非ユークリッド幾何学の定義

基本的に、非ユークリッド幾何学は、いわゆる質問から生じる幾何学です。 ユークリッドの5番目の仮定したがって、ギリシャの数学者および幾何学者であったユークリッドの仕事の一般的な特徴づけが不可欠であり、その仕事は ジオメトリ、その創設者の1人と見なされます。 それは確かに知られています 安全 紀元前300年頃、古代の文化的中心地であるアレクサンドリアの街に住んでいました。 c。

彼の仕事 要素 それは、23の定義のリストで構成される一連の「原則」から始まります。 続いて5つの仮定があります。 数字 特に幾何学的; 他の数学分野に共通する5つの一般的な公理。 次に、原則の後に、Euclidは2つのタイプの「命題」を紹介します。 建物 ルールとコンパスを備えた数字の; と定理、いくつかのプロパティのデモンストレーションを参照してください 幾何学的図形.

ユークリッドの5番目の仮定

彼は次のように述べています。他の2つの直線に当たる直線によって、同じ側の内角が2つの直線よりも小さくなる場合、 次に、2つの線が無期限に延長されると、角度が2未満の側で交わります。 真っ直ぐ”. 角度が正しければ、そのような線は、定義番号23によれば、平行になります（ "平行線とは、同一平面上にあり、無期限に延長された場合、どの方向にも交わらない線のことです。”).

以前の仮説よりも複雑なこの仮説は、それ自体が不可分ではありませんでした。 線は無期限に、角度が2つの直角よりも小さい側で交差します。これは、によって証明することができないためです。 建物。 そして、線が交差することなく無期限に接近する可能性を残しました。

5番目の仮定を証明する試み

古代から19世紀半ばまで、5番目の仮定を証明するための一連の失敗した試みがあったのはこのためです。証明は常に達成されました。 しかし、ユークリッドのものとは異なる、他のいくつかの追加の仮定（論理的には5番目と同等）を導入します。 つまり、5番目の公準は証明できませんでしたが、同等の公準に置き換えられました。

この例は、ジョンプレイフェアの仮説です。 XVIII）：「その線に平行な単一の点は、同じ平面内にある線の外側の点を通過します。" （として知られている "平行線公準”). 非ユークリッド幾何学は、ユークリッドシステムの5番目の仮定を証明する試みの失敗から正確に生じます。

サッケリの不条理テスト

1733年、イタリアの数学者ジロラモサッケリは、ユークリッドの5番目の公準の不条理を証明しようとしました。 これを行うために、彼は四辺形（「サッケーリの四辺形」、ここで1対の角度は直角です）そして5番目の仮定は次の命題と同等であると述べました 特徴的な角度 その四辺形の（直角のペアの反対側のもの）も直角です。 それから3つあります 仮説 可能で、相互に排他的です。2つの特徴的な角度が正しい、鋭い、または鈍角であるということです。 不条理によって5番目の仮定を証明するために、（5番目に頼ることなく）証明する必要がありました 仮定）鈍角と鋭角の仮説は矛盾を暗示しており、したがって、 false。

サッケリは鈍角の仮説が矛盾していることを証明することができましたが、鋭角の場合は成功しませんでした。 それどころか、彼はユークリッド幾何学と一致し、互換性のない一連の定理を推定しました。 最後に、彼は、これらの定理の奇妙さを考えると、仮説は誤りであるに違いないと結論付けました。 その結果、彼は彼が5番目の仮定のばかげたことを証明したと信じていました。 しかし、彼がしたことは、非ユークリッド幾何学の重要な定理のセットをうっかり証明したことでした。

非ユークリッド幾何学の「同時」発見

カールF。 ガウスは、19世紀に、5番目の公準が他の4つから証明できなかったと最初に疑った（つまり、 独立して）そして4つのユークリッド仮説との否定に基づいた非ユークリッド幾何学の可能性を考えて 5番目。 彼は彼の発見を発表したことはありません：これは 同時発見なぜなら、彼には3人の独立した指示対象（ガウス自身、ヤノス・ボリャイ、ニコライ・ロバチェフスキー）がいたからです。

拒否する 5番目 法 ユークリッドのは、2つの可能性を意味します（Playfairの同等の定式化を採用）：直線の外側の点を通過する、平行パスがない、または複数の平行パス。 非ユークリッド幾何学の中には、たとえば、幾何学 "架空」ロバチェフスキー著、後に「双曲線"- によると、 "線の外部点が与えられると、無限の交差する線、無限の交差しない線、および2本の平行な線だけがその点を通過します。」、ユニークなユークリッド並列とは異なり、 またはベルンハルトリーマンの楕円幾何学。線の外側の点を通過すると、その線に平行な線は通過しません。”.

発見の応用と意味

現在、ローカルスペースでは、両方のジオメトリでおおよその結果が得られることが知られています。 距離が大きいことを考慮して、物理空間が1つのジオメトリまたは別のジオメトリで記述されている場合、違いが現れます。 ユークリッド幾何学を引き続き使用しますが、それはローカルスケールで私たちの空間を最も簡単に説明するものであるため、発見 非ユークリッド幾何学は、それが真理の理解の根本的な変化を意味する限り、決定的でした 科学的。

それまでは、ユークリッド幾何学は本当に空間を表すと考えられていました。 他の幾何学を通してそれを説明する可能性を他の仮定で証明するとき、「true”.

参考文献

MARTINEZ LORCA、A。 （1980）「ソクラテスの倫理とその影響 考え Occidental」、RevistaBaética：Estudios de Arte、 地理 と歴史、3、317-334。 マラガ大学。

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