ディラック方程式とは何ですか? また、どのように定義されていますか?

ポール・エイドリアン・モーリス・ディラック (1902-1984) は、1928 年末に最も重要な方程式の 1 つを提案し、 これは、現在の時代の物理学における意味合いであり、これは量子力学の原理をそれらの原理と統合するためです 相対性。

見積もり (APA)

エヴリン・メイティー・マリン | | 8月 2022
インダストリアル エンジニア、物理学修士、EdD

この方程式はいくつかの方法で表すことができます。最もコンパクトで単純化されたものは、科学で最も美的な方程式の 1 つと見なされます。

\(\left( {i\nabla - \frac{{mc}}{h}} \right) = 0\)

どこ：
i: 虚数単位
m: 電子の静止質量
ħ: プランクの換算定数
c: 速度 光の
: 偏導関数の総和演算子
: 電子の数学的波動関数

波動関数の二乗の絶対値は、 確率 を考慮して、特定の位置にある粒子を見つける エネルギー、速度、他のパラメータの中でも、その 進化 時間内に。 言い換えれば、ポール・ディラック方程式はベクトルに作用する行列を使用し、相対論的量子物理学におけるシュレディンガー方程式の進化を表しています。

ディラック方程式は、もともと相互作用のない電子の振る舞いを記述するために使用されていましたが、その適用範囲は次のように拡張されています。 説明 亜原子粒子が光速に近い速度で移動するとき。 ディラックは、角運動量などの粒子の性質を考慮したため、当時すでに知られていた波動と粒子の二重の振る舞いを素粒子スケールで説明することができました 固有の またはスピン。

ディラック方程式のもう 1 つの重要な貢献は反物質の予測であり、その存在は後に (1932 年に) カール D. アンダーソンは、陽電子を同定するための雲室を使用しました。 また、原子スペクトル線で特定された微細構造を大部分説明します。

この画像は、1927 年の「光子と電子」会議で撮影された有名な写真で、歴史上最も優れた科学者の何人かが描かれています。 天周にはポール・ディラックがいます。

ディラック方程式の背景

ディラックが彼の方程式を開発する際に考慮した事柄を理解するために、 彼のアプローチの基礎となった理論を理解することは重要です。 モデル。

まず、1925 年に発表された有名な量子力学のシュレディンガー方程式があり、量を量子演算子に変換します。 この方程式は波動関数 () を使用し、その出発点として次の古典的な方程式を取ります。 エネルギー E = p2/2m であり、運動量 (p) とエネルギーの両方の量子化規則が組み込まれています。 （と）：

\(ih\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {r, t} \right) = \left[ {\frac{{{h^2}}}{{2m}}{\ nabla ^2} + V\left( {r, t} \right)} \right]\left( {r, t} \right)\)

偏導関数 /t は、時間に対するシステムの進化を表します。 角括弧内の最初の用語は、 運動エネルギー (\({\nabla ^2} = \frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r, t} \right)\))、第 2 項は 位置エネルギー.

注: アインシュタインの相対性理論では、空間変数と時間変数は、 シュレディンガー方程式ではそうではなく、時間は導関数として現れ、位置は 二次導関数。

何世紀にもわたって、科学者たちはさまざまな理論を統一する物理学のモデルを見つけようとしてきました。 シュレディンガーの方程式は、電子の質量 (m) と電荷を考慮に入れていますが、高い温度で現れる相対論的効果は考慮していません。 スピード。 このため、1926 年に科学者のオスカー クラインとウォルター ゴードンは、相対性原理を考慮した方程式を提案しました。

\({\left( {ih\frac{\partial }{{\partial t}}} \right)^2} = \left[ {{m^2}{c^4} + c{{\left( { - ih\bar \nabla } \right)}^2}} \right]\)

クライン・ゴルドン方程式の問題点は、エネルギーが二乗されるアインシュタインの式に基づいているため、この (クライン・ゴードン) 方程式 時間に関する二乗導関数を組み込みます。これは、時間の負の値を許容する 2 つの解があることを意味します。これは意味がありません。 物理的。 同様に、解としてゼロ未満の確率値を生成するという不都合があります。

これらの結果をサポートしない特定の大きさの負の解によって暗示された矛盾を解決しようとして、ポール・ディラックはクライン・ゴードン方程式から始めて それを線形化し、この手順で、ディラック行列またはパウリ行列とも呼ばれる次元 4 の行列の形式で 2 つのパラメーターを導入しました。 スピン。 これらのパラメータは  および ` として表されます (エネルギー方程式では、これらは E = pc + mc2 として表されます)。

何によって 平等 が満たされる場合、条件は ´2 = m2c4

一般に、量子化規則は、スカラー波動関数に適用される導関数を使用する操作につながりますが、 パラメータ α と β は 4x4 行列で、微分演算子はスピノルとして知られる 4 次元ベクトル () に介入します。

ディラック方程式は、クライン ゴルドン方程式によって提示される負のエネルギーの問題を解決しますが、負のエネルギーの解は依然として現れます。 つまり、他の溶液の特性と同様の特性を持つが反対の電荷を持つ粒子であり、ディラックはこれを反粒子と呼びました。 さらに、ディラック方程式により、スピンは相対論的性質を量子世界に適用した結果であることが示されています。