幾何学的プログレッションの定義

数列 \({{a}_{1}},~{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots \); 2 番目から始めて、各要素が前の要素に数 \(r\ne 0\) を掛けて得られる場合、つまり次の場合、等比数列と呼ばれます。
\({{a}_{n+1}}={{a}_{n}}r\)
どこ：
- 数 \(r\) は等比数列の比と呼ばれます。
- 要素 \({{a}_{1}}\) は、等差数列の最初の要素と呼ばれます。

等比数列の要素は、最初の要素とその比率で表すことができます。つまり、次のようになります。
\({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a}_{1} {{r}^{3}}\)

これらは、算術数列の最初の 4 つの要素です。 一般に、\(k-\) 番目の要素は次のように表されます。
\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

前の式の \({{a}_{1}}\ne 0,~\) の場合:

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}=\frac{{{a}_{1}}{{r}^{k-1}} }{{{a}_{1}}{{r}^{l-1}}}\)

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

上記の式は次と同等です。

\({{a}_{k}}={{a}_{l}}{{r}^{k-l}}\)

例/演習 1. 等差数列の差を見つけます: \(2,6,18,54,\ldots \) そして要素 \({{a}_{20}},~{{a}_{91}} を見つけます\)

解決

\(\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=3\) であるため、比率は次のように結論付けることができます。

\(r=3\)

\({{a}_{20}}=2\left( {{3}^{20-1}} \right)=2{{\left( 3 \right)}^{19}}\)

\({{a}_{91}}=2\left( {{3}^{91-1}} \right)=2{{\left( 3 \right)}^{90}}\)

例/演習 2. 等差数列では、\({{a}_{17}}=20~\)y \({{a}_{20}}=-1280\) となり、等比数列の比率を求めて最初の 5 つの要素。

解決

着ている

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

\(\frac{{{y}_{20}}}{{{y}_{17}}}={{r}^{20-17}}\)

\(\frac{-1280}{20}={{r}^{3}}\)

\(-64={{r}^{3}}\)

\(\sqrt[3]{-64}=\sqrt[3]{{{r}^{3}}}\)

\(-4=r\)

等差数列の最初の 5 つの要素を見つける。 \({{a}_{1}}\) を計算します:

\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

\({{a}_{17}}={{a}_{1}}{{\left( r \right)}^{17-1}}\)

\(20={{a}_{1}}{{\left( -4 \right)}^{16}}\)

\(\frac{20}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5\left( 4 \right)}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}}={{a}_{1}}\)

等比数列の最初の 5 つの要素は次のとおりです。

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},~\frac{5}{{{4}^{15}}}\left( -4 \right),\frac{5} {{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{2}},\frac{5}{{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{3}},\frac{5}{{ {4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{4}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},-~\frac{5}{{{4}^{14}}},\frac{5}{{{4}^{ 13}}},-\frac{5}{{{4}^{12}}},\frac{5}{{{4}^{11}}}\)

例/演習 3. 薄いガラスは、通過する太陽光の 2% を吸収します。

に。 これらの薄いガラス 10 個を通過する光の割合は?

b. これらの薄いガラス 20 個を通過する光の割合は?

c. 連続して配置された、同じ特性を持つ \(n\) 個の薄いガラスを通過する光の割合を決定します。

解決

全体の光を 1 で表します。 光の 2% を吸収すると、光の 98% がガラスを通過します。

\({{a}_{n}}\) でガラスを通過する光の割合 \(n\) を表します。

\({{a}_{1}}=0.98,~{{a}_{2}}=0.98\左( 0.98 \右),~{{a}_{3}}={{\左( 0.98 \右)}^{2}}\左( 0.98 \右),\)

一般に \({{a}_{n}}={{\left( 0.98 \right)}^{n}}\)

に。 \({{a}_{10}}={{\左( 0.98 \右)}^{10}}=0.81707\); これは、ガラス 10 が通過した後、光の 81.707% を通過することを示しています。

b. \({{a}_{20}}={{\left( 0.98 \right)}^{20}}=~0.66761\); これは、ガラス 20 が通過した後、66.761% であることを示しています。

等比数列の最初の \(n\) 要素の合計

等比数列 \({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a} 1}}{{r}^{3}}\)….

\(r\ne 1\) が最初の \(n\) 要素の合計である場合、合計:

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}+{{a}_{1}}r+{{a}_{1}}{{r}^{2}} +{{a}_{1}}{{r}^{3}}+\ldots +{{a}_{1}}{{r}^{n-1}}\)

で計算できます

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r},~r \n1\)

例/演習 4. 例 2 から \({{S}_{33}}\) を計算します。

解決

この場合 \({{a}_{1}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\) と \(r=-4\)

申請中

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \右)}{1-r}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {1-\left( -4 \right)}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {5}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1-{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{{4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-\frac{{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{ {4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-{{4}^{7}}\)

例/演習 5. ある人が自分のペットの写真をアップロードし、それをインターネット ソーシャル ネットワークで 3 人の友人と共有するとします。 他の 3 人と写真を共有し、さらに 1 時間後に、それぞれが他の 3 人と写真を共有します。 人々; そして、それは続きます。 写真を受け取った各人は、1 時間以内に他の 3 人と写真を共有します。 15 時間で、すでに何人の人が写真を持っていますか?

解決

次の表は、最初の計算を示しています
時間 写真を受け取る人 写真を持っている人
1 3 1+3=4
2 (3)(3)=32=9 4+9=13
3 32(3)= 33=27 13+27=40

写真を受け取った時間 \(n\) の人数は \({{3}^{n}}\) です。

その時間にすでに写真を持っている人の数は次のとおりです。

\(3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+\ldots +{{3}^{n}}\)

申請中

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \右)}{1-r}\)

\({{a}_{1}}=3,\) \(r=3\) および \(n=15\) の場合

それによって：

\({{S}_{n}}=\frac{\left( 1-{{3}^{15}} \right)}{1-3}=7174453\)

幾何学的手段

2 つの数値 \(a~\) と \(b,\) が与えられた場合、数値 \({{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k +1}}\) は、数 \(a~\) および \(b\) の \(k\) 幾何平均と呼ばれます。 シーケンス \(a,{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},b\) が等比数列の場合。

\(k\) 数 \(a~\) と \(b\) の幾何平均の値を知るには、算術数列の比率を知るだけで十分です。これには、次のことを考慮する必要があります。

\(a={{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},{ {a}_{k+2}}=b,\)

上記から、次の関係を確立します。

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

\(d\) を解くと、次のようになります。

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

\(\frac{b}{a}={{r}^{k+1}}\)

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

例/演習 6. -15 と 1875 の間の 2 つの幾何学的平均を見つけます。

解決

申請時

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

\(b=375,~a=-15\) と \(k=2~\):

\(r=\sqrt[2+1]{\frac{1875}{-15}}\)

\(r=\sqrt[3]{-125}=-5\)

3 つの幾何学的平均は次のとおりです。

\(75,-375\)

例/演習 7. ある人がお金を投資し、6 か月間毎月利息を受け取り、資本が 10% 増加しました。 金利が変わらないと仮定すると、月利はいくらになりますか?

解決

\(C\) を投資資本とする。 最終的な大文字は \(1.1C\) です。 この問題を解決するには、次の式を適用して、5 つの幾何学的平均を配置する必要があります。

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

\(k=5,~b=1.1C\) と \(a=C.\)

\(r=\sqrt[5+1]{\frac{1.1C}{C}}=\sqrt[6]{1.1}=1.016\)

受け取った月額料金は \(1.6%\) でした