציות גל סקלריות, עם זאת, כמו הפרמטרים α ו-β הם מטריצות 4x4, האופרטורים הדיפרנציאליים מתערבים על וקטור ארבעה ממדי (), המכונה ספינור.

משוואת דיראק פותרת את בעיית האנרגיה השלילית שמציגה משוואת קליין-גורדון, אך עדיין מופיע פתרון אנרגיה שלילית; כלומר, חלקיקים בעלי תכונות דומות לאלו של התמיסה האחרת אך בעלי מטען הפוך, דיראק כינה זאת אנטי-חלקיקים. יתר על כן, עם משוואת דיראק, הוכח שהספין הוא תוצאה של החלת תכונות רלטיביסטיות על העולם הקוונטי.