二次関数の定義

形が表現される実変数の二次関数。

\(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\)

変数が \(x\) の場合、\(a, b\) および c は実定数であり、\(a \ne 0.\) を使用した二次関数の係数と呼ばれます。

この表は、二次関数の一般的な例とそれらがモデル化できる状況を進め、後で実際の問題から直接適用することを示しています。

二次関数	モデル化できる状況
\(f\left( x \right) = {x^2}\)	変数 \(y\) は、一辺が \(x\) である正方形の面積です。
\(f\left( x \right) = \pi {x^2}\)	変数 \(y\) は、半径 \(x\) の円の面積です。
\(f\左( x \右) = 100 – 4.9{x^2}\)	変数 \(y\) は高さ 100 で落下したオブジェクトの高さ、\(x\) は経過時間です。
\(f\left( x \right) = 60\left( {{\bf{sin}}45^\circ } \right) x – 4.9{x^2}\)	変数 \(y\) は、角度 45°、速度 60 m/s で投げられた砲弾の高さ、\(x\) は経過時間です。

一般式と二次関数

\(x = \alpha \) に対して 2 次関数がゼロの場合、数は \(\alpha \) が 2 次関数の根と呼ばれます。はい、\(\alpha \) は 2 次方程式の解です。

\(a{x^2} + bx + c = 0\)

二次関数の根が次の二次方程式を解くための一般式は次のとおりです。

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}},\;\;\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b ^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

上記から、二次関数の根と係数の間に次の関係が確立されます。

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a},\;\;\alpha \beta = \frac{c}{a}\)

注目すべき製品を通じて、次のアイデンティティが確立されます。

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\)

一般式で確立された方法と同様に、二次関数は次の形式で表現できることが確立されています。

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

\(h = – \frac{b}{{2a}}\) と \(k = – \frac{{{b^2} – 4ac}}{a}\)

方程式を解くことによって：

\(a{\left( {x – h} \right)^2} + k = 0\)

取得されます:

\(\left| {x – h} \right| = \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

\(x = h \pm \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

上記から、定数 \(k\) と\(a\) は \(h + \sqrt { – \frac{k}{a}} ,\;\;h – \sqrt { – \frac{k}{a} } \)。

定数 \(k\) と \(a\) の符号が同じ場合、二次関数には実根がありません。

\(k = 0,\;\;\) の場合、二次関数には根が 1 つしかありません。

実生活に適用される例

応用例1：経済学

学校は、各チームが他の各チームと 1 回だけ対戦するサッカー トーナメントを開催したいと考えています。 仲裁費用が 1 ゲームあたり $200 の場合、仲裁費用の予算は $15,600 です。 トーナメントには何チーム登録できますか?

問題文: \(n\) の場合に一致数を計算する関数を見つけなければなりません チームを数えるために、チーム 1 が他のすべてのチームと最初にプレーすると仮定します。つまり、\(n – 1\) 一致します。 チーム 2 は、チーム 1 と既に対戦しているため、残りのすべてのメンバー、つまり \(n – 2\) と対戦します。 チーム 3 はすでにチーム 1 と 2 と対戦しているので、n-3 チームと対戦する必要があります。

上記の理由から、次のことがわかります。

\(f\left( n \right) = n – 1 + n – 2 + \ldots + 2 + 1\)

\(f\left( n \right) = \frac{{n\left( {n – 1} \right)}}{2}\)

コスト関数は次のとおりです。

\(C\左( n \右) = 200f\左( n \右) = 100n\左( {n – 1} \右)\)

予算が $15,600 の場合、式は次のようになります。

\(100n\左( {n – 1} \右) = 15600\)

方程式の解

\(100n\left( {n – 1} \right) = 15600\) 初期状態
\(n\left( {n – 1} \right) = 156\) 方程式の各辺を 100 で割ります
\({n^2} – n – 156 = \) 方程式の各辺に \( – 156\) を追加します
\(\left( {n – 13} \right)\left( {n + 12} \right) = 0\) \(\left( { – 13} \right)\left( {12} \right ) = – 156\) および \( – 13 + 12 = – 1\)
因数分解しました。
方程式 \(n = – 12,\;13\) の解
回答: 予算は 13 チームが登録するのに十分です。

応用例 2: 経済学

都市交通バス会社は、1 日 8 時間で、各バスが平均 1,000 人の乗客を輸送していることを観察しています。 従業員を昇給できるようにするには、料金を引き上げる必要があります。現在の料金は 5 ドルです。 エコノミストは、運賃が 1 ペソ上がるごとに、各トラックは毎日平均 40 人の乗客を失うと計算しています。 この会社は、昇給分をカバーするために、トラック 1 台につき 1 日あたり 760 ドルを追加で得る必要があると計算しました。

問題の説明: \(x\) をチケットが上昇するペソの額とし、\(5 + x\) をチケットの新しいコストとします。 これと同じ増加で、各トラックは平均して 1 日あたり \(1000 – 40x\) の乗客を輸送します。

最後に、トラックあたりの収入は次のとおりです。

\(I\left( x \right) = \left( {5 + x} \right)\left( {1000 – 40x} \right) = – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right)\)

昇給をカバーするために、各バスは次の料金を徴収する必要があります: \(1000\left( 5 \right) + 760 = 5760\)

最後に、次の式が得られます。

\( – 40\左( {x + 5} \右)\左( {x – 25} \右) = 5760\)

方程式の解
\( – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = 5760\) 初期状態
\(\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = – 144\) 方程式の各辺を \( – 40\) で割ります
\({n^2} – 20n – 125 = – 144\) 注目すべき製品が開発されました
\({n^2} – 20n + 19 = 0\) 144 がそれぞれに追加されました
\(\left( {n – 19} \right)\left( {n – 1} \right) = 0\) \(\left( { – 19} \right)\left( { – 1} \)右) = 19\) および \( – 19 – 1 = – 20\)
因数分解
方程式 \(n = 1.19\) の解
回答: チケットの価格は 1 ドルまたは 19 ドル高くなる可能性があります。

応用例 3: 経済学

あるパン屋では、1 週間に平均 1,200 ロールを 1 枚 6 ドルで販売しています。 ある日、彼は価格を 1 個 9 ドルに引き上げることにしました。 現在、彼女の売り上げは減少しており、週平均 750 ロールしか販売していません。 アウトレットの収益を可能な限り高くするには、各パンの価格をいくらにする必要がありますか? 需要と価格の間に線形関係があると仮定します。

問題文: 需要 D と価格 \(x,\) の間に線形関係があると仮定すると、

\(D = mx + b\)

式を生成する \(x = 6;D = 1200;\;\) の場合:

\(1200 = 6m + b\)

\(x = 9;D = 750;\;\) lo とすると、次の式が得られます。

\(750 = 9m + b\)

連立方程式を解くと、需要と価格の関係は次のようになります。

\(D = – 150x + 2100 = – 150\左( {x – 14} \右)\)

収入は等しい

\(I\左( x \右) = Dx = – 150x\左( {x – 14} \右)\)

解決

下に開いた放物線の収入のグラフで、上の頂点で最大値に達します。 これは、次をモデル化する二次関数の根を平均することによって見つけることができます。 所得。 ルートは \(\alpha = 0,\;\;\beta = 14\) です。

\(h = \frac{{0 + 14}}{2} = 7\)

\(I\left( h \right) = – 150\left( 7 \right)\left( {7 – 14} \right) = 7350\)

答え

最大収益は 7,350 ドルで、7 ドルの価格で達成されます。 平均して週に 1050 ロールを販売しています。

応用例 4: 経済学

\(n\) 椅子を 1 日で製造するコストは、次の 2 次関数で計算できます。

\(C\左( n \右) = {n^2} – 200n + 13000\)

達成可能な最小コストを決定します。

問題文

\(C\left( n \right)\) のグラフは上に開いた放物線で、\(h = – \frac{b}{{2a}} = – \frac{{\左( { – 200} \右)}}{{2\左( 1 \右)}} = 100\)

\(C\左( {100} \右) = {\左( {100} \右)^2} – 200\左( {100} \右) + 13000 = 3000\)

答え

可能な限り低いコストは 3000 ドルで、100 脚の椅子を製造することで達成されます。

アプリケーション例 5: ジオメトリ

菱形の面積は21 cm2です。 対角線の長さの合計が 17 cm の場合、ひし形の各対角線の長さは?

問題文: ひし形の面積は次のように計算されます。

\(A = \frac{{Dd}}{2}\)

\(D\) と \(d\) がその対角線の長さであることから、次のこともわかります。

\(D + d = 7\)

\(D = 17 – d\)

代入すると、次のようになります。

\(A = \frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2}\)

最後に、式を取得します

\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\)

解決
\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\) 初期状態
\(\left( {17 – d} \right) d = 42\) 式の各辺に \( – 40\) を掛ける
\({d^2} – 17d + 42 = 0\) 製品が開発されました。
\(\left( {d – 14} \right)\left( {d – 3} \right) = 0\) \(\left( { – 14} \right)\left( { – 3} \)右) = 42\) および \( – 14 – 3 = – 17\)
因数分解
方程式 \(d = 3.14\) の解
答え：

ひし形の対角線は 14 cm と 3 cm です。

アプリケーション例 6: ジオメトリ

鶏小屋の底を形成するかなり長いフェンスを利用して、140 m2 の長方形の鶏小屋を建設することが望まれます。 残りの 3 つの側面は 34 メートルの金網で作られますが、金網全体を使用するには、鶏小屋の長さと幅はどのくらいにすればよいですか?

同じ条件下で、同じメッシュで囲うことができる最大の面積は?

問題文: 図によると、面積は次のようになります。

\(A\left( x \right) = x\left( {34 – 2x} \right) = 2x\left( {17 – x} \right)\)

\(x\) はフェンスに垂直な辺の長さです。

面積が140 m2になるように長方形の寸法を知るには、方程式を解くだけで十分です

\(2x\左( {17 – x} \右) = 140\)

\(A\left( x \right)\) のグラフは下に開いた放物線で面積の最大値を計算するので、放物線の頂点を計算すれば十分です。

回答
面積 140 m2 の長方形の寸法
フェンスに垂直な辺の長さ

\(x\) フェンスに平行な辺の長さ

\(34 – 2x\)
10 14
7 20

頂点の最初の座標は \(h = \frac{{17}}{2}\) であり、

\(A\left( h \right) = \frac{{289}}{2}\)

垂直な辺が \(\frac{{17}}{2}\;\)m で、平行な辺が 17m のときに面積が最大になり、それは 17m になり、到達した最大面積の値は \(\frac{ {289}} {2}\)m2。

二次関数のグラフ

幾何学的な観点から見ると、根は関数のグラフが \(x\) 軸と交差する点です。

表情から

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k,\)

二次関数のグラフの一般的な形を確立します。

最初のケース \(a > 0\) および \(k > 0\)

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

\（バツ\）	\(f\left( x \right)\)
\(h – 1\)	\(a + k\)
\(h – 2\)	\(4a + k\)
\(h – 3\)	\(9a + k\)
\(h – 4\)	\(16a + k\)
\(h\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(a + k\)
\(h + 2\)	\(4a + k\)
\(h + 3\)	\(9a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

この場合、グラフは以下を満たします。

対称: 対称軸 \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) で \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \right)\)

\(x\) 軸の上にあり、交差していません。 つまり、\(f\left( x \right) > 0\) には実根がありません。

グラフの最下点は点 \(\left( {h, k} \right)\) です。 つまり \(f\left( x \right) \ge f\left( h \right) = k\)

2 番目のケース \(a < 0\) および \(k < 0\)

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

\（バツ\）	\(f\left( x \right)\)
\(h – 1\)	\(a + k\)
\(h – 2\)	\(4a + k\)
\(h – 3\)	\(9a + k\)
\(h – 4\)	\(16a + k\)
\(h\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(4a + k\)
\(h + 2\)	\(9a + k\)
\(h + 3\)	\(4a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

この場合、グラフは以下を満たします。

対称: 対称軸 \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) で \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \right)\)

\(x\) 軸の下にあり、交差していません。 つまり、\(f\left( x \right) < 0\) には実根がありません。 グラフの最高点は点 \(\left( {h, k} \right)\) です。 つまり \(f\left( x \right) \le f\left( h \right) = k\) 3 番目のケース \(a > 0\) と \(k \le 0\) です。

このケースは最初のケースと似ていますが、違いは、実根が 1 つ ( \(k = 0\) の場合) または 2 つあることです。

この場合、グラフは以下を満たします。

対称: 対称軸 \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) で \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \right)\)

\(x\) 軸と交差します。つまり、少なくとも 1 つの実根があります。

グラフの最下点は点 \(\left( {h, k} \right)\) です。 つまり \(f\left( x \right) \ge f\left( h \right) = k\)

4 番目のケース \(a < 0\) および \(k \ge 0\)。 このケースは 2 番目のケースに似ていますが、違いは、1 つの実根 ( \(k = 0\) の場合) または 2 つの実根があることです。 この場合、グラフは以下を満たします。

対称: 対称軸 \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) で \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \right)\)

グラフの最下点は点 \(\left( {h, k} \right)\) です。 つまり \(f\left( x \right) \le f\left( h \right) = k\)

二次関数のグラフは放物線と呼ばれ、強調表示するその要素は対称軸、つまり交差する点です。 \(x\) 軸と頂点は、関数のグラフ上で、 場合。

実行された分析に基づいて、次のように述べることができます。

二次関数 \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) に関連付けられた放物線の頂点は \(\left( {h, k} \right)\) にあります。 :

\(h = – \frac{b}{{2a}},\;\;k = f\left( h \right)\)

例

二次関数 \(y = {x^2}\)	重要な要素
放物線の頂点	\(\left( {0,0} \right)\)
放物線の対称軸	\(x = 0\)
\(x\) 軸との交差	\(\left( {0,0} \right)\)

二次関数 \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2}\)	重要な要素
放物線の頂点	\(\left( {2,0} \right)\)
放物線の対称軸	\(x = 2\)
\(x\) 軸との交差	\(\left( {2,0} \right)\)

二次関数 \(y = {\left( {x + 2} \right)^2} – 4\)	重要な要素
放物線の頂点	\(\左( { – 2, – 4} \右)\)
放物線の対称軸	\(x = – 2\)
\(x\) 軸との交差	\(\左( { – 4,0} \右);\左( {0,0} \右)\)

二次関数 \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 9} \right)^2} + 8\)	重要な要素
放物線の頂点	\(\left( {9,8} \right)\)
放物線の対称軸	\(x = 9\)
\(x\) 軸との交差	\(\left( {5,0} \right);\left( {13,0} \right)\)

二次関数 \(y = {x^2} + 1\)	重要な要素
放物線の頂点	\(\left( {0,1} \right)\)
放物線の対称軸	\(x = 0\)
\(x\) 軸との交差	持っていない

二次関数 \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2} – 1\)	重要な要素
放物線の頂点	\(\左( {2, – 1} \右)\)
放物線の対称軸	\(x = 2\)
\(x\) 軸との交差	持っていない

二次関数の実根が存在する場合、それらから関連する放物線をグラフ化できます。 \(f\left( x \right) = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\) とします。

このためには、次の点を考慮する必要があります。

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a}\)

\(\frac{{\alpha + \beta}}{2} = – \frac{b}{{2a}} = h\)

として

\(k = f\left( h \right)\)

\(k = f\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2}} \right)\)

\(k = a\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \alpha } \right)\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \ベータ版 } \right)\)

\(k = – \frac{a}{4}{\left( {\alpha – \beta } \right)^2}\)

例

二次関数 \(f\left( x \right) = \frac{1}{4}\left( {x – 3} \right)\left( {x + 6} \right )\) のグラフをスケッチします。

解決

ルートは \(\alpha = 3\;\) と \(\beta = – 6\); です。 \(h = \frac{{3 – 6}}{2} = – \frac{3}{2}\).

\(k = f\left( { – \frac{3}{2}} \right) = 2\left( { – \frac{3}{2} – 3} \right)\left( { – \frac {3}{2} + 6} \right) = \frac{1}{4}\left( { – \frac{9}{2}} \right)\left( {\frac{9}{2}} \right) = – \frac{{81}}{{16}}\)

したがって、次の表を作成できます

\(f\left( x \right) = 2\left( {x – 3} \right)\left( {x + 6} \right)\)	重要な要素
放物線の頂点	\(\left( { – \frac{3}{2}, – \frac{{81}}{2}} \right)\)
放物線の対称軸	\(x = – \frac{{81}}{2}\)
\(x\) 軸との交差	\(\左( { – 6,0} \右)\;,\;\左( {3,0} \右)\)

関数のグラフをスケッチするには:

\(f\左( x \右) = 3{x^2} – 18x + 4\)

すでに使用したのと同じアイデアを使用します。 このために、まず頂点を決定します。

この場合、\(a = 3;b = – 12,\;c = 4\) です。

\(a > 0\) なので、放物線は「開き、\(h = – \frac{b}{{2a}} = – \left( {\frac{{ – 18}}{{3\left ( 2 \right)}}} \right) = 3.\) 次に、\(k:\) を計算します。

\(k = f\left( h \right) = f\left( 3 \right) = 3{\left( 3 \right)^2} – 18\left( 3 \right) + 4 = – 23\)

放物線の頂点は \(\left( {3, – 23} \right)\) にあり、放物線は上に開いているため、放物線は \(x\;\) 軸と交差し、その対称軸は \ (x = 3\)。

ここで、二次関数を考えてみましょう

\(f\左( x \右) = – 5{x^2} + 10x – 9\)

この場合、\(a = 3;b = – 12,\;c = 4\) です。

\(a < 0\) なので、放物線は下向きに「開き」、\(h = - \frac{b}{{2a}} = - \left( {\frac{{10}}{{\left( 2 \right)\left( { - 5} \right)}}} \right) = 1.\) A 次に \(k:\) \(k = f\left( h \right) = f\left( 1 \right) = - 5{\left( 1 \right)^2} + 10\left( を計算します。 1 \ right) - 9 = - 4\) の頂点 放物線は \(\left( {1, - 4} \right)\) にあり、下向きに開いているため、放物線は \(x\;\) 軸と交差せず、その対称軸は \(x = 1.\)