הגדרת פונקציה ריבועית

פונקציה ריבועית של משתנה ממשי שצורתו באה לידי ביטוי.

\(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\)

כאשר המשתנה הוא \(x\), \(a, b\) ו-c הם קבועים ממשיים, הנקראים מקדמים של הפונקציה הריבועית עם \(a \ne 0.\)

הטבלה מקדמת דוגמאות כלליות של פונקציות ריבועיות והמצב שהן יכולות לעצב, כדי להמחיש מאוחר יותר את היישום הישיר שלהן מבעיות אמיתיות.

פונקציה ריבועית	מצב שאתה יכול לדגמן
\(f\left( x \right) = {x^2}\)	המשתנה \(y\) הוא שטחו של ריבוע שהצד שלו בגודל \(x\).
\(f\left( x \right) = \pi {x^2}\)	המשתנה \(y\) הוא שטח מעגל שהרדיוס שלו הוא \(x\).
\(f\left( x \right) = 100 – 4.9{x^2}\)	המשתנה \(y\) הוא גובהו של אובייקט שנפל בגובה 100 ו-\(x\) הוא הזמן שחלף.
\(f\left( x \right) = 60\left( {{\bf{sin}}45^\circ } \right) x – 4.9{x^2}\)	המשתנה \(y\) הוא גובהו של כדור תותח המושלך בזווית של 45° במהירות של 60 מ'/שנ' ו-\(x\) הוא הזמן שחלף.

הנוסחה הכללית והפונקציה הריבועית

אם עבור \(x = \alpha \) הפונקציה הריבועית היא אפס, אז המספר הוא \(\alpha \) נקרא שורש הפונקציה הריבועית, כן, \(\alpha \) הוא הפתרון של המשוואה הריבועית

\(a{x^2} + bx + c = 0\)

הנוסחה הכללית לפתרון משוואות ריבועיות שיש לנו ששורשי פונקציה ריבועית הם:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}},\;\;\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b ^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

מהאמור לעיל נוצר הקשר הבא בין השורשים והמקדמים של הפונקציה הריבועית:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a},\;\;\alpha \beta = \frac{c}{a}\)

באמצעות מוצרים בולטים נקבעת הזהות הבאה:

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\)

באופן דומה לזה שנקבע בנוסחה הכללית, נקבע שניתן לבטא את הפונקציה הריבועית בצורה:

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

עם \(h = – \frac{b}{{2a}}\) ו-\(k = – \frac{{{b^2} – 4ac}}{a}\)

על ידי פתרון המשוואה:

\(a{\left( {x – h} \right)^2} + k = 0\)

מושג:

\(\left| {x – h} \right| = \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

\(x = h \pm \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

מהאמור לעיל ניתן להסיק ש-\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\), רק אם הקבועים \(k\) ו \(a\) הם של סימנים מנוגדים, לפונקציה הריבועית הזו יש שורשים אמיתיים, שהם: \(h + \sqrt { – \frac{k}{a}} ,\;\;h – \sqrt { – \frac{k}{a} } \).

אם לקבועים \(k\) ו-\(a\) יש אותו סימן אז לפונקציה הריבועית אין שורשים ממשיים.

כאשר \(k = 0,\;\;\)לפונקציה הריבועית יש רק שורש אחד.

דוגמאות המיושמות לחיים האמיתיים

דוגמה ליישום 1: כלכלה

בית ספר רוצה לארגן טורניר כדורגל שבו כל קבוצה משחקת בכל אחת מהקבוצות האחרות פעם אחת בלבד. יש תקציב של 15,600$ לעלות הבוררות, אם עלות הבוררות היא 200$ למשחק. כמה קבוצות יכולות להירשם לטורניר?

הצהרת בעיה: עלינו למצוא פונקציה שמחשבת את מספר ההתאמות כאשר יש לנו \(n\) קבוצות כדי לספור אותן, נניח שצוות 1 משחק ראשון עם כל האחרות, כלומר \(n – 1\) התאמות. קבוצה 2 תשחק כעת עם כל השאר, כלומר עם \(n – 2\), מכיוון שהם כבר שיחקו עם קבוצה 1. צוות 3 כבר ישחק עם קבוצות 1 ו-2, אז הם יצטרכו לשחק עם קבוצות n-3.

עם ההיגיון לעיל אנו מגיעים ל:

\(f\left( n \right) = n – 1 + n – 2 + \ldots + 2 + 1\)

\(f\left( n \right) = \frac{{n\left( {n – 1} \right)}}{2}\)

פונקציית העלות היא:

\(C\left( n \right) = 200f\left( n \right) = 100n\left( {n – 1} \right)\)

עם תקציב של $15,600, יש לנו את המשוואה:

\(100n\left( {n – 1} \right) = 15600\)

פתרון המשוואה

\(100n\left( {n – 1} \right) = 15600\) מצב התחלתי
\(n\left( {n – 1} \right) = 156\) חלקו כל צד של המשוואה ב-100
\({n^2} – n – 156 = \) הוסף \( – 156\) לכל צד של המשוואה
\(\left( {n – 13} \right)\left( {n + 12} \right) = 0\) יש לנו \(\left( { – 13} \right)\left( {12} \right ) = – 156\) ו-\( – 13 + 12 = – 1\)
זה היה מוערך.
פתרונות של המשוואה \(n = – 12,\;13\)
תשובה: התקציב מספיק ל-13 קבוצות להירשם.

דוגמה ליישום 2: כלכלה

חברת אוטובוסי תחבורה מטרופולינית הבחינה כי ביום של שמונה שעות, כל אוטובוס שלה מסיע בממוצע אלף נוסעים. כדי להיות בעמדה להעניק לעובדים שלך העלאה בשכר, תצטרך להעלות את תעריף הנסיעה שלך, שהוא כרגע $5; כלכלן מחשב שעל כל פסו שהתעריף יעלה, כל משאית תאבד בממוצע 40 נוסעים בכל יום. החברה חישבה שכדי לכסות את העלאת השכר עליה לקבל תוספת של 760 דולר למשאית בכל יום, בכמה תעריף צריך לעלות?

הצהרת הבעיה: תן \(x\) להיות כמות הפסו שבה הכרטיס יעלה, שעבורם \(5 + x\) היא העלות החדשה של הכרטיס. עם אותה עלייה, כל משאית תסיע \(1000 - 40x\) נוסעים ביום, בממוצע.

לבסוף, ההכנסה למשאית היא:

\(I\left( x \right) = \left( {5 + x} \right)\left( {1000 – 40x} \right) = – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right)\)

על מנת לכסות את העלאת השכר על כל אוטובוס לאסוף: \(1000\left( 5 \right) + 760 = 5760\)

לבסוף יש לנו את המשוואה:

\( – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = 5760\)

פתרון המשוואה
\( – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = 5760\) מצב התחלתי
\(\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = – 144\) חלקו ב-\( – 40\) בכל צד של המשוואה
\({n^2} – 20n – 125 = – 144\) המוצר המדהים פותח
\({n^2} – 20n + 19 = 0\) נוספו 144 לכל אחד
\(\left( {n – 19} \right)\left( {n – 1} \right) = 0\) יש לנו \(\left( { – 19} \right)\left( { – 1} \ מימין) = 19\) ו-\( – 19 – 1 = – 20\)
מחושב
פתרונות של המשוואה \(n = 1.19\)
תשובה: מחיר הכרטיס יכול לעלות $1 או $19 פסו.

דוגמה ליישום 3: כלכלה

חנות לחמים מוכרת בממוצע 1,200 לחמניות בשבוע ב-6 דולר כל אחת. יום אחד הוא החליט להעלות את המחיר ל-9 דולר ליחידה; כעת המכירות שלה ירדו: היא מוכרת רק 750 לחמניות בממוצע בשבוע. מה צריך להיות המחיר של כל לחמנייה כדי שהפדיון של האאוטלט יהיה הכי גבוה שאפשר? נניח שיש קשר ליניארי בין ביקוש למחיר.

הצהרת בעיה: בהנחה שיש קשר ליניארי בין הביקוש D למחיר \(x,\) אז

\(D = mx + b\)

כאשר \(x = 6;D = 1200;\;\) אשר יוצר את המשוואה:

\(1200 = 6m + b\)

כאשר \(x = 9;D = 750;\;\) lo ומתקבלת המשוואה:

\(750 = 9m + b\)

בפתרון מערכת המשוואות, הקשר בין ביקוש למחיר הוא:

\(D = – 150x + 2100 = – 150\left( {x – 14} \right)\)

ההכנסה שווה ל

\(I\left( x \right) = Dx = – 150x\left( {x – 14} \right)\)

פִּתָרוֹן

גרף ההכנסה בפרבולה הנפתחת כלפי מטה והערך המקסימלי שלה מגיע בקודקוד על אשר ניתן למצוא על ידי ממוצע השורשים של הפונקציה הריבועית המדגמנת את הַכנָסָה. השורשים הם \(\alpha = 0,\;\;\beta = 14\).

\(h = \frac{{0 + 14}}{2} = 7\)

\(I\left( h \right) = – 150\left( 7 \right)\left( {7 – 14} \right) = 7350\)

תשובה

ההכנסה המקסימלית היא $7,350 והיא מושגת עם מחיר של $7; מוכר, בממוצע, 1050 לחמניות בשבוע.

דוגמה ליישום 4: כלכלה

ניתן לחשב את העלות לייצור כסאות \(n\) ביום אחד באמצעות הפונקציה הריבועית:

\(C\left( n \right) = {n^2} – 200n + 13000\)

קבע את העלות המינימלית שניתן להשיג.

הצהרת בעיה

הגרף של \(C\left( n \right)\) הוא פרבולה הנפתחת כלפי מעלה ותגיע לנקודת המינימום שלה ב-\(h = – \frac{b}{{2a}} = – \frac{{\ left( { – 200} \right)}}{{2\left( 1 \right)}} = 100\)

\(C\left( {100} \right) = {\left( {100} \right)^2} – 200\left( {100} \right) + 13000 = 3000\)

תשובה

העלות הנמוכה ביותר האפשרית שווה ל-$3000 והיא מושגת על ידי ייצור של 100 כיסאות.

דוגמה ליישום 5: גיאומטריה

למעוין שטח של 21 ס"מ; אם סכום אורכי האלכסונים שלו הוא 17 ס"מ, מה אורכו של כל אלכסון של המעוין?

הצהרת בעיה: השטח של מעוין מחושב באמצעות:

\(A = \frac{{Dd}}{2}\)

עם \(D\) ו-\(d\) אורכי האלכסונים שלו, זה ידוע גם:

\(D + d = 7\)

\(D = 17 – ד\)

בהחלפה אתה מקבל:

\(A = \frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2}\)

לבסוף נקבל את המשוואה

\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\)

פִּתָרוֹן
\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\) מצב התחלתי
\(\left( {17 – d} \right) d = 42\) הכפל ב-\( – 40\) כל צד של המשוואה
\({d^2} – 17d + 42 = 0\) המוצר פותח.
\(\left( {d – 14} \right)\left( {d – 3} \right) = 0\) יש לנו \(\left( { – 14} \right)\left( { – 3} \ מימין) = 42\) ו-\( – 14 – 3 = – 17\)
מחושב
פתרונות של המשוואה \(d = 3.14\)
תשובה:

מידות האלכסונים של המעוין 14 ס"מ ו-3 ס"מ.

דוגמה ליישום 6: גיאומטריה

רצוי לבנות לול מלבני של 140 מ"ר תוך ניצול גדר ארוכה למדי שתהווה את תחתית הלול. שלושת הדפנות האחרות ייבנו עם 34 מטר ליניארי של רשת תיל, כמה צריך להיות האורך והרוחב של הלול כדי להשתמש בכלל הרשת?

באותם תנאים, מהו השטח המקסימלי שניתן לגדר באותה רשת?

הצהרת בעיה: לפי התרשים, השטח שווה ל:

\(A\left( x \right) = x\left( {34 – 2x} \right) = 2x\left( {17 – x} \right)\)

כאשר \(x\) הוא אורך הצלע בניצב לגדר.

כדי לדעת את המידות של המלבן כך שיהיה לו שטח של 140 מ"ר, מספיק לפתור את המשוואה

\(2x\left( {17 – x} \right) = 140\)

מכיוון שהגרף של \(A\left( x \right)\) הוא פרבולה הנפתחת כלפי מטה כדי לחשב את הערך המרבי של השטח, מספיק לחשב את קודקוד הפרבולה.

תשובות
מידות המלבן עם שטח 140 מ"ר
אורך הצד בניצב לגדר

\(x\) אורך הצד המקביל לגדר

\(34 - 2x\)
10 14
7 20

הקואורדינטה הראשונה של הקודקוד היא \(h = \frac{{17}}{2}\) ו

\(A\left( h \right) = \frac{{289}}{2}\)

השטח הוא מקסימלי כאשר הצד הניצב מודד \(\frac{{17}}{2}\;\)m והצד המקביל בגודל 17m, הוא בגודל 17m, הערך של השטח המרבי אליו הגיע הוא \(\frac{ {289}} {2}\) מ"ר.

גרף של פונקציה ריבועית

מנקודת מבט גיאומטרית, השורשים הם הנקודות שבהן הגרף של פונקציה חוצה את ציר \(x\).

מתוך הביטוי

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k,\)

נקבע את הצורה הכללית של הגרף של פונקציה ריבועית.

מקרה ראשון \(a > 0\) ו-\(k > 0\)

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

\(איקס\)	\(f\left( x \right)\)
\(h – 1\)	\(a + k\)
\(h – 2\)	\(4a + k\)
\(h – 3\)	\(9a + k\)
\(h – 4\)	\(16a + k\)
\(h\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(a + k\)
\(h + 2\)	\(4a + k\)
\(h + 3\)	\(9a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

במקרה זה הגרף עונה על:

סימטרי: עם ציר סימטריה \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) כלומר \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \right)\)

הוא נמצא מעל ציר \(x\) ואינו חוצה אותו. כלומר, ל-\(f\left( x \right) > 0\) אין שורשים אמיתיים.

הנקודה הנמוכה ביותר בגרף נמצאת בנקודה \(\left( {h, k} \right)\). כלומר \(f\left( x \right) \ge f\left( h \right) = k\)

מקרה שני \(a < 0\) ו-\(k < 0\)

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

\(איקס\)	\(f\left( x \right)\)
\(h – 1\)	\(a + k\)
\(h – 2\)	\(4a + k\)
\(h – 3\)	\(9a + k\)
\(h – 4\)	\(16a + k\)
\(h\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(4a + k\)
\(h + 2\)	\(9a + k\)
\(h + 3\)	\(4a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

במקרה זה הגרף עונה על:

סימטרי: עם ציר סימטריה \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) כלומר \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \right)\)

הוא נמצא מתחת לציר \(x\) ואינו חוצה אותו. כלומר, ל-\(f\left( x \right) < 0\) אין שורשים אמיתיים. הנקודה הגבוהה ביותר בגרף נמצאת בנקודה \(\left( {h, k} \right)\). כלומר \(f\left( x \right) \le f\left( h \right) = k\) מקרה שלישי \(a > 0\) ו-\(k \le 0\).

מקרה זה דומה למקרה הראשון, ההבדל הוא שכעת יש לנו שורש אמיתי אחד (כאשר \(k = 0\) ) או שני שורשים אמיתיים.

במקרה זה הגרף עונה על:

סימטרי: עם ציר סימטריה \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) כלומר \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \right)\)

הוא חוצה את ציר \(x\), כלומר יש לו לפחות שורש אמיתי אחד.

הנקודה הנמוכה ביותר בגרף נמצאת בנקודה \(\left( {h, k} \right)\). כלומר \(f\left( x \right) \ge f\left( h \right) = k\)

מקרה רביעי \(a < 0\) ו-\(k \ge 0\). מקרה זה דומה למקרה השני, ההבדל הוא שכעת יש לנו שורש אמיתי אחד (כאשר \(k = 0\) ) או שני שורשים אמיתיים. במקרה זה הגרף עונה על:

סימטרי: עם ציר סימטריה \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) כלומר \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \right)\)

הנקודה הנמוכה ביותר בגרף נמצאת בנקודה \(\left( {h, k} \right)\). כלומר \(f\left( x \right) \le f\left( h \right) = k\)

הגרף של פונקציה ריבועית נקרא פרבולה והאלמנטים שלה להדגיש הם ציר הסימטריה, הנקודות שבהן הוא חותך לציר \(x\) ולקודקוד, שהיא הנקודה בגרף הפונקציה שבה היא מגיעה לנקודה הנמוכה ביותר או הגבוהה ביותר שלה בהתאם ל- מקרה.

על סמך הניתוח שבוצע, אנו יכולים לציין:

לפרבולה הקשורה לפונקציה הריבועית \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) הקודקוד שלה נמצא ב-\(\left( {h, k} \right)\) שבו :

\(h = – \frac{b}{{2a}},\;\;k = f\left( h \right)\)

דוגמאות

פונקציה ריבועית \(y = {x^2}\)	אלמנטים חשובים
קודקוד הפרבולה	\(\left( {0,0} \right)\)
ציר סימטריה של הפרבולה	\(x = 0\)
מיירט עם ציר \(x\).	\(\left( {0,0} \right)\)

פונקציה ריבועית \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2}\)	אלמנטים חשובים
קודקוד הפרבולה	\(\left( {2,0} \right)\)
ציר סימטריה של הפרבולה	\(x = 2\)
מיירט עם ציר \(x\).	\(\left( {2,0} \right)\)

פונקציה ריבועית \(y = {\left( {x + 2} \right)^2} – 4\)	אלמנטים חשובים
קודקוד הפרבולה	\(\left( { – 2, – 4} \right)\)
ציר סימטריה של הפרבולה	\(x = – 2\)
מיירט עם ציר \(x\).	\(\left( { – 4,0} \right);\left( {0,0} \right)\)

פונקציה ריבועית \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 9} \right)^2} + 8\)	אלמנטים חשובים
קודקוד הפרבולה	\(\left( {9,8} \right)\)
ציר סימטריה של הפרבולה	\(x = 9\)
מיירט עם ציר \(x\).	\(\left( {5,0} \right);\left( {13,0} \right)\)

פונקציה ריבועית \(y = {x^2} + 1\)	אלמנטים חשובים
קודקוד הפרבולה	\(\left( {0,1} \right)\)
ציר סימטריה של הפרבולה	\(x = 0\)
מיירט עם ציר \(x\).	אין

פונקציה ריבועית \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2} – 1\)	אלמנטים חשובים
קודקוד הפרבולה	\(\left( {2, – 1} \right)\)
ציר סימטריה של הפרבולה	\(x = 2\)
מיירט עם ציר \(x\).	אין

אם קיימים השורשים האמיתיים של פונקציה ריבועית, נוכל לצייר מהם את הפרבולה הקשורה לה. נניח ש\(f\left( x \right) = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\)

לשם כך, יש לקחת בחשבון את הדברים הבאים:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a}\)

\(\frac{{\alpha + \beta }}{2} = – \frac{b}{{2a}} = h\)

כפי ש

\(k = f\left( h \right)\)

\(k = f\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2}} \right)\)

\(k = a\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \alpha } \right)\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \ בטא } \right)\)

\(k = – \frac{a}{4}{\left( {\alpha – \beta } \right)^2}\)

דוגמאות

שרטטו את הגרף של הפונקציה הריבועית \(f\left( x \right) = \frac{1}{4}\left( {x – 3} \right)\left( {x + 6} \right )\)

פִּתָרוֹן

השורשים הם \(\alpha = 3\;\) ו-\(\beta = – 6\); ואז \(h = \frac{{3 – 6}}{2} = – \frac{3}{2}\).

\(k = f\left( { – \frac{3}{2}} \right) = 2\left( { – \frac{3}{2} – 3} \right)\left( { – \frac {3}{2} + 6} \right) = \frac{1}{4}\left( { – \frac{9}{2}} \right)\left( {\frac{9}{2}} \right) = – \frac{{81}}{{16}}\)

אז נוכל לבנות את הטבלה הבאה

\(f\left( x \right) = 2\left( {x – 3} \right)\left( {x + 6} \right)\)	אלמנטים חשובים
קודקוד הפרבולה	\(\left( { – \frac{3}{2}, – \frac{{81}}{2}} \right)\)
ציר סימטריה של הפרבולה	\(x = – \frac{{81}}{2}\)
מיירט עם ציר \(x\).	\(\left( { – 6,0} \right)\;,\;\left( {3,0} \right)\)

כדי לשרטט את הגרף של הפונקציה:

\(f\left( x \right) = 3{x^2} – 18x + 4\)

נשתמש באותם רעיונות שכבר השתמשנו בהם; לשם כך נקבע תחילה את הקודקוד.

במקרה זה, \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

מאז \(a > 0\), הפרבולה "תיפתח ו-\(h = – \frac{b}{{2a}} = – \left( {\frac{{ – 18}}{{3\left ( 2 \right)}}} \right) = 3.\) בשלב הבא נחשב את \(k:\)

\(k = f\left( h \right) = f\left( 3 \right) = 3{\left( 3 \right)^2} – 18\left( 3 \right) + 4 = – 23\)

קודקוד הפרבולה נמצא ב-\(\left( {3, – 23} \right)\) ומכיוון שהוא נפתח כלפי מעלה, אז הפרבולה יחצה את ציר \(x\;\) וציר הסימטריה שלה הוא \ (x = 3\).

כעת נבחן את הפונקציה הריבועית

\(f\left( x \right) = – 5{x^2} + 10x – 9\)

במקרה זה, \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

מכיוון ש-\(a < 0\), הפרבולה "תיפתח" כלפי מטה ו-\(h = - \frac{b}{{2a}} = - \left( {\frac{{10}}{{\left( 2 \right)\left( { - 5} \right)}}} \right) = 1.\) A בשלב הבא נחשב את \(k:\) \(k = f\left( h \right) = f\left( 1 \right) = - 5{\left( 1 \right)^2} + 10\left( 1 \ ימין) - 9 = - 4\) קודקוד ה- הפרבולה נמצאת ב-\(\left( {1, - 4} \right)\) ומכיוון שהיא נפתחת כלפי מטה, אז הפרבולה לא יחצה את ציר \(x\;\) וציר הסימטריה שלה הוא \(x = 1.\)