דוגמה למספרים לא רציונליים

יש קבוצה של מספרים שלא ניתן לבטא אותם כמספרים שלמים, וגם לא כמספרים חלקים עם מכנה שונה מ- 0, קבוצת מספרים זו נקראת מספרים אי - רציונליים.

מספרים שלמים כאשר מוסיפים, מפחיתים או מוכפלים מניבים מספר שלם, שיכול להיות חיובי או שלילי.

מספרים חלקים מבטאים חלק ממכלול, כלומר הם מבטאים חלוקה, שניתן להוסיף או לחסר ממספרים שלמים או ממספרים חלקים אחרים. בנוסף למוצרי החלוקה המתבטאים בשבר, ניתן לייצר תוצאה עשרונית עם מספרים.

מספרים שלמים ושברים ממוקמים בקלות על קו מספרים.

מתמטיקאים רבים מימי פיתגורס, הבינו שיש פערים בין מספרים חלקים. במקביל הם מצאו תוצאות של פעולות מתמטיות שלא ביטאו תוצאות עשרוניות מדויקות או חוזרות, אך במקום זאת הניבו תוצאות עם עשרוניות אינסופיות ולא עקבו תבנית. מכיוון שתוצאות אלה אינן עוקבות אחר תיאוריית השלמות המספרית של פיתגורס, הם נקראו מספרים לא רציונליים בגלל מאפיין זה. הם גילו גם כי מספרים אלה מילאו את החסר בשורת המספרים בין המספרים השבריים.

כדי לבטא מספר לא רציונלי, הוא מיוצג בדרך כלל כנוסחה המתמטית המעניקה לו את מקורו. לדוגמא, בעת חישוב השורש הריבועי של המספר 2, התוצאה היא מספר שאינו עוקב אחר דפוס מספרי כלשהו ועשרוניו משתרעים עד אינסוף:

√2 =

אשר לפשט מיוצג כ- √2.

ישנם מספרים לא רציונליים שקיבלו שמות ספציפיים כאשר הם מייצגים קשרים קבועים, כמו "הקבוע הארכימדי", תוצאה של חלוקת היקף המעגל הזן את הרדיו שלך. במאה ה -18 קבוע זה הוגדר כמספר pi:

 π = 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209…

דוגמאות למספרים לא רציונליים ו -20 העשרונים הראשונים שלהם:

(pi) π = 3.14159265358979323846 ...

(phi, מספר זהב) φ = 1.6180339887498948482045 ...

(מספר אוילר) e = 2.7182818284590452353602 ...

√2 = 1.41421356237309504880…

√3 = 1.73205080756887729352…

√5 = 2.23606797749978969640…

√7 = 2.64575131106459059050…

√8 = 2.82842712474619009760…

√10 = 3.16227766016837933199…

√11 = 3.31662479035539984911…

√12 = 3.464101615137754587054…

√13 = 3.605551275463989293119…

√14 = 3.741657386773941385583…

√15 = 3.872983346207416885179…

√17 = 4.123105625617660549821…

√18 = 4.2426406871192851464050…

√19 = 4.3588989435406735522369…

√20 = 4.47213595499957939281834…

√26 = 5.099019513592784830028224…

√30 = 5.477225575051661134569697…

√35 = 5.916079783099616042567328…

√40 = 6.324555320336758663997787…

√50 = 7.071067811865475244008443…

√99 = 9.949874371066199547344798…

√101 = 10.049875621120890270219264…

√201 = 14.177446878757825202955618…

√500 = 22.360679774997896964091736…

√713 = 26.702059845637377344148367…

√888 = 29.799328851502679438663632…

√999 = 31.606961258558216545204213…