דוגמה לחלל מלא

ניתוח מתמטי הוא הענף של מדעי המתמטיקה העוסק בחקר שטח מלא, שהוא סוג של מרחב מטרי.

מרחב מטרי מורכב מזוגות נקודות ופונקציה של מרחק ביניהם; במרחבים אלה ניתן להגדיר רצף של קושי שנוצר על ידי מרחקים הולכים וגדלים בין שתי הנקודות הללו. כאשר במרחב המטרי כבר אי אפשר למצוא מרחק קטן יותר ברצף אז יש לנו a שטח מלא. קבוצות מספריות סגורות, כלומר אלה שיש בהן גבול, הן רווחים שלמים.

דוגמה למרחב מלא:

קבוצת המספרים הטבעיים, כולל 0, מהווה מרחב שלם שכן קבוצה זו סגורה בסוף 0. הייצוג של קבוצת המספרים הזו הוא נ= [0, 1, 2,... n}.

בואו ניקח שתי נקודות בין שני אלמנטים של קבוצה זו, לדוגמא 4 ו- 8, המיוצגות באופן הבא p = (4, 8), פונקציית המרחק בין שתי נקודות שווה ל 4, רצף הקוצ'י ניתן על ידי הרצף {4, 3, 2, 1, 0} שמתכנס ל 0.

דוגמה נוספת היא קבוצת המספרים הריאליים החיוביים שנוצרו עם {0} המיוצג כ- AND⁺= [0, 1, 2, 3, 4,…. נ} מכיוון שניתנות שתי נקודות במרחב זה רצף הקאוצ'י יתכנס כאשר המרחק הוא 0

קבוצת המספרים הרציונליים אינה שטח שלם, שכן המרחק 0 (המספר 0 כמספר אינו קיים במערך זה) מה שהופך את רצף הקוצ'י לא מתכנס בשום שלב בזה מַעֲרֶכֶת.

כל מרווח סגור של המספרים הטבעיים הוא מרחב שלם.