הגדרת התקדמות גיאומטרית

רצף של מספרים \({{a}_{1}},~{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots \); זה נקרא התקדמות גיאומטרית אם, החל מהשני, כל אלמנט מתקבל מהכפלה של הקודם במספר \(r\ne 0\), כלומר, אם:
\({{a}_{n+1}}={{a}_{n}}r\)
איפה:
- המספר \(r\) נקרא היחס בין ההתקדמות הגיאומטרית.
- האלמנט \({{a}_{1}}\) נקרא האלמנט הראשון של ההתקדמות האריתמטית.

ניתן לבטא את מרכיבי ההתקדמות הגיאומטרית במונחים של האלמנט הראשון והיחס שלו, כלומר:
\({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a}_{1} }{{r}^{3}}\)

הם ארבעת היסודות הראשונים של ההתקדמות האריתמטית; באופן כללי, האלמנט \(k-\)th מבוטא באופן הבא:
\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

כאשר \({{a}_{1}}\ne 0,~\) של הביטוי הקודם נקבל:

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}=\frac{{{a}_{1}}{{r}^{k-1}} }{{{a}_{1}}{{r}^{l-1}}}\)

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

הביטוי לעיל שווה ערך ל:

\({{a}_{k}}={{a}_{l}}{{r}^{k-l}}\)

דוגמה/תרגיל 1. מצא את ההבדל של התקדמות החשבון: \(2,6,18,54,\ldots \) ומצא את האלמנטים \({{a}_{20}},~{{a}_{91}} \)

פִּתָרוֹן

מכיוון ש-\(\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=3\) אנו יכולים להסיק שהיחס הוא:

\(r=3\)

\({{a}_{20}}=2\left( {{3}^{20-1}} \right)=2{{\left( 3 \right)}^{19}}\)

\({{a}_{91}}=2\left( {{3}^{91-1}} \right)=2{{\left( 3 \right)}^{90}}\)

דוגמה/תרגיל 2. בהתקדמות אריתמטית יש לנו: \({{a}_{17}}=20~\)y \({{a}_{20}}=-1280\), קבע את היחס בין ההתקדמות הגיאומטרית וכתוב 5 האלמנטים הראשונים.

פִּתָרוֹן

לובש

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

\(\frac{{{y}_{20}}}{{{y}_{17}}}={{r}^{20-17}}\)

\(\frac{-1280}{20}={{r}^{3}}\)

\(-64={{r}^{3}}\)

\(\sqrt[3]{-64}=\sqrt[3]{{{r}^{3}}}\)

\(-4=r\)

כדי למצוא את 5 האלמנטים הראשונים של ההתקדמות האריתמטית; נחשב את \({{a}_{1}}\):

\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

\({{a}_{17}}={{a}_{1}}{{\left( r \right)}^{17-1}}\)

\(20={{a}_{1}}{{\left( -4 \right)}^{16}}\)

\(\frac{20}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5\left( 4 \right)}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}}={{a}_{1}}\)

5 האלמנטים הראשונים של ההתקדמות הגיאומטרית הם:

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},~\frac{5}{{{4}^{15}}}\left( -4 \right),\frac{5} {{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{2}},\frac{5}{{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{3}},\frac{5}{{ {4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{4}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},-~\frac{5}{{{4}^{14}}},\frac{5}{{{4}^{ 13}}},-\frac{5}{{{4}^{12}}},\frac{5}{{{4}^{11}}}\)

דוגמה/תרגיל 3. זכוכית דקה סופגת 2% מאור השמש שעובר דרכה.

ל. איזה אחוז אור יעבור דרך 10 מהכוסות הדקות האלה?

ב. איזה אחוז אור יעבור דרך 20 מהכוסות הדקות האלה?

ג. קבע את אחוז האור שעובר דרך \(n\) משקפיים דקות עם אותם מאפיינים, ממוקמים ברצף.

פִּתָרוֹן

נציג עם 1 את האור הכולל; על ידי קליטת 2% מהאור, ואז 98% מהאור עובר דרך הזכוכית.

נציג עם \({{a}_{n}}\) את אחוז האור שעובר דרך הזכוכית \(n\) .

\({{a}_{1}}=0.98,~{{a}_{2}}=0.98\left( 0.98 \right),~{{a}_{3}}={{\left( 0.98 \right)}^{2}}\left( 0.98 \right),\)

באופן כללי \({{a}_{n}}={{\left( 0.98 \right)}^{n}}\)

ל. \({{a}_{10}}={{\left( 0.98 \right)}^{10}}=0.81707\); מה שאומר לנו שאחרי זכוכית 10 עובר 81.707% מהאור

ב. \({{a}_{20}}={{\left( 0.98 \right)}^{20}}=~0.66761\); מה שאומר לנו שאחרי כוס 20 עובר 66.761%

סכום האלמנטים \(n\) הראשונים של התקדמות גיאומטרית

בהינתן ההתקדמות הגיאומטרית \({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a} 1}}{{r}^{3}}\)….

כאשר \(r\ne 1\) הוא סכום האלמנטים \(n\) הראשונים, הסכום:

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}+{{a}_{1}}r+{{a}_{1}}{{r}^{2}} +{{a}_{1}}{{r}^{3}}+\ldots +{{a}_{1}}{{r}^{n-1}}\)

אפשר לחשב עם

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r},~r \n1\)

דוגמה/תרגיל 4. מדוגמה 2 חשב את \({{S}_{33}}\).

פִּתָרוֹן

במקרה זה \({{a}_{1}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\) ו-\(r=-4\)

מגיש בקשה

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {1-\left( -4 \right)}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {5}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1-{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{{4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-\frac{{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{ {4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-{{4}^{7}}\)

דוגמה/תרגיל 5. נניח שאדם מעלה תמונה של חיית המחמד שלו ומשתף אותה עם 3 מחבריו ברשת חברתית אינטרנטית, ותוך שעה אחת כל אחד אותם, משתף את התמונה עם שלושה אנשים נוספים ואז האחרון, בעוד שעה אחת, כל אחד מהם חולק את התמונה עם 3 אחרים אֲנָשִׁים; וכך זה ממשיך; כל אדם שמקבל את התמונה משתף אותו עם 3 אנשים נוספים תוך שעה. בעוד 15 שעות, לכמה אנשים כבר יש את התמונה?

פִּתָרוֹן

הטבלה הבאה מציגה את החישובים הראשונים
זמן אנשים שמקבלים את התמונה אנשים שיש להם את התמונה
1 3 1+3=4
2 (3)(3)=32=9 4+9=13
3 32(3)= 33=27 13+27=40

מספר האנשים שמקבלים את התמונה בשעה \(n\) שווה ל: \({{3}^{n}}\)

מספר האנשים שכבר יש להם את התמונה בשעה שווה ל:

\(3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+\ldots +{{3}^{n}}\)

מגיש בקשה

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

עם \({{a}_{1}}=3,\) \(r=3\) ו-\(n=15\)

שֶׁבּוֹ:

\({{S}_{n}}=\frac{\left( 1-{{3}^{15}} \right)}{1-3}=7174453\)

אמצעים גיאומטריים

בהינתן שני מספרים \(a~\) ו-\(b,\) המספרים \({{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k +1}}\) נקראים \(k\) אמצעים גיאומטריים של המספרים \(a~\) ו-\(b\); אם הרצף \(a,{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots,{{a}_{k+1}},b\) הוא התקדמות גיאומטרית.

כדי לדעת את הערכים של \(k\) האמצעים הגיאומטריים של המספרים \(a~\) ו-\(b\), מספיק לדעת את היחס בין ההתקדמות האריתמטית, לשם כך יש לקחת בחשבון את הדברים הבאים:

\(a={{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},{ {a}_{k+2}}=b,\)

מהאמור לעיל אנו מבססים את הקשר:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

פתרון עבור \(d\), נקבל:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

\(\frac{b}{a}={{r}^{k+1}}\)

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

דוגמה/תרגיל 6. מצא 2 אמצעים גיאומטריים בין המספרים -15 ו-1875.

פִּתָרוֹן

בעת הגשת מועמדות

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

עם \(b=375,~a=-15\) ו-\(k=2~\):

\(r=\sqrt[2+1]{\frac{1875}{-15}}\)

\(r=\sqrt[3]{-125}=-5\)

שלושת האמצעים הגיאומטריים הם:

\(75,-375\)

דוגמה/תרגיל 7. אדם השקיע כסף וקיבל ריבית כל חודש במשך 6 חודשים והונו גדל ב-10%. בהנחה שהריבית לא השתנתה, מה הייתה הריבית החודשית?

פִּתָרוֹן

תן \(C\) להיות ההון המושקע; ההון הסופי הוא \(1.1C\); כדי לפתור את הבעיה עלינו למקם 5 אמצעים גיאומטריים, על ידי יישום הנוסחה:

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

עם \(k=5,~b=1.1C\) ו-\(a=C.\)

\(r=\sqrt[5+1]{\frac{1.1C}{C}}=\sqrt[6]{1.1}=1.016\)

התעריף החודשי שהתקבל היה \(1.6%\)