כיצד מוגדר משפט תאלס?

ממשפט תאלס, בהינתן מספר ישרים מקבילים, נאמר שהישר \(T\) חוצה את הישרים המקבילים אם הוא חותך כל אחד מהישרים המקבילים.

באיור 1, הקווים \({T_1}\) ו-\({T_2}\) הם רוחביים לקווים המקבילים \({L_1}\) ו-\({L_2}.\)

משפט תאלס (גרסה חלשה)
אם מספר מקבילים יקבעו קטעים חופפים (שמודדים אותו דבר) באחד משני הקווים הרוחביים שלהם, הם יקבעו גם קטעים חופפים בשאר הרוחביים.

באיור 2, הקווים השחורים מקבילים ועליכם:
\({A_1}{A_2} = {A_2}{A_3} = {A_3}{A_4}.\)
אנו יכולים להבטיח את הדברים הבאים:
\({B_1}{B_2} = {B_2}{B_3} = {B_3}{B_4}.\)

אומרים שתאלס החכם ממילטוס מדד את גובה פירמידת צ'אופס, לשם כך הוא השתמש בצללים וביישום מאפייני דמיון משולשים. משפט תאלס הוא היסוד לפיתוח מושג הדמיון של משולשים.

יחסים ומאפיינים של פרופורציות

יחס אחד הוא המנה של שני מספרים, כאשר המחלק אינו אפס; זאת אומרת:

\(\frac{a}{b}\;{\rm{with\;}}b \ne 0\)

פרופורציה היא השוויון של שני יחסים, כלומר:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k,\)

\(k\) נקרא גם קבוע המידתיות.

מאפיינים של פרופורציות

אם \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\) אז עבור \(m \ne 0:\;\)

\(\frac{{ma}}{{mb}} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a – c}}{{b – d}} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{f}{g} = \frac{{a + c + f}}{{b + d + g}} = k\)

\(\frac{{a \pm b}}{b} = \frac{{c \pm d}}{d}\)

דוגמאות

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{9 + 15}}{{24 + 40}} = \frac{{24}} {{64}}\)

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{15 – 9}}{{40 – 24}} = \frac{6}{{ 16}}\)

\(\frac{{9 + 24}}{{24}} = \frac{{15 + 40}}{{40}}\)\(\frac{{33}}{{24}} = \frac {{55}}{{40}}\)

צמד המקטעים \(\overline {AB} \) ו-\(\overline {CD} \) אמורים להיות פרופורציונליים למקטעים \(\overline {EF} \) ו-\(\overline {GH} \) אם הפרופורציה מתקיימת:

\(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{EF}}{{GH}}\)

כאשר \(AB\;\) מציין את אורך הקטע \(\overline {AB} .\)

משפט תאלס

אם נחזור להגדרה, מספר הקבלות קובעות קטעים תואמים פרופורציונליים בקווים הרוחביים שלהם.

באיור 3, הקווים הישרים מקבילים ואנו יכולים להבטיח:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_2}{B_3}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\( \frac{{{A_2}{A_4}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_2}{B_4}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_3}}}{{{A_1}{A_2}}} = \frac{{{B_1}{B_3}}}{{{B_1}{B_2}}}\)

הבה נציין ששתי הפרופורציות הראשונות הקודמות שוות ערך לפרופורציות הבאות:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}}\)של למעלה אנחנו מקבלים:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + {B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}}\)

בהזדמנויות רבות עדיף לעבוד עם הפרופורציות הקודמות ובמקרה זה:

\(\frac{{{A_i}{A_j}}}{{{B_i}{B_j}}} = k\)

הפוך למשפט תאלס

אם מספר קווים קובעים קטעים תואמים פרופורציונליים בקווים הרוחביים שלהם, הקווים הם מקבילים

אם באיור 4 זה מתקיים

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)

אז נוכל לאשר כי: \({L_1}\parallel {L_2}\parallel {L_3}.\)

הסימון \({L_1}\מקביל {L_2}\), קרא \({L_1}\) מקביל ל-\({L_2}\).

מהפרופורציה הקודמת נקבל:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_1}{A_3}}}{{{ B_1}{B_3}}}\)

חלוקה של קטע למספר חלקים באורך שווה

באמצעות דוגמה קונקרטית נמחיש כיצד מחלקים קטע לחלקים באורך שווה.

חלקו את הקטע \(\overline {AB} \) ל-7 קטעים באורך שווה

מצב התחלתי

צייר קו עזר שעובר דרך אחד מקצוות הקטע

בתמיכה של מצפן, 7 קטעים באורך שווה מצוירים על קו העזר

צייר את הקו שמחבר את קצוות הקטע האחרון שצויר והקצה השני של הקטע שיש לחלק

הם מצוירים במקביל לקו האחרון שצויר זה עתה שעוברים דרך הנקודות שבהן קשתות ההיקף מצטלבות עם קו העזר.

בהינתן קטע \(\overline {AB} \), נקודה \(P\) של הקטע אמורה לחלק את הקטע \(\overline {AB} \), ביחס \(\frac{{AP} } {{PB}}.\)

חלוקה של קטע ביחס נתון

נתון קטע \(\קו על {AB} \), ושני מספרים שלמים חיוביים \(a, b\); ניתן למצוא את הנקודה \(P\) המחלקת את הקטע ביחס \(\frac{a}{b};\;\) באופן הבא:

1. חלקו את הקטע \(\overline {AB} \) למקטעים \(a + b\) באורך שווה.
2. קח את קטעי \(a\) שסופרים מנקודה \(A\).

דוגמאות

חלוקה של הקטע \(\overline {AB} \) ביחס \(\frac{a}{b}\)

סיבה	מספר החלקים שאליהם מחולק הקטע	מיקום הנקודה \(P\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{4}{3}\)	\(4 + 3 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = 6 = \frac{6}{1}\)	\(6 + 1 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{2}{3}\)	\(2 + 3 = 5\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{3}{2}\)	\(3 + 2 = 5\)

דוגמאות יישומיות של משפט תאלס

יישום 1: שלושה מגרשים משתרעים מרחוב סול לרחוב לונה, כפי שמוצג באיור 5.

הגבולות הרוחביים הם קטעים מאונכים לרחוב לונה. אם החזית הכוללת של המגרשים ברחוב סול היא 120 מטר, קבעו את החזית של כל מגרש ברחוב האמור, אם היא ידועה גם:

\({A_1}{A_2} = 10{\rm{m}},\;{A_2}{A_3} = 40{\rm{m}},\;{A_3}{A_4} = 20{\rm{ m}},\;{A_4}{A_5} = 30{\rm{m}}.\)

הצהרת בעיה

מכיוון שהקווים מאונכים לרחוב לונה, אז הם מקבילים זה לזה, על ידי יישום משפט תאלס נוכל לאשר:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}},\; \;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_4}}}\;,\;\;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_5}} } = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_5}}}\) מתוך האמור לעיל נוכל להסיק:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}}\;\)

באופן דומה נוכל להסיק:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}}\)

פִּתָרוֹן

כדי לקבוע את הקבוע של פרופורציות \(k,\) נשתמש במאפיינים של פרופורציות:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4} + {A_4}{A_5}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + { B_3}{B_4} + {B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}} = \frac{{100}}{{120}} = \frac{5}{6}\)

מהאמור לעיל נקבל:
\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{5}{6}\)\(\frac{{{B_1}{B_2}}}{ {{A_1}{A_2}}} = \frac{6}{5}\)\({B_1}{B_2} = \frac{6}{5}{A_1}{A_2} = \frac{6}{ 5}\left( {10} \right) = 12.\)

באופן אנלוגי:

\({B_2}{B_3} = \frac{6}{5}{A_2}{A_3} = \frac{6}{5}\left( {40} \right) = 48\)\({B_3} {B_4} = \frac{6}{5}{A_3}{A_4} = \frac{6}{5}\left( {20} \right) = 24\)\({B_4}{B_5} = \frac{6}{5}{A_4}{A_5} = \frac{6 }{5}\left( {30} \right) = 36\)

תשובה

מִגזָר	\({B_1}{B_2}\)	\({B_2}{B_3}\)	\({B_3}{B_4}\)	\({B_4}{B_5}\)
אורך	12 מ'	48 מ'	24 מ'	36 מ'

יישום 2: מעצב גרפי עיצב מדף בצורת מקבילית ויציב 3 מדפים כפי שמוצג ב- איור 6, נקודות E ו-F הן נקודות האמצע של הצלעות \(\overline {AD} \) ו-\(\overline {BC} ,\) בהתאמה. אתה צריך לעשות חתכים במדפים כדי להיות מסוגל לעשות את המכלולים. באיזה חלק של המדפים צריך לעשות את החתכים?

הצהרת הבעיה: עקב התנאים הניתנים בבעיה, מתקיימים התנאים הבאים:

\(ED = EA = CF = BF\)

כמבני עזר נרחיב את הצלעות \(\overline {CB} \) ו-\(\overline {DA} \). קו נמשך דרך נקודה A דרך \(A\) ובמקביל לצלע \(\overline {EB} \) ודרך הנקודה \(C\;\) נמשך קו מקביל לצלע \(\overline {DF} \).

נשתמש במשפט ההפוכה של תאלס כדי להראות שהקטעים \(\overline {EB} \) ו-\(\overline {DF} \) מקבילים כדי ליישם את משפט תאלס.

פִּתָרוֹן

לפי הבנייה המרובע \(EAIB\) הוא מקבילית אז יש לנו ש-EA=BI, מכיוון שהם צלעות מנוגדות של מקבילית. עַכשָׁיו:

\(\frac{{DE}}{{EA}} = \frac{{BF}}{{BI}} = 1\)

בהחלת ההדדיות ההדדית של משפט תאלס נוכל להסיק:

\(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \)

לוקחים את הקטעים \(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \) ואת הקטעים BC ו-CI כחוצותיהם; כפי ש:

\(FC = BF = BI\)\(CH = HG = GA\)

ניקח את \(\overline {AD} \parallel \overline {BC} \) ואת הקטעים \(\overline {AC} \) ו-\(\overline {EB} \) כרוחביות שלהם יהיו לנו:

\(\frac{{EG}}{{GB}} = \frac{{AG}}{{GC}} = \frac{{AG}}{{CH + HG}} = \frac{{AG}} {{2\left( {AG} \right)}} = \frac{1}{2}\)

באופן דומה, מוצג כי:

\(\frac{{DH}}{{HF}} = 2\)

תשובות

חיתוכים אלכסוניים \(\overline {AC} \) חייבים להתבצע בנקודות \(G\;\) ו-\(H\), כך:

\(\frac{{AG}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{1}{3}\)

הדבר נכון גם לגבי המדפים \(\overline {EB} \) ו-\(\overline {DF} \).