הגדרה של שברים מעורבים, יחידה, הומוגניים והטרוגניים

מעורב. שבר מעורב מורכב ממספר שלם הגדול או שווה לאחד ושבר תקין, האיות הכללי של שבר מעורב הוא בצורה: \(a + \frac{c}{d},\) שהכתיבה הקומפקטית שלו היא: \(a\frac{c}{d},\;\), כלומר: \(a\ שבר{c}{d} = a + \frac{c}{d}\). המספר \(a\) נקרא החלק השלם של השבר המעורב ו-\(\frac{c}{d}\) נקרא החלק השבר שלו.

הוֹמוֹגֵנִי. אם לשני שברים או יותר יש אותו מכנה, אומרים שהם כמו שברים. לדוגמה, השברים \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{{ 10}}{4}\) הם הומוגניים מכיוון שלכולם יש את אותו מכנה, שבמקרה זה הוא \(4\). בעוד השברים \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{5} { 2}\) אינם שברים הומוגניים שכן המכנה של \(\frac{5}{2}\) הוא \(2\) והמכנה של השברים האחרים הוא \(4\). אחד היתרונות של השברים ההומוגניים הוא שהפעולות האריתמטיות של חיבור וחיסור של פונקציות פשוטות מאוד.

הֵטֵרוֹגֵנִי. אם לשני שברים או יותר, לפחות לשניים מהם אין אותו מכנה, אזי אומרים ששברים אלו הם שברים הטרוגניים. השברים הבאים הם הטרוגניים: \(\frac{3}{5},\;\) \(\frac{7}{5}\), \(\frac{1}{4},\) \(\ frac{2}{5}\).

יִחִידָתִי. שבר מזוהה כיחידה אם המונה שווה ל-1 \(1,\) \(2\). השברים הבאים הם דוגמאות לשברי יחידה: \(\frac{1}{2},\;\) \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\), \(\;\frac{1}{5}\).

ביטוי מילולי של שבר מעורב

שבר מעורב	ביטוי מילולי
\(3\frac{1}{2} = \)	שלושה וחצי שלמים
\(5\frac{3}{4} = \)	חמישה מספרים שלמים ושלושה רבעים
\(10\frac{1}{8} = \)	עשרה מספרים שלמים עם שמינית

המרת שבר מעורב לשבר לא תקין

שברים מעורבים שימושיים לאומדן, למשל, קל לקבוע:

\(5\frac{1}{{20}} > 4\frac{9}{{10}}\)

עם זאת, שברים מעורבים בדרך כלל לא מעשיים לביצוע פעולות כמו כפל וחילוק, ולכן חשוב כיצד להמיר לשבר מעורב.

האיור הקודם מייצג את השבר המעורב \(2\frac{3}{4}\), כעת כל מספר שלם מורכב מ ארבעה רבעים, אז ב-2 מספרים שלמים יש 8 רבעים ולאלה עלינו להוסיף את שאר 3 הרבעים, כלומר אמר:

\(2\frac{3}{4} = \frac{{2\left( 4 \right) + 3}}{4} = \frac{{11}}{4}\)

בדרך כלל:

\(a\frac{c}{d} = \frac{{ad + c}}{d}\)

הטבלה הבאה מציגה דוגמאות נוספות.

שבר מעורב	פעולות לביצוע	שבר לא תקין
\(3\frac{1}{2}\)	\(\frac{{3\left( 2 \right) + 1}}{2}\)	\(\frac{7}{2}\)
\(5\frac{3}{4}\)	\(\frac{{5\left( 4 \right) + 3}}{4}\)	\(\frac{{23}}{4}\)
\(10\frac{1}{8}\)	\(\frac{{10\left( 8 \right) + 1}}{8}\)	\(\frac{{81}}{8}\)

המרת שבר לא תקין לשבר מעורב

כדי להמיר שבר לא תקין לשבר מעורב, חשב את המנה ואת יתרת חלוקת המונה במכנה. המנה שתתקבל תהיה החלק השלם של השבר המעורב והשבר הראוי יהיה \(\frac{{{\rm{שארית}}}}{{{\rm{מכנה}}}}\)

דוגמא

כדי להמיר \(\frac{{25}}{7}\) לשבר מעורב:

עבור הפעולות שבוצעו אנו מקבלים:

הטבלה שלהלן מציגה דוגמאות נוספות.

שבר לא תקין	חישוב המנה והשאר	שבר לא תקין
\(\frac{{25}}{7}\)		\(3\frac{4}{7}\)
\(\frac{{35}}{8}\)		\(4\frac{3}{8}\)
\(\frac{{46}}{5}\)		\(9\frac{1}{5}\)

שימוש יומיומי בשברים מעורבים ונכונים

בחיי היומיום אנחנו צריכים למדוד, לקנות, להשוות מחירים, להציע הנחות; כדי למדוד אנחנו צריכים יחידות מידה והם לא תמיד מציעים יחידות שלמות של המוצרים ולא תמיד משלמים עם כמות שלמה של מטבעות של יחידה.

לדוגמה, נפוץ שנוזלים מסוימים נמכרים במיכלים שתכולתם \(\frac{3}{4}\;\) של ליטר, חצי ליטר או גלון וחצי. אולי כשאתה הולך לקנות צינור אתה מבקש \(\frac{1}{8},\;\) \(\frac{7}{8},{\rm{\;}}\) \({ \rm {3}}\frac{1}{2}\) ואין צורך לומר את יחידת המידה, שבמקרה זה היא אינץ'.

פעולות בסיסיות של שברים דומים

הסכום של \(\frac{3}{4}\) ו-\(\frac{2}{4}\), מודגם בסכימה הבאה:

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{{3 + 2}}{4} = \frac{5}{4}\)

בעוד שהחיסור מתבצע באופן הבא:

\(\frac{3}{4} – \frac{2}{4} = \frac{{3 – 2}}{4} = \frac{1}{4}\)

באופן כללי, עבור שברים הומוגניים:

\(\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{{a + b}}{d}\)

\(\frac{a}{d} – \frac{b}{d} = \frac{{a – b}}{d}\)

המצרים ושברי יחידות

התרבות המצרית השיגה התפתחות טכנולוגית יוצאת דופן וזה לא היה קורה ללא התפתחות בדומה למתמטיקה. ישנם שרידים היסטוריים שבהם ניתן למצוא תיעוד של שימוש בשברים בתרבות המצרית, עם פרט מיוחד, הם השתמשו רק בשברים יחידתיים.

ישנם מספר מקרים שבהם כתיבת שבר כסכום של שברי יחידה היא פשוטה כמו

\(\frac{3}{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)

במקרה ש\(n = 2q + 1\), כלומר אי-זוגי, יש לנו את זה:

\(\frac{2}{n} = \frac{1}{{q + 1}} + \frac{1}{{n\left( {q + 1} \right)}}\)

נמחיש זאת בשתי דוגמאות.

כדי לבטא \(\frac{2}{{11}}\); במקרה זה יש לנו \(11 = 2\left( 5 \right) + 1\), לכן:

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{11\left( 6 \right)}},\)

זאת אומרת,

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{66}}\)

כדי לבטא \(\frac{2}{{17}}\); במקרה זה יש לנו \(17 = 2\left( 8 \right) + 1\),

\(\frac{2}{{15}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{120}}\)

לאחר מכן, אנו מציגים כמה שברים כסכום של שברי יחידה,

שבריר	ביטוי כסכום של שברי יחידה	שבריר	ביטוי כסכום של שברי יחידה
\(\frac{3}{n}\)	\(\frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)	\(\frac{5}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{2}{3}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{6}\)	\(\frac{7}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{3}{4}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\)	\(\frac{2}{9}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{45}}\)
\(\frac{3}{5}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{4}{5}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{20}}\)	\(\frac{7}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{36}}\)
\(\frac{5}{6}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\)	\(\frac{8}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{3}{7}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{231}}\)	\(\frac{4}{9}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{9}\)
\(\frac{4}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{5}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{6}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{42}}\)	\(\frac{{19}}{{20}}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\)

באמצעות הטבלה הקודמת נוכל להוסיף שברים ולבטא סכומים כאלה; כסכום של שברי יחידה.

דוגמאות לשברים הטרוגניים

דוגמה 1

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{{15}}} \right) + \left ( {\frac{1}{3} + \frac{1}{9}} \right)\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \frac{2}{3} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{9}\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{6}} \right) + \frac{1 }{{15}} + \frac{1}{9}\)

דוגמה 2

\(\frac{4}{7} + \frac{5}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}} \right) + \left ( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}} \right)\)

\(\frac{2}{7} + \frac{5}{9} = 1 + \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)

לבסוף, אנו יכולים לבטא את אותו שבר כסכום של שברי יחידה בצורה שונה כמו:

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{504}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{{63}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)