מהי היררכיית הפעולות?

היררכיית הפעולות היא מוסכמה מתמטית הקובעת את הסדר שבו יש לבצע פעולות חישוב משולבות ב אותה משפט מתמטי, כלומר כאשר יש משפט מתמטי שבו יש פעולות מתמטיות (חיבור, חיסור, כפל, חילוק, חזקות ושורשים) בשילוב, יש לבצע אותם בסדר מסוים כדי להגיע לתוצאה מְשׁוּתָף.

אבל למה צריך היררכיה? על מנת לענות עליה, ראשית עלינו להבין היטב את טבען של פעולות מתמטיות, המורכבות מתמרה המוחלת על מרכיבי קבוצה. הבה נחשוב, למשל, על קבוצת המספרים הממשיים, כלומר, אותם מספרים שכולנו מכירים. אם ניקח מספר a ונוסיף אותו עם עוד מספר b נקבל עוד מספר c ששייך לאותה קבוצה של מספרים ממשיים, כלומר:

a+b = c

בנוסף, סדר הצגת התוספות אינו משפיע על התוצאה הסופית, כלומר a+b = b+a, מאפיין זה נקרא קומוטטיביות. חשוב לדבר על תוספת כי זו הפעולה הבסיסית שממנה נגזרות כל השאר. כפל הוא לא יותר מסדרה של תוספות חוזרות ונשנות. אם יש לנו שוב מספר a ונכפיל אותו במספר b, מה שאנחנו עושים זה לפעמים להוסיף את המספר b עם עצמו, או, לחילופין, להוסיף את b כפול המספר a עם עצמו. הדבר האחרון הוא כך מכיוון שכפל הוא קומוטטיבי כמו חיבור, הדבר מרמז כי: a⋅b = b⋅a. ניתן לבטא את האמור לעיל כך:

אנו יכולים בקלות לדמיין זאת באמצעות דוגמה. בוא נעשה את הכפל של 5×2:

5×2 = 2×5 = 2+2+2+2+2 = 5+5 = 10

עכשיו, מה אם נצטרך לבצע פעולה שבה שילבנו חיבור עם כפל? לדוגמה: a⋅b+c. מהו הסדר שבו יש לבצע חיבור וכפל? לאיזה פעולה עלינו לתת עדיפות? אם נבצע תחילה את הכפל ונפתח אותו כסכום יהיה לנו:

כעת, אם נבצע קודם את החיבור ולאחר מכן את הכפל נקבל:

מכיוון שההוספה היא קומוטטיבית, אנו יכולים לקבץ מחדש את הצד הימני של המשוואה כדי לקבל:

בהשוואה בין התוצאות שהתקבלו בשני המצבים קל להבין כי:

אנו מסיקים אם כן כי הסדר בו הוחלט על ביצוע הפעולות משפיע על התוצאה המתקבלת. אותו דבר קורה כאשר אנו מערבים סמכויות. כשאנחנו מעלים מספר b לחזקה c, מה שאנחנו עושים זה להכפיל את c כפול המספר b עם עצמו, כלומר:

כעת אנו ממשיכים לבצע את הפעולה המשולבת הבאה הכוללת כפל וחזק a⋅b^ג בסדר שונה כפי שעשינו במקרה הקודם. אם קודם כל נותנים עדיפות לכוח יש לנו:

כעת, אם נבצע תחילה את הכפל ולאחר מכן את העוצמה, יהיה לנו:

תוך ניצול הקומוטטיביות של הכפל נוכל לקבץ מחדש את הצד הימני של המשוואה כ:

שוב, אנו יכולים להשוות את התוצאות שהושגו על ידי ביצוע הפעולות בסדר שונה כדי להבין ש:

גם במקרה זה סדר ביצוע הפעולות משפיע על התוצאה המתקבלת. אז מה הסדר שבו יש לבצע את הפעולות? היררכיית הפעולות קובעת שכוחות נמצאים ברמת היררכיה גבוהה יותר מכפלים, באופן שלסמכויות יש עדיפות במשפט מתמטי. בתורו, לכפל יש רמת היררכיה גבוהה יותר מאשר תוספות.

אבל מה לגבי חיסור, חלוקה ושורשים? חיסור היא הפעולה ההפוכה של חיבור, כאשר אנו מחסירים מספר b ממספר a נקבל עוד מספר c כך ש-c+b=a. משהו דומה קורה עם חלוקה וחיסור. אם נחלק מספר a במספר b ונקבל מספר c כתוצאה מכך, מצאנו מספר כזה ש-b⋅c=a. ולבסוף, על ידי חישוב השורש b של מספר a נמצא מספר c כך ש-c^ב=א. שקילות אלו מציבות חיסור, חילוק ושורש באותה רמת היררכיה כמו חיבור, כפל וחזקה, בהתאמה.

תרגולים בסוגריים וסוגריים

עכשיו, מה קורה אם אנחנו רוצים לתת עדיפות לפעולות מסוימות בהצהרה מתמטית ללא קשר לרמת ההיררכיה שלהן? לשם כך, משתמשים בסוגריים ובסוגריים מרובעים. נניח שיש לנו את ההצהרה של העיקרון a⋅b+c. עם מה שאמרנו קודם אנחנו כבר יודעים שצריך לבצע קודם את הכפל ואחר כך את החיבור. אבל, מה אם היינו רוצים שזה לא יהיה כך? לשם כך, נצטרך להשתמש בסוגריים או בסוגריים מרובעים כדי להפריד בין החיבור למכפל ובכך לתת עדיפות לחישוב החיבור תחילה, כלומר: a⋅(b+c). זה גורם להצהרות המופרדות בסוגריים וסוגריים מרובעים לקבל את העדיפות הגבוהה ביותר על פני כל הפעולות האחרות.

עם כל האמור לעיל, ההיררכיה של הפעולות, או הסדר שבו יש לבצע אותן, היא כדלקמן:

1) סוגריים וסוגריים
2) כוחות ושורשים
3) כפל וחילוק
4) חיבור וחיסור

הפניות

ח. בהנקה, פ. בכמן, ק. פלדט, וו. סוס, ה. גיריקה, פ. הוהנברג, ג. פיקרט, ה. Rau & S. ח. גולד. (1983). יסודות המתמטיקה: כרך א'. קיימברידג', מסצ'וסטס ולונדון: הוצאת MIT.