הגדרה של כוח צנטריפטלי

כוח צנטריפטלי הוא כוח הפועל על עצם הנע לאורך נתיב מעוקל. כיוון הכוח הזה הוא תמיד לכיוון מרכז העיקול והוא זה שמחזיק את האובייקט בנתיב הזה, ומונע ממנו להמשיך את תנועתו בקו ישר.

תנועה עקמומית וכוח צנטריפטלי

נניח שיש לנו עצם נע לאורך מסלול מעגלי. כדי לתאר את התנועה העקמומית של גוף זה, משתמשים במשתנים זוויתיים ולינאריים. משתנים זוויתיים הם אלה שמתארים את תנועת האובייקט במונחים של הזווית שהוא "גורף" לאורך דרכו. מצד שני, משתנים ליניאריים הם אלה שמשתמשים בהם מיקומו ביחס לנקודת הסיבוב ומהירותו בכיוון המשיק של ה עֲקוּמָה.

התאוצה הצנטריפטית \({a_c}\) שחווה עצם נע במסלול מעגלי עם מהירות משיקית \(v\) ובמרחק \(r\) מנקודת הסיבוב יהיה ניתנו על ידי:

\({a_c} = \frac{{{v^2}}}{r}\)

תאוצה צנטריפטית היא משתנה ליניארי המשמש לתיאור תנועה עקומה ומכוונת למרכז הנתיב המעוקל. מצד שני, המהירות הזוויתית ω של העצם, כלומר קצב השינוי של הזווית הסוחפת (ברדיאנים) ליחידת זמן, ניתנת על ידי:

\(\omega = \frac{v}{r}\)

לחלופין, נוכל לפתור עבור \(v\):

\(v = \omega r\)

זהו הקשר הקיים בין מהירות לינארית למהירות זוויתית. אם נחבר את זה לביטוי לתאוצה צנטריפטית נקבל:

\({a_c} = {\omega ^2}r\)

החוק השני של ניוטון אומר לנו שתאוצת הגוף עומדת ביחס ישר לכוח המופעל עליו ובפרופורציה הפוך למסה שלו. או, בצורתו הידועה ביותר:

\(F = ma\)

כאשר \(F\) הוא הכוח, \(m\) היא מסת העצם ו-\(a\) היא התאוצה. במקרה של תנועה עקומה, אם יש תאוצה צנטריפטית חייב להיות גם כוח צנטריפטלי \({F_c}\) הפועל על גוף המסה \(m\) וגורם לתאוצה הצנטריפטלית \({a_c}\), הוא אמר:

\({F_c} = m{a_c}\)

בהחלפת הביטויים הקודמים לתאוצה הצנטריפטית נקבל כי:

\({F_c} = \frac{{m{v^2}}}{r} = m{\omega ^2}r\)

הכוח הצנטריפטלי מופנה למרכז הנתיב העקמומי ואחראי על שינוי מתמיד של הכיוון שבו האובייקט נע כדי לשמור על תנועתו מְעוּקָל.

כוח הכבידה ככוח צנטריפטלי והחוק השלישי של קפלר

החוק השלישי של קפלר לתנועה פלנטרית קובע כי ריבוע תקופת המסלול, כלומר הזמן הזמן שלוקח לכוכב לכת להשלים מסלול אחד סביב השמש הוא פרופורציונלי לקוביית הציר החצי-עיקרי של השמש מַסלוּל. זה:

\({T^2} = C{r^3}\)

כאשר \(T\) הוא תקופת המסלול \(C\), הוא קבוע ו-\(r\) הוא הציר החצי-עיקרי, או המרחק המרבי בין כוכב הלכת לשמש לאורך מסלולו..

למען הפשטות, שקול כוכב לכת בעל מסה \(m\) נע לאורך מסלול מעגלי סביב השמש, אם כי ניתן להרחיב את הניתוח הזה למקרה של מסלול אליפטי ולהשיג אותו תוֹצָאָה. הכוח שמחזיק את כוכב הלכת במסלולו הוא כוח הכבידה, שיהיה:

\({F_g} = \frac{{G{M_S}m}}{{{r^2}}}\)

כאשר \({F_g}\) הוא כוח הכבידה, \({M_S}\) היא מסת השמש, \(G\) הוא קבוע הכבידה האוניברסלי ו-\(r\) הוא המרחק בין כוכב הלכת והשמש. עם זאת, אם כוכב הלכת נע לאורך מסלול מעגלי, הוא חווה כוח צנטריפטלי \({F_c}\) שמחזיק אותו במסלול האמור ושמבחינת המהירות הזוויתית \(\omega \) יהיה ניתנו על ידי:

\({F_c} = m{\omega ^2}r\)

הדבר המוזר הוא שבמקרה זה כוח הכבידה הוא אותו כוח צנטריפטלי ששומר על כוכב הלכת במסלולו, בכמה מילים \({F_g} = {F_c}\), לכן, אנו יכולים לומר ש:

\(\frac{{G{M_S}m}}{{{r^2}}} = m{\omega ^2}r\)

מה שאנחנו יכולים לפשט כ:

\(G{M_S} = {\omega ^2}{r^3}\)

המהירות הזוויתית קשורה לתקופת המסלול באופן הבא:

\(\omega = \frac{{2\pi }}{T}\)

החלפתו במשוואה הקודמת נקבל כי:

\(G{M_S} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}{r^3}\)

סידור מחדש של התנאים נקבל לבסוף כי:

\({T^2} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{G{M_S}}}{r^3}\)

זה האחרון הוא בדיוק החוק השלישי של קפלר שהצגנו קודם ואם נשווה את קבוע המידתיות הוא יהיה \(C = 4{\pi ^2}/G{M_S}\).

מה לגבי כוח צנטריפוגלי?

נפוץ יותר שסוג תנועה זה מדבר על "כוח צנטריפוגלי" במקום כוח צנטריפטלי. מעל לכל, כי זה מה שאנחנו כנראה מרגישים כשאנחנו חווים את זה. עם זאת, כוח צנטריפוגלי הוא כוח פיקטיבי הנובע מאינרציה.

בואו נדמיין שאנחנו נוסעים במכונית שנוסעת במהירות מסוימת ולפתע בולמת. כשזה יקרה נרגיש כוח שדוחף אותנו קדימה, עם זאת, הכוח לכאורה הזה שאנו מרגישים הוא האינרציה של הגוף שלנו שרוצה לשמור על מצב התנועה שלו.

במקרה של תנועה עקומה, הכוח הצנטריפוגלי הוא האינרציה של הגוף שרוצה לשמור על תנועה ישר אבל נתון לכוח צנטריפטלי ששומר אותו על הנתיב המעוקל.

הפניות

דיוויד האלידיי, רוברט רזניק וג'רל ווקר. (2011). יסודות הפיזיקה. ארצות הברית: John Wiley & Sons, Inc.