等価画分の定義

2 つ以上の分数が同じ量を表している場合、つまり、
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\;,\)
分数 \(\frac{a}{b}\) と \(\frac{c}{d}\) は等しいと言われます。

同等の分数: グラフィック表現

正方形を考えてみましょう。これを 4 分の 1、3 分の 1、8 分の 1、12 分の 1 に分割します。

前の図から、次の同等性に気づきます。

1つまたは複数の同等の分数を取得する方法は?

特定の分数に相当する分数を取得するには、2 つの基本的な方法があります。

1. 分子と分母に同じ正の数を掛けます。

例:

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 5 \right)}}{{4\left( 5 \right)}} = \frac{{15}}{{20}} \)

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 7 \right)}}{{4\left( 7 \right)}} = \frac{{21}}{{28}} \)

\(\frac{5}{8} = \frac{{5\left( 6 \right)}}{{8\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{{56}} \)

2. 分子と分母の同じ正の公約数で割ります。

\(\frac{{52}}{{56}} = \frac{{52 \div 4}}{{56 \div 4}} = \frac{{13}}{{14}}.\)

\(\frac{{80}}{{140}} = \frac{{80 \div 20}}{{140 \div 20}} = \frac{4}{7}.\)

\(\frac{{21}}{{57}} = \frac{{21 \div 3}}{{57 \div 3}} = \frac{7}{{19}}\)

分数で、分子と分母の両方が 1 以外の同じ公約数で除算される場合、分数が減じられたと言われます。

既約分数

分子と分母の最大公約数が 1 の場合、分数は既約分数と呼ばれます。

\(gcd\left( {a, b} \right) = 1,\) の場合、分数 \(\frac{a}{b}\) は既約分数と呼ばれます。

分数 \(\frac{a}{b}\) を与えて、この分数に等しい分数を取得します。 \(a\;\) と の最大公約数で分子と分子を割った既約分数 \(b.\)

次の表は、既約分数と可約分数の例を示しています。 可約である場合、既約等価分数を取得する方法を示します。

分数	最大公約数	還元不可能	既約等価分数
\(\frac{{14}}{{42}}\)	7	いいえ	\(\frac{{14}}{{42}} = \frac{{14 \div 7}}{{42 \div 7}} = \frac{2}{7}\)
\(\frac{3}{{25}}\)	1	うん	\(\frac{3}{{25}}\)
\(\frac{{21}}{{201}}\)	3	いいえ	\(\frac{{21 \div 3}}{{20\;1 \div 3}} = \frac{7}{{67}}\)
\(\frac{5}{{24}}\)	1	うん	\(\frac{5}{{24}}\)
\(\frac{{72}}{{1125}}\)	9	いいえ	\(\frac{{72}}{{1125}} = \frac{{72 \div 9}}{{1125 \div 9}} = \frac{8}{{125}}\)

同等の分数: 言葉による表現。

次の表は、数値の観点から同等の情報を表示する 2 つの異なる方法を示しています。

言葉のフレーズ	同等の語句 (数値的に)	議論
1930 年のメキシコでは、25 人中 4 人が母国語を話していました。	1930 年のメキシコでは、100 人中 16 人が母国語を話していました。	両方のデータに 4 を掛けたもの
1960 年のメキシコでは、1,000 人中 104 人が母国語を話していました。	1960 年、メキシコでは 125 人中 13 人が母国語を話していました。	両方のデータを 8 で割りました。

同等の分数: 10 進数表現

以下の表は、さまざまな 10 進数と、それらを表す同等の分数を示しています。

10 進数	分数	同等の分数	オペレーション
\(0.25\)	0.25=\(\frac{{25}}{{100}}\)	0.25=\(\frac{1}{4}\)	\(25 \div 25 = 1\) \(100 \div 25 = \)
\(1.4\)	\(1.4 = 1 + \frac{4}{{10}} = \frac{{14}}{{10}}\)	\(1.4 = \frac{7}{5}\)	\(14 \div 2 = 1\) \(10 \div 2 = 5\)
\(0.145\)	\(0.145 = \frac{{145}}{{1000}}\)	\(0.145 = \frac{{29}}{{200}}\)	\(145 \div 5 = 29\) \(1000 \div 5 = 200\)

等価分数: パーセント表示

以下の表は、さまざまな 10 進数と、それらを表す同等の分数を示しています。

10 進数	分数	同等の分数	オペレーション
20%	\(\frac{{20}}{{100}}\)	\(\frac{1}{5}\)	\(20 \div 20 = 1\) \(100 \div 20 = 5\)
150%	\(\frac{{150}}{{100}}\)	\(\frac{3}{2}\)	\(150 \div 50 = 3\) \(100 \div 50 = 2\)
55%	\(\frac{{55}}{{100}}\)	\(\frac{{11}}{{20}}\)	\(55 \div 11 = 5\) \(100 \div 5 = 20\)

等価分数: 不均一から均一へ

2 つの不均一な分数 \(\frac{a}{b}\) と \(\frac{c}{d}\) が与えられると、次の 2 つの分数を見つけることができます。 一方の分数が分数 \(\frac{a}{b}\;\) に等しく、もう一方の分数が \(\frac{c}{d}\)。

次に、前の段落で述べたことを実行するための 2 つの手順を示します。

観察しましょう：

\(\frac{a}{b} = \frac{{a\left( d \right)}}{{b\left( d \right)}}\)

\(\frac{c}{d} = {\rm{\;}}\frac{{c\left( b \right)}}{{d\left( b \right)}}\)

次の表にいくつかの例を示します。

F. 異種の	オペレーション	F. 同種の
\(\frac{4}{5}\)、\(\frac{2}{3}\)	\(\frac{{4\left( 3 \right)}}{{5\left( 3 \right)}} = \frac{{12}}{{15}}\) \(\frac{{2\left( 5 \right)}}{{3\left( 5 \right)}} = \frac{{10}}{{15}}\)	\(\frac{{12}}{{15}}\)、\(\frac{{10}}{{15}}\)
\(\frac{7}{{12}}\)、\(\frac{4}{{18}}\)	\(\frac{{7\left( {18} \right)}}{{12\left( {18} \right)}} = \frac{{126}}{{216}}\) \(\frac{{4\left( {12} \right)}}{{18\left( {12} \right)}} = \frac{{48}}{{216}}\)	\(\frac{{126}}{{216}},\) \(\frac{{48}}{{216}}\)
\(\frac{7}{{10}}\)、\(\frac{3}{{14}}\)、\(\frac{5}{4}\)	\(\frac{{7\left( {14} \right)\left( 4 \right)}}{{10\left( {14} \right) 4}} = \frac{{392}}{{ 560}}\) \(\frac{{3\left( {10} \right)\left( 4 \right)}}{{14\left( {10} \right)\left( 4 \right)}} = \frac{ {120}}{{560}}\) \(\frac{{5\left( {10} \right)\left( {14} \right)}}{{4\left( {10} \right)\left( {14} \right)}} = \frac{{700}}{{560}}\)	\(\frac{{392}}{{560}}\), \(\frac{{120}}{{560}},\) \(\frac{{700}}{{560}}\)

この方法の欠点は、プロセスで非常に多くの数が生成される可能性があることです。 多くの場合、分母の最小公倍数が計算され、2 番目の方法が最小公倍数の計算に基づいていれば、これを回避することができます。

分数の計算における最小公倍数

次に、2 つの例を通して、関係する分数の公分母となる分母の最小公倍数を使用して等次分数を取得する方法を説明します。

分数を考えてみましょう: \(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}.\)

\(12\) と \(18\) の最小公倍数は \(36\) です。 今

\(36 \div 12 = 3\)

\(36 \div 18 = 2\)

\(\frac{7}{{12}} = \frac{{7\left( 3 \right)}}{{12\left( 3 \right)}} = \frac{{21}}{{36 }}、\)

\(\frac{4}{{18}} = \frac{{4\left( 2 \right)}}{{18\left( 2 \right)}} = \frac{8}{{36}} \)

分数を考えてみましょう: \(\frac{7}{{10}}\)、\(\frac{3}{{14}}\)、\(\frac{5}{4}\)

\(10\)、\(14\)、\(3\) の最小公倍数は \(140\) です。 今

\(140 \div 10 = 14\)

\(140 \div 14 = 10\)

\(140 \div 4 = 35\)

\(\frac{7}{{10}} = \frac{{7\left( {14} \right)}}{{10\left( {14} \right)}} = \frac{{98} {{140}},\)

\(\frac{3}{{14}} = \frac{{3\left( {10} \right)}}{{14\left( {10} \right)}} = \frac{{30} {{140}}\)

\(\frac{5}{4} = \frac{{5\left( {35} \right)}}{{4\left( {35} \right)}} = \frac{{175}}{ {140}}\)

前の図から、次の事実に気付きます。

\(\frac{1}{4} = \frac{3}{{12}}\)

他の例を次に示します。

F. 異種の	分 共通点	オペレーション	F. 同種の
\(\frac{1}{{14}}\) \(\frac{1}{{18}}\)	126	\(126 \div 14 = 9\) \(\frac{1}{{14}} = \frac{{1\left( 9 \right)}}{{14\left( 9 \right)}} = \frac{9}{{126}} \) \(126 \div 18 = 7\) \(\frac{1}{{18}} = \frac{{1\left( 7 \right)}}{{18\left( 7 \right)}} = \frac{7}{{126}} \)	\(\frac{9}{{126}}\)、\(\frac{7}{{126}}\)
\(\frac{5}{6}\) \(\frac{2}{{15}},\) \(\frac{4}{9}\)	90	\(90 \div 6 = 15\) \(\frac{5}{6} = \frac{{5\left( {15} \right)}}{{6\left( {15} \right)}} = \frac{{75}}{ {90}}\) \(90 \div 15 = 6\) \(\frac{2}{{15}} = \frac{{2\left( {15} \right)}}{{15\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{ {90}}\) \(90 \div 9 = 10\) \(\frac{4}{9} = \frac{{4\left( {10} \right)}}{{9\left( {10} \right)}} = \frac{{40}}{ {90}}\)	\(\frac{{75}}{{90}}\)、\(\frac{{30}}{{90}}\)、\(\frac{{40}}{{90}}\)