הגדרת פונקציה אקספוננציאלית

הפונקציה האקספוננציאלית מדגמנת תופעות טבע שונות ומצבים חברתיים וכלכליים, ולכן חשוב לזהות פונקציות אקספוננציאליות בהקשרים שונים.

הבה נזכור שעבור מספר מוגדר \({a^1} = a,{a^2} = aa,\;{a^3} = aaa\), באופן כללי יש לנו את זה לכל \(n\ ) מספר טבעי:

במקרה \(a \ne 0\), יש לנו את זה: \({a^0} = 1,\;\) למעשה, כאשר \(a \ne 0,\) הגיוני לבצע את הפעולה \ (\frac{a}{a} = 1;\) כאשר מיישמים את חוק המעריכים, יש לנו:

\(\frac{a}{a} = 1\)

\({a^{1 – 1}} = 1\)

\({a^0} = 1.\)

כאשר \(a = 0\), ההיגיון הקודם אינו הגיוני, לכן, הביטוי \({0^0},\) חסר פרשנות מתמטית.

במקרה ש\(b > 0\) ונכון ש\({b^n} = a,\) נאמר ש-\(b\) הוא השורש ה-n של \(a\) והוא בדרך כלל מסומן כ-\ (b = {a^{\frac{1}{n}}},\;\) או \(b = \sqrt[n]{a}\).

כאשר \(a < 0\), אין מספר ממשי \(b\) כך ש-\({b^2} = a;\) כי \({b^2} \ge 0;\;\ ) אז ביטויי הצורה \({a^{\frac{m}{n}}}\), לא ייחשב עבור \(a < 0.\) בביטוי האלגברי הבא: \({a^n}\) \(a \ ) נקרא בסיס, ו-\(n\) הוא נקרא מעריך, \({a^n}\) נקרא החזקה\(\;n\) של \(a\) או נקרא גם \(a\) בחזקת \(n,\;\)se לציית לחוקים הבאים של המעריכים:

\({a^n}{a^m} = {a^{n + m}}\)	\(\frac{{{a^n}}}{{{a^m}}} = {a^{n – m}}\)	\({\left( {{a^n}} \right)^m} = {a^{nm}} = {\left( {{a^m}} \right)^n}\)
\(\frac{1}{{{a^n}}} = {a^{ – n}}\)	\({a^n} = \frac{1}{{{a^{ – n}}}}\)	\({\left( {\frac{1}{a}} \right)^n} = \frac{1}{{{a^n}}}\)
\({\left( {ab} \right)^n} = {a^n}{b^n}\)	\({\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^m} = {\left( {{a^m}} \right)^{\frac{1} {n}}} = {a^{\frac{m}{n}}}\)	\({a^0} = 1\) עבור כל \(a \ne 0\)

הפונקציה המעריכית היא בצורה:

\(f\left( x \right) = {a^x}\)

כאשר \(a > 0\) הוא קבוע והמשתנה הבלתי תלוי הוא המעריך \(x\).

כדי לבצע ניתוח של הפונקציה האקספוננציאלית, נשקול שלושה מקרים

מקרה 1 כאשר הבסיס \(a = 1.\)

במקרה זה, \(a = 1,\) הפונקציה \(f\left( x \right) = {a^x}\) היא פונקציה קבועה.

מקרה 2 כאשר הבסיס \(a > 1\)

במקרה זה, יש לנו את הדברים הבאים:

ערך של \(x\)
\(x < 0\)	\(0 < {a^x} < 1\)
\(x = 0\)	\({a^0} = 1\)
\(0 < x < 1\)	\(1 < {a^x} < a\)
\(x = 1\)	\({a^x} = 1\)
\(x > 1\)	\(a < {a^x}\)

הפונקציה \(f\left( x \right) = {a^x}\) היא פונקציה הולכת וגדלה לחלוטין, כלומר, אם \({x_2} > {x_1}\), אז:

\({a^{{x_2}}} > a_{}^{{x_2}}\)

\(f\left( {{x_2}} \right) > f\left( {{x_1}} \right)\)

כאשר מדגמים תופעה עם פונקציה אקספוננציאלית, עם \(a > 1\), אנו אומרים שהיא מציגה צמיחה מעריכית.

מקרה 2 כאשר הבסיס \(a < 1\).

ערך של \(x\)
\(x < 0\)	\({a^x} > 1\)
\(x = 0\)	\({a^0} = 1\)
\(0 < x < 1\)	\(0 < {a^x} < 1\)
\(x = 0\)	\({a^x} = 1\)
\(x > 1\)	\(0 < {a^x} < a < 1\)

כאשר \(a < 1\), הפונקציה \(f\left( x \right) = {a^x}\) היא פונקציה פוחתת לחלוטין, כלומר, אם \({x_2} > {x_1}\ ), כך:

\({a^{{x_2}}} < a_{}^{{x_1}}\) \(f\left( {{x_2}} \right) < f\left( {{x_1}} \right) \) כאשר תופעה היא מודלים עם פונקציה אקספוננציאלית, עם \(a < 1\), אנו אומרים שהוא מציג דעיכה או ירידה אקספוננציאלי. הגרף הבא ממחיש את ההתנהגות של \({a^x}\), בשלושת המקרים השונים שלו.

יישומים של הפונקציה האקספוננציאלית

דוגמה 1 גידול אוכלוסיה

נסמן ב-\({P_0}\) את האוכלוסייה הראשונית וב-\(r \ge 0\) את קצב גידול האוכלוסייה, אם קצב האוכלוסייה נשאר קבוע לאורך זמן; הפונקציה

\(P\left( t \right) = {P_0}{\left( {1 + r} \right)^t};\)

מצא את האוכלוסייה בזמן t.

דוגמה מעשית 1

אוכלוסיית מקסיקו, בשנת 2021 היא 126 מיליון והציגה גידול שנתי של 1.1%, אם הצמיחה הזו תישמר, איזו אוכלוסייה תהיה במקסיקו בשנת 2031, בשנה 2021?

פִּתָרוֹן

במקרה זה \({P_o} = 126\) ו-\(r = \frac{{1.1}}{{100}} = 0.011\), אז עליך להשתמש ב:

\(P\left( t \right) = {P_0}{\left( {1 + .0011} \right)^t}\)

הטבלה הבאה מציגה את התוצאות

שָׁנָה	זמן שחלף (\(t\))	תַחשִׁיב	אוכלוסייה (מיליונים)
2021	0	\(P\left( t \right) = 126{\left( {1.0011} \right)^0}\)	126
2031	10	\(P\left( t \right) = 126{\left( {1.0011} \right)^{10}}\)	140.57
2051	30	\(P\left( t \right) = 126{\left( {1.0011} \right)^{30}}\)	174.95

דוגמה 2 חישוב ריבית דריבית

הבנקים מציעים ריבית שנתית, אבל הריבית הריאלית תלויה בכמה חודשים תשקיעו אותה; לדוגמה, אם מציעים לך ריבית שנתית של r%, הריבית החודשית האמיתית היא \(\frac{r}{{12}}\)%, הריבית הדו-חודשית היא \(\frac{r}{6}\)%, רבעוני הוא \(\frac{r}{4}\)%, רבעוני הוא \(\frac{r}{3}\)%, והסמסטר הוא \(\frac{r}{2}\)%.

דוגמה מעשית 2

נניח שאתה משקיע 10,000 בבנק והם מציעים לך את הריביות השנתיות הבאות:

הפקדות לתקופה קצובה	תעריף שנתי	תקופות בשנה	שיעור בפועל	כסף שנצבר תוך \(k\) חודשים
חודשיים	0.55%	6	\(\frac{{0.55\% }}{6} = 0.091667{\rm{\% }}\)	\(10000{\left( {1 + 0.00091667} \right)^{\frac{k}{2}}}\)
שלושה חודשים	1.87%	4	\(\frac{{1.87\% }}{4} = 0.4675{\rm{\% }}\)	\(10000{\left( {1 + 0.00461667} \right)^{\frac{k}{3}}}\)
שישה חודשים	1.56%	2	\(\frac{{1.56\% }}{4} = 0.78{\rm{\% }}\)	\(10000{\left( {1 + 0.0078} \right)^{\frac{k}{6}}}\)

המספר \(e\), העניין הקבוע והמתמשך של אוילר.

עכשיו נניח שיש לנו הון ראשוני \(C\) ואנחנו משקיעים אותו בשיעור קבוע \(r > 0\), ונחלק את השנה לתקופות \(n\); ההון שנצבר בשנה שווה ל:

\(A = \;C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^n}\)

כדי לנתח כיצד מתנהג ההון הצבור כאשר \(n\), גדל, נכתוב מחדש את ההון הצבור, בשנה אחת:

\(A = \;C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^n}\)\(A = \;C{\left( {1 + \frac{1} {{\frac{n}{r}}}} \right)^{\left( {\frac{n}{r}} \right) r}},\)

אם נעשה \(m = \frac{n}{r}\), נקבל:

\(A = C{\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)^{mr}}\)\(A = C{\left( {{{\left( {1 + \ frac{1}{m}} \right)}^m}} \right)^r}.\)

ככל ש-\(n\) גדל, כך גם \(m = \frac{n}{r}.\)

כאשר \(m = \frac{n}{r},\) גדל, הביטוי \({\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)^m}\) מתקרב למה שנקרא קבוע אוילר או מספר:

\(e \approx 2.718281828 \ldots .\)

לקבוע של אוילר אין ביטוי עשרוני סופי או תקופתי.

יש לנו את הקירוב הבא

\(C{\left( {{{\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)}^m}} \right)^r} \approx C{e^r},\) \(C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^{ns}} \approx C{e^{rs}}.\)

לביטוי:

\(A = \;C{e^r},\)

אנחנו יכולים לפרש את זה בשתי דרכים:

1.- כסכום המקסימלי שנוכל לצבור בשנה כאשר אנו משקיעים הון \(C,\;\) בשיעור שנתי \(r.\)

2.- כסכום שהיינו צוברים, בשנה, אם ההון שלנו היה מושקע מחדש ברציפות בשיעור שנתי \(r.\)

\(T\left( s \right) = \;C{e^{rs}},\)

הוא הסכום שנצבר אם שנים \(ש\) מושקעות בריבית רציפה.

דוגמה קונקרטית 3

כעת נחזור לחלק מדוגמה קונקרטית 2, שבה התעריף השנתי הוא 0.55% בתשלומים דו-חודשיים. חשב את ההון שנצבר אם ההון הראשוני הוא 10,000 ומשקיע מחדש חצי שנה, שנתיים, 28 חודשים.

\(10{\left( {1.00091667} \right)^{\frac{6}{2}}} = 10.{\rm{\;}}027525\)

כפי שהטבלה למטה מציגה, הערך של \(m = \frac{n}{r},\) אינו "קטן" והטבלה למעלה מציינת ש-\({\left( {1 + \frac{1}{ m}} \right)^m}\) קרוב לקבוע של אוילר.

זְמַן	מספר נקודות (\(k\))	הון שנצבר, באלפים, הושקע מחדש כל חודשיים
חצי שנה	3	\(10{\left( {1.00091667} \right)^3} = 10.{\rm{\;}}027525\)
שנתיים	12	\(10{\left( {1.00091667} \right)^{12}} = 10110.{\rm{\;}}557\)
38 חודשים	19	\(10{\left( {1.00091667} \right)^{19}} = 10.\;175612\)

זְמַן	זמן של שנים (\(s\))	הון מצטבר, באלפים, השקיע בריבית רציפה
חצי שנה	\(s = \frac{1}{2}\)	\(10{e^{0.0055\left( {\frac{1}{2}} \right)}} = 10.{\rm{\;}}027538\)
שנתיים	\(s = 2\)	\(10{\left( {1.00091667} \right)^{0.0055\left( 2 \right)}} = 10110.{\rm{\;}}607\)
38 חודשים	\(s = \frac{{19}}{6}\)	\(10{\left( {1.00091667} \right)^{\frac{{19}}{6}}} = 10.\;175692\)

דוגמה 2 פחת

דוגמה מעשית 1

מחשב פוחת ב-30% בכל שנה, אם מחשב עלה 20,000 דולר פזו, קבע את מחיר המחשב עבור \(t = 1,12,\;14,\;38\) חודשים.

במקרה זה, יש לאחד:

\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – 0.30} \right)^t}\)

עם \(t\) בשנים, החלפת \(t\) בטבלה הבאה נותנת

זמן בחודשים	זמן בשנים	חישובים	ערך מספרי
1	\(\frac{1}{{12}}\)	\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{1}{{12}}}}\)	19414.289
12	1	\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^1}\)	14000
14	\(\frac{7}{6}\)	\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{7}{6}}}\)	13192.012
38	\(\frac{{19}}{6}\)	\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{7}{6}}}\)	6464.0859