操作の階層とは何ですか?

操作の階層は、結合された計算アクションを実行する順序を確立する数学的規則です。 同じ数学的ステートメント、つまり、数学的操作 (加算、減算、 掛け算、割り算、べき乗、および根) を組み合わせると、これらを特定の順序で実行して結果を得る必要があります。 一般。

しかし、なぜヒエラルキーが必要なのでしょうか? それに答えるには、まず集合の要素に適用される変換からなる数学的操作の性質をよく理解する必要があります。 たとえば、実数の集合、つまり私たち全員が知っている数について考えてみましょう。 数値 a に別の数値 b を足すと、同じ実数の集合に属する別の数値 c が得られます。

a+b = c

さらに、加数が提示される順序は最終結果に影響しません。つまり、 a+b = b+a、この性質は可換性と呼ばれます。 足し算について話すことは重要です。足し算は、他のすべての操作の元になる基本的な操作だからです。 掛け算は足し算の繰り返しに他なりません。 ある数 a が再びあり、それを数 b で掛けると、数 b をそれ自体に加算するか、または数 a の b 倍をそれ自体に加算することになります。 後者は、乗算が加算のように交換可能であるため、次のことを意味します。 a·b = b·a. 上記は次のように表現できます。

これは、例を使って簡単に視覚化できます。 5×2 の掛け算をしましょう。

5×2 = 2×5 = 2+2+2+2+2 = 5+5 = 10

では、足し算と掛け算を組み合わせた演算を実行する必要がある場合はどうなるでしょうか。 例: a⋅b+c。 足し算と掛け算の順番は？ どの操作を優先する必要がありますか? 最初に乗算を実行し、それを合計として展開すると、次のようになります。

ここで、最初に加算を実行してから乗算を実行すると、次のようになります。

足し算は可換であるため、式の右辺を再グループ化して次の式を得ることができます。

両方の状況で得られた結果を比較すると、次のことが容易にわかります。

したがって、操作を実行するために決定された順序が、得られる結果に影響を与えると結論付けます。 力が関係するときも同じことが起こります。 数値 b を c 乗すると、c に数値 b を掛けることになります。つまり、次のようになります。

次に、乗算と累乗 a⋅b を含む次の複合演算の実行に進みます。^c 前の場合とは順序が異なります。 まず力を優先するとしたら、次のようになります。

ここで、最初に乗算を実行してからべき乗を実行すると、次のようになります。

乗算の可換性を利用して、方程式の右辺を次のように再グループ化できます。

繰り返しますが、異なる順序で操作を実行して得られた結果を比較すると、次のことがわかります。

この場合も、操作が実行される順序は、得られる結果に影響します。 では、操作を実行する順序は何ですか? 演算の階層は、累乗が乗算よりも高いレベルの階層にあることを確立し、数学的ステートメントで累乗が優先されるようにします。 同様に、乗算は加算よりも高い階層レベルを持ちます。

しかし、引き算、割り算、根はどうでしょうか? 減算は加算の反対の演算です。数値 a から数値 b を減算すると、c+b=a となる別の数値 c が得られます。 割り算と引き算でも似たようなことが起こります。 数 a を数 b で割り、結果として数 c が得られる場合、b·c=a となる数が見つかりました。 そして最後に、数 a の根 b を計算することにより、c となるような数 c を見つけます。^b=a. これらの等価性により、減算、除算、根は、それぞれ加算、乗算、べき乗と同じ階層レベルに置かれます。

括弧と括弧の練習

では、階層レベルに関係なく、数学ステートメントでいくつかの演算を優先したい場合はどうなるでしょうか? これを行うには、括弧と角括弧を使用します。 原理 a⋅b+c のステートメントがあるとします。 前に述べたように、最初に乗算を実行し、次に加算を実行する必要があることは既にわかっています。 しかし、そうならないようにしたい場合はどうすればよいでしょうか。 これを行うには、括弧または角括弧を使用して加算を乗算から分離し、最初に加算を計算することを優先する必要があります。つまり、a⋅(b+c) です。 これにより、括弧と角括弧で区切られたステートメントが他のすべての操作よりも優先されます。

上記のすべてを踏まえると、操作の階層、つまり実行する必要がある順序は次のとおりです。

1) 括弧と括弧
2) 力と根
3) 掛け算と割り算
4) 足し算と引き算

参考文献

h. ベンケ、F. バックマン、K. フラット、W. サス、H. ゲリケ、F. ホーエンバーグ、G. ピッカート、H. ラウ＆S. h. グールド。 (1983). 数学の基礎: ボリューム I. ケンブリッジ、マサチューセッツ、ロンドン: The MIT Press.