הגדרה של שברים נכונים ושברים לא תקינים

שברים נכונים כוללים מונה ומכנה מאפיין חיובי, כאשר המונה הוא קטן מהמכנה, ותמיד עם ערך קטן מ-1, ששפתו הסמלית היא מבטא:
השבר \(\frac{a}{b}\), עם 0 < a < b, הוא תקין והערכים שלו קטנים מ-1.

מצד שני, בשבר לא תקין, המונה והמכנה חיוביים, שאליהם המונה גדול יותר או שווה למכנה, ועם ערך שיכול להיות גדול או שווה ל-1, ששפתו הסמלית היא קובע:
השבר \(\frac{a}{b}\), עם 0 < a \(\le\) b, אינו תקין ועם ערכים שווים או גדולים מ-1.

עקרונות מתמטיים ורעיוניים של השבר

השבר של העצם נובע מחלוקתו ולקיחתו בחלקים שווים, מה שמהווה את הרעיון האינטואיטיבי של מושג השבר, לא עם זאת, ההגדרה הפורמלית קובעת כי: מספר הוא שבר אם הוא מתקבל על ידי חלוקת מספר שלם \(a\) במספר שלם \(b\ne 0\), שהוא כתוב כ:

\(\frac{a}{b},~{}^{a}\!\!\diagup\!\!{}_{b}\;,~a\div b\)

האמור לעיל הוא אחד מהייצוגים המספריים של שבר.

הפירוש של השבר \(\frac{a}{b},~b\ne 0,\) הוא שעצם חולק ל-\(b\) חלקים שווים ו-\(a\) נלקח מהם.

לדוגמה, השבר \(\frac{3}{8}\) פירושו שאובייקט חולק ל-8 חלקים שווים ו-3 מהם נלקחים.

בעיקרו של דבר, שבר נשלט על ידי שני אלמנטים: מונה (מציין את מספר החלקים השווים שנלקחו) ומכנה (מספר שאליו חולק האובייקט וחייב להיות תמיד שונה מאפס). לפיכך בשבר \(\frac{4}{7}\) המונה הוא 4 והמכנה הוא שבע והשבר נקרא כארבע שביעיות או 4 חלקי 7.

באופן כללי, השבר הוא בצורה:

\(\frac{\text{מספר}}{\text{מכנה}}\)

ייצוגים שונים של שבר

ייצוג גיאומטרי

המלבן חולק ל-12 חלקים שווים; האזור הכחול מייצג \(\frac{5}{12}~\) והאזור הצהוב מייצג \(\frac{7}{12}.\)

במעגל, הוא מייצג ש-\(\frac{1}{3}~\)(שליש) ייחלץ ו-\(\frac{2}{3}\) יישאר.

ייצוג מילולי

כבר השתמשנו בשפה מילולית כדי לבטא שבר כחמש שישיות להתייחסות אליה \(\frac{5}{6};~\) אבל זה נפוץ שאמצעי תקשורת שונים מציגים לנו מידע על הדרך הבאה:

בעולם, כ-9 מתוך 10 אנשים, מעל גיל 15, יודעים לקרוא ולכתוב, מה שמתפרש מספרית כ-\(\frac{9}{10}\).

דוגמה נוספת היא

"במקסיקו, 13 מתוך 24 אנשים הם נשים, בעוד שבעולם, 381 מתוך 770 אנשים הם של המין הנשי" באופן מספרי פירושו שלמעלה הוא \(\frac{13}{24}~~\)y \(\frac{381}{770}\), בהתאמה.

ייצוג באחוזים

עסקים בדרך כלל מציעים הנחות ומבטאים זאת באחוזים כדי לומר לך כמה פחות אתה הולך לשלם עבור כל 100 דולר שאתה קונה עבורם לדוגמה, הנחה של 30% מציינת שעל כל 100$ הם יורידו 30$ ודרך חלופית לבטא 30% היא עם השבר \(\frac{30}{100}.\)

משתנים כלכליים רבים מתבטאים באחוזים כמו ריבית, אינפלציה, עלייה בתוצר (תוצר מקומי גולמי) למשל, אם בנק מציע לך ריבית של 5% בעת השקעה עם הֵם; מה שמבטיח לך זה שעל כל $100 הם יתנו לך $5, אז \(5%~\) מיוצג גם על ידי \(\frac{5}{100}\).

ייצוג עשרוני

המספר \(0.4\) נקרא כ-4 עשיריות; אשר מיוצג עם \(\frac{4}{10},\), כלומר:

\(0.4=\frac{4}{10}\)

המספר \(0.625\) מתפרש כ-\(625\) אלפיות, ואנחנו יכולים להבטיח את השוויון הבא:

\(0.625=\frac{625}{1000}\)

כדי למצוא את הייצוג העשרוני של שבר יש צורך לבצע את החלוקה באופן ידני או באמצעות מחשבון. הנה כמה דוגמאות

\(\frac{5}{8}=0.625\)

\(\frac{8}{5}=1.6\)

\(\frac{2}{3}=0.\bar{6}\)

\(\frac{1}{7}=0.\overline{142857}\)

שברים נאותים

לאחר מכן, נציג מספר דוגמאות של שברים נאותים בייצוגים השונים שלהם.

\(\frac{1}{8},~\frac{4}{5},~\frac{13}{16},\frac{17}{24}\) הם שברים נאותים.

החלק המואר של הדמויות הקודמות הם שברים מתאימים ושניהם מייצגים \(\frac{3}{4}\).

המספרים \(0.5,~0.375,\text{ }\!\!~\!\!\text{ y}~0.1\bar{6}\) הם הייצוג העשרוני של שברים נכונים \(\frac{1}{2},\frac{3}{8}~\text{y }\!\!~\!\!\text{ }\frac{1}{6},\ ) בהתאמה.

האחוזים 30%, 25% ו-50% יכולים להיות מיוצגים על ידי השברים \(\frac{3}{10},\frac{1}{4},~\text{y}~\frac{1}{ 2 }\)

שברים לא תקינים

לאחר מכן, נציג מספר דוגמאות לשברים לא תקינים בייצוגים השונים שלהם.

\(\frac{5}{4},\frac{19}{7},\frac{11}{9}~\) הם שברים לא תקינים.

החלק המואר של האיורים הקודמים מייצג את אותו שבר לא תקין, כלומר, \(\frac{6}{4}.\)

המספרים \(1.5,~3.375,\text{ }\!\!~\!\!\text{ y}~6.1\bar{6}\) הם הייצוג העשרוני של שברים נכונים \(\frac{3}{2},\frac{27}{8}~\text{y }\!\!~\!\!\text{ }\frac{37}{6},\ ) בהתאמה.

האחוזים 130%, 105% ו-150% יכולים להיות מיוצגים על ידי השברים \(\frac{130}{100},\frac{105}{100},~\text{y}~\frac{150}{ 100 }\)