דוגמה ליחסים ולפרופורציות

את היחס והפרופורציות, אנו קוראים סיבה למרווח שמצוין על ידי שני מספרים ומייצג את הקשר בין שתי כמויות ל- a פּרוֹפּוֹרצִיָה לשוויון שקיים בין שתי סיבות או יותר.

1. סיבה

יחס מציין בצורה חלוקה את הקשר בין שתי כמויות. זה אומר לנו כמה יחידות יש ביחס לאחרות, וזה בדרך כלל מסומן על ידי פשטות השברים.

לדוגמה, אם בכיתה יש לנו 24 בנות ו- 18 בנים, נציג אותה באחת מהדרכים הבאות:

24/18
24:18

ומכיוון שנוכל לפשט את השבר על ידי חלוקתו ב- 6, יהיה לנו:

4/3
4:3

ונכתב שיש יחס של 4 ל -3, או 4 לכל 3.

לכל אחד מהערכים של יחס יש שם. הערך שנמצא בצד שמאל של היחסים נקרא מקדים, והערך בצד ימין נקרא עוֹקֵב.

במקרה זה, היחס בין בנות לבנים הוא יחס של 4 ל -3, או 4 בנות לכל 3 בנים.

2. פּרוֹפּוֹרצִיָה

הפרופורציה מציינת באמצעות שוויון את ההשוואה בין שני יחסים. כדי לכתוב פרופורציה, עלינו לקחת בחשבון שהערכים הקודמים הם תמיד באותו צד, כמו גם הערכים הנובעים מכך.

בדוגמה בכיתה שלנו, אנו יכולים להשוות את היחס שיש לנו, של 4 בנות לכל אחת 3 בנים, ואנחנו יכולים לחשב כמה בנים נמצאים בחדר ביחס למספר הבנות או להיפך. לשם כך, קודם כל נכתוב את הפרופורציה שאנחנו כבר מכירים:

4:3

ואז סימן שווה

4:3=

ואז הסכום הכולל, למשל זה של אותו החדר, וזכור שעלינו לכבד את סדר הקדמה והתוצאה. בדוגמה שלנו, הקדמה תהיה מספר הבנות, וכתוצאה מכך מספר הבנים.

4:3=24:18

כדי לבדוק את שוויון הפרופורציה, מבוצעות שתי כפלות. בפרופורציה, ניקח את סימן השווה כהפניה. המספרים הקרובים ביותר נקראים המרכזים, והמספרים הרחוקים ביותר הם הקיצוניות. בדוגמה שלנו, המספרים 3 ו- 24 הם הקרובים ביותר לסימן השווה, ולכן הם המרכזים. 4 וה 18, הם הקיצוניות. כדי לבדוק שהפרופורציה נכונה, תוצר הכפלת המרכזים חייב להיות שווה לתוצר הכפלת הקצוות:

3 X 24 = 72
4 X 18 = 72

2.1 פרופורציה ישירה ופרופורציה הפוכה

פרופורציות יכולות לבטא קשרים שבהם הגדלת כמות הקדומה מגדילה את כמות התוצאה. וריאציה זו נקראת פרופורציה ישירה. הדוגמה שלעיל היא יחס ישיר.

בפרופורציה הפוכה, גידול הכמות בקודם, פירושו ירידת הכמות בתוצאה.

לדוגמא, בחנות רהיטים, 6 עובדים מייצרים 8 כסאות תוך 4 ימים. אם אנו רוצים לדעת כמה עובדים נדרשים לבניית 8 הכיסאות תוך יום, יומיים ושלושה, נשתמש בפרופורציה הפוכה.

כדי לקבוע זאת, נשתמש במספר העובדים כנתון המקדים, ובמספר הימים כנתון המתקבל:

6:4=

בעקבות אותו צו, בצד השני של השוויון יהיה לנו שוב תקדים את מספר העובדים, וכתוצאה מכך את הימים שייקח. יהיה לנו משהו כזה:

6:4 = ?:3
6:4 = ?:2
6:4 = ?:1

כדי לקבוע את הפרופורציה ההפוכה, נכפיל את גורמי היחס הידוע, בדוגמה שלנו, 6 ו -4, ונחלק את התוצאה בנתונים הידועים של היחס השני. לפיכך, בדוגמה שלנו, יהיה לנו:

6 X 4 = 24
24 / 3 = 8
24 / 2 = 12
24 / 1 = 24

כך יהיו לנו הפרופורציות הבאות:

6:4 = 8:3
6:4 = 12:2
6:4 = 24:1

לפי מה שאנחנו יכולים לחשב כדי לייצר את 8 הכיסאות בשלושה ימים, אנחנו צריכים 8 עובדים; כדי להכין אותם ביומיים, אנחנו צריכים 12 עובדים, וכדי להכין אותם ביום אחד, אנחנו צריכים 24 עובדים.

דוגמאות לסיבות

1. בתיבה יש לנו 45 גולות כחולות ו -105 גולות אדומות. אנו מבטאים זאת כ- 45: 105 ומחלקים ב- 15, יש לנו שהיחס הוא 3: 7 (שלוש על כל שבע), כלומר שלוש גולות כחולות על כל שבע גולות אדומות.
2. בכיתת בית ספר, כל כדור משמש כל צוות של חמישה ילדים, כלומר יש לנו חמישה תלמידים לכל כדורגל. יש לנו למשל דוגמא לכך שהקשר בין תלמידים - כדורים הוא 5 עד 1. יחס זה כתוב 5: 1 ואנחנו מסיקים שיש יחס של חמישה תלמידים לכל כדורגל.
3. בחניה יש מכוניות ממפעלים אסייתיים ומפעלים אמריקאים. בסך הכל יש 3060 מכוניות, מתוכן, 1740 מיוצרות אסיה והשאר, 1320, מיוצרות אמריקאיות. זה ייתן לנו שהיחס הוא 1740/1320. לשם פשטות, אנו מחלקים אותו תחילה ל- 10, מה שמשאיר אותנו 174/132. אם נחלק אותו כעת ל- 6, יהיה לנו היחס 29:22, כלומר בחניה יש 29 מכוניות אסיאתיות לכל 22 מכוניות אמריקאיות.

דוגמאות לפרופורציות:

פרופורציה ישירה:

1. בחנות נמכרים ממתקים לאומיים ומיובאים ביחס של 3: 2 אם אנו יודעים שנמכרים 255 ממתקים לאומיים ליום, כמה ממתקים מיובאים נמכרים ביום?

3:2=255:?
2 X 255 = 510
510/3 = 170 ממתקים מיובאים.
3: 2 = 255: 170 (שלוש זה לשניים כמו 255 זה 170).

1. בנים ובנות הוזמנו למסיבה. אם אנו יודעים ששש בנות השתתפו בכל 4 בנים, ויש 32 בנים במסיבה, כמה בנות היו שם?

6:4 = ?:32
32 X 6 = 192
192/4 = 48 בנות הלכו למסיבה.
6: 4 = 48:32 (6 הוא 4 כמו 48 הוא 32)

1. להרכבת שולחן יש צורך ב -14 ברגים. כמה ברגים אנחנו צריכים כדי להרכיב 9 שולחנות?

14:1 = ?:9
14 X 9 = 126
126/1 = 126 ברגים נדרשים.
14: 1 = 126: 9 (14 הוא 1 כמו 126 הוא 9)

יחס הפוך:

1. שני מנופים מעבירים 50 מכולות תוך שעה וחצי. כמה מנופים יש צורך להעביר את 50 המכולות תוך חצי שעה?

2:1.5 =?:.5
2 X 1.5 = 3
3 / .5 = יש צורך ב -6 מנופים.
2: 1.5 = 6: .5 (שני מנופים זה שעה וחצי, כמו שישה מנופים זה חצי שעה)

1. אם 4 תלמידים מבצעים עבודת צוות תוך 45 דקות, כמה זמן זה ייקח אם הצוות מורכב מ -6, 8, 10 ו -12 תלמידים?

יהיו לנו הפרופורציות הבאות:

א) 4:45 = 6:?
ב) 4:45 = 8:?
ג) 4:45 = 10:?
ד) 4:45 = 12:?

4 X 45 = 180

א) 180/6 = 30 דקות
ב) 180/8 = 22.5 דקות
ג) 180/10 = 18 דקות
ד) 180/12 = 15 דקות

אז הפרופורציות יהיו:

א) 4:45 = 6:30
ב) 4:45 = 8: 22.5
ג) 4:45 = 10:18
ד) 4:45 = 12:15

• המשך לקרוא: כלל פשוט של שלושה.