הגדרת העיקרון/המשוואה של ברנולי

עקרון ברנולי, המכונה לעתים קרובות גם משוואת ברנולי, הוא אחד המושגים החשובים ביותר בהידרודינמיקה ובמכניקת נוזלים. הוא נוסח על ידי הפיזיקאי והמתמטיקאי השוויצרי דניאל ברנולי בשנת 1738 כחלק מעבודתו "הידרודינמיקה" וחלק משימור האנרגיה בנוזל אידיאלי בתנועה.

בואו נדמיין את המצב הבא: יש לנו צינור שדרכו זורמים מים, שיוצא מהצינור במהירות מסוימת ובלחץ מסוים. לאחר מכן אנו ממשיכים לכסות חלקית את חור היציאה של הצינור באצבע; על ידי כך אנו רואים כיצד המים יוצאים כעת במהירות רבה יותר. זוהי דוגמה לעיקרון של ברנולי בפעולה.

נוזלים אידיאליים בתנועה

העיקרון של ברנולי חל על נוזלים אידיאליים בתנועה, ולכן לפני שנמשיך להסביר את העיקרון הזה, חשוב להזכיר למה אנחנו מתכוונים בנוזל אידיאלי. נוזל אידיאלי הוא פישוט של נוזל אמיתי, זה נעשה בגלל התיאור של נוזל ideal פשוט יותר מבחינה מתמטית ונותן לנו תוצאות שימושיות שניתן להרחיב מאוחר יותר למקרה הנוזל אמיתי.

ישנן ארבע הנחות שמניחות כדי לראות נוזל כאידיאלי וכולן קשורות לזרימה:

• זרימה קבועה: זרימה קבועה היא כזו שבה המהירות שבה הנוזל נע זהה בכל נקודה בחלל. במילים אחרות, אנו מניחים שהנוזל אינו עובר מערבולות.

• חוסר דחיסה: ההנחה היא גם שנוזל אידיאלי אינו ניתן לדחיסה, כלומר יש לו צפיפות קבועה בכל עת.

• אי-צמיגות: צמיגות היא תכונה של נוזלים המייצגת, באופן כללי, את ההתנגדות שהנוזל מתנגד לתנועה. ניתן לחשוב על צמיגות כאנלוגית לחיכוך מכני.

• זרימה לא סיבובית: בהנחה זו אנו מתייחסים לעובדה שהנוזל הנע אינו מבצע שום סוג של תנועה מעגלית סביב שום נקודה בדרכו.

על ידי הנחת הנחות אלו ובעל נוזל אידיאלי אנו מפשטים מאוד את הטיפול המתמטי ו אנו גם מבטיחים את שימור האנרגיה, שהיא נקודת המוצא לקראת העיקרון של ברנולי.

המשוואה של ברנולי הסבירה

הבה נבחן נוזל אידיאלי שעובר דרך צינור כפי שמוצג באיור הבא:

כעת נשתמש במשפט העבודה והאנרגיה הקינטית, שהוא דרך נוספת לבטא את חוק שימור האנרגיה, זה אומר לנו ש:

\(W = {\rm{\Delta }}K\)

כאשר \(W\) הוא סך העבודה המכנית ו-\({\rm{\Delta }}K\) הוא השינוי באנרגיה הקינטית בין שתי נקודות. במערכת זו יש לנו שני סוגים של עבודה מכנית, אחת שנעשית מכוח הכבידה על הנוזל ואחרת הנובעת מלחץ הנוזל. תן \({W_g}\) להיות העבודה המכנית שנעשתה על ידי כוח הכבידה ו-\({W_p}\) להיות העבודה המכנית שנעשית על ידי לחץ, אז נוכל לומר ש:

\({W_g} + {W_p} = {\rm{\Delta }}K\)

מכיוון שכוח הכבידה הוא כוח שמרני, העבודה המכנית שתעשה על ידו תהיה שווה להפרש באנרגיה הפוטנציאלית הכבידה בין שתי נקודות. הגובה ההתחלתי שבו נמצא הנוזל הוא \({y_1}\) והגובה הסופי הוא \({y_2}\), לכן, יש לנו:

\({W_g} = – {\rm{\Delta }}mg{\rm{\Delta }}y = – {\rm{\Delta }}mg\left( {{y_2} – {y_1}} \right )\)

כאשר \({\rm{\Delta }}m\) הוא חלק המסה של הנוזל שעובר דרך נקודה מסוימת ו-\(g\) הוא התאוצה עקב כוח הכבידה. מכיוון שהנוזל האידיאלי אינו ניתן לדחיסה, אז \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). כאשר \(\rho \) היא צפיפות הנוזל ו-\({\rm{\Delta }}V\) הוא חלק הנפח שזורם דרך נקודה. אם נחליף את זה במשוואה שלעיל נקבל:

\({W_g} = – \rho g{\rm{\Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \right)\)

הבה נבחן כעת את העבודה המכנית שנעשתה על ידי לחץ הנוזל. לחץ הוא הכוח המופעל ליחידת שטח, כלומר \(F = PA\). מצד שני, עבודה מכנית מוגדרת כ-\(W = F{\rm{\Delta }}x\) כאשר \(F\) הוא הכוח המופעל ו-\({\rm{\Delta }}x\) היא התזוזה שמתבצעת במקרה זה על ציר ה-x. בהקשר זה אנו יכולים לחשוב על \({\rm{\Delta }}x\) כאורך חלק הנוזל שזורם דרך נקודה מסוימת. בשילוב שתי המשוואות יש לנו ש-\(W = PA{\rm{\Delta }}x\). אנו יכולים להבין ש-\(A{\rm{\Delta }}x = {\rm{\Delta }}V\), כלומר, זהו חלק הנפח שזורם בנקודה זו. לכן, יש לנו ש-\(W = P{\rm{\Delta }}V\).

בשלב הראשוני, עבודה מכנית נעשית על המערכת השווה ל-\({P_1}{\rm{\Delta }}V\) ובנקודת הסיום המערכת עושה עבודה מכנית על הסביבה השווה ל-\({P_2}{\rm{\Delta }}V\). העבודה המכנית כתוצאה מלחץ הנוזל תהיה אז העבודה שנעשתה על המערכת פחות העבודה שהיא עושה על סביבתה, כלומר:

\({W_p} = {P_1}{\rm{\Delta }}V – {P_2}{\rm{\Delta }}V = \left( {{P_1} – {P_2}} \right){\rm {\Delta }}V\)

לבסוף, ההבדל באנרגיה הקינטית \({\rm{\Delta }}K\) יהיה שווה לאנרגיה הקינטית בנקודת הסיום מינוס האנרגיה הקינטית בנקודת ההתחלה. זה:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_2^2 – \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_1^ 2 = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}m\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

מהאמור לעיל, אנו יודעים ש-\({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). המשוואה לעיל היא אם כן:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

בהחלפת כל התוצאות שהתקבלו במשוואת שימור האנרגיה, מתקבל כי:

\(\left( {{P_1} – {P_2}} \right){\rm{\Delta }}V – \rho {\rm{\Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

אנו יכולים לחשב את המונח \({\rm{\Delta }}V\) משני צדי המשוואה, זה מוביל ל:

\({P_1} – {P_2} – \rho g\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho \left( {v_2^2 – v_1^2 } \ימין)\)

פיתוח המוצרים החסרים שעלינו:

\({P_1} – {P_2} – \rho g{y_2} + \rho g{y_1} = \frac{1}{2}\rho v_2^2 – \frac{1}{2}\rho v_1^ 2\)

סידור מחדש של כל האיברים משני צדי המשוואה נקבל את זה:

\({P_1} + \rho g{y_1} + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = {P_2} + \rho g{y_2} + \frac{1}{2}\rho v_2^ 2\)

משוואה זו היא יחס בין המצב ההתחלתי למצב הסופי של המערכת שלנו. סוף סוף אפשר לומר ש:

\(P + \rho gy + \frac{1}{2}\rho {v^2} = קבוע\)

המשוואה האחרונה הזו היא משוואת ברנולי שממנה נגזר העיקרון שלה. העיקרון של ברנולי הוא חוק שימור לנוזל אידיאלי בתנועה.

הפניות

דיוויד האלידיי, רוברט רזניק וג'רל ווקר. (2011). יסודות הפיזיקה. ארצות הברית: John Wiley & Sons, Inc.