指数関数の定義

指数関数は、さまざまな自然現象と社会的および経済的状況をモデル化するため、さまざまなコンテキストで指数関数を特定することが重要です。

数 \({a^1} = a,{a^2} = aa,\;{a^3} = aaa\) が定義されていることを思い出してください。一般に、任意の \(n\ ) 自然数:

\(a \ne 0\) の場合、\({a^0} = 1,\;\) 実際、\(a \ne 0,\) の場合、\ (\frac{a}{a} = 1;\) 指数の法則を適用すると、次のようになります。

\(\frac{a}{a} = 1\)

\({a^{1 – 1}} = 1\)

\({a^0} = 1.\)

\(a = 0\) の場合、前の推論は意味をなさないため、式 \({0^0},\) には数学的解釈がありません。

\(b > 0\) であり、\({b^n} = a,\) が真である場合、\(b\) は \(a\) の n 乗根であると言われ、通常は\ (b = {a^{\frac{1}{n}}},\;\) または \(b = \sqrt[n]{a}\) として示されます。

\(a < 0\) の場合、\({b^2} \ge 0;\;\ ) であるため、\({b^2} = a;\) となる実数 \(b\) はありません。フォームの表現 \({a^{\frac{m}{n}}}\) は、\(a < 0.\) については考慮されません。次の代数式では: \({a^n}\) \(a \ ) は base と呼ばれ、\(n\) は base と呼ばれます。 指数と呼ばれ、\({a^n}\) は \(a\) の累乗\(\;n\) と呼ばれるか、\(a\) の累乗 \(n,\;\)se とも呼ばれます以下の法律を遵守する 指数の:

\({a^n}{a^m} = {a^{n + m}}\)	\(\frac{{{a^n}}}{{{a^m}}} = {a^{n – m}}\)	\({\left( {{a^n}} \right)^m} = {a^{nm}} = {\left( {{a^m}} \right)^n}\)
\(\frac{1}{{{a^n}}} = {a^{ – n}}\)	\({a^n} = \frac{1}{{{a^{ – n}}}}\)	\({\left( {\frac{1}{a}} \right)^n} = \frac{1}{{{a^n}}}\)
\({\left( {ab} \right)^n} = {a^n}{b^n}\)	\({\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^m} = {\left( {{a^m}} \right)^{\frac{1} {n}}} = {a^{\frac{m}{n}}}\)	各 \(a \ne 0\) に対して \({a^0} = 1\)

指数関数の形式は次のとおりです。

\(f\left( x \right) = {a^x}\)

ここで、\(a > 0\) は定数で、独立変数は指数 \(x\) です。

指数関数の分析を行うために、3つのケースを検討します

ケース 1 基数 \(a = 1.\) の場合

この場合、 \(a = 1,\) 関数 \(f\left( x \right) = {a^x}\) は定数関数です。

ケース 2 基底 \(a > 1\) の場合

この場合、次のようになります。

\(x\) の値
\(x < 0\)	\(0 < {a^x} < 1\)
\(x = 0\)	\({a^0} = 1\)
\(0 < x < 1\)	\(1 < {a^x} < a\)
\(x = 1\)	\({a^x} = 1\)
\(x > 1\)	\(a < {a^x}\)

関数 \(f\left( x \right) = {a^x}\) は厳密に増加する関数です。つまり、\({x_2} > {x_1}\) の場合:

\({a^{{x_2}}} > a_{}^{{x_2}}\)

\(f\left( {{x_2}} \right) > f\left( {{x_1}} \right)\)

ある現象が \(a > 1\) の指数関数でモデル化されるとき、それは指数関数的成長を示すと言います。

ケース 2 基底 \(a < 1\) の場合。

\(x\) の値
\(x < 0\)	\({a^x} > 1\)
\(x = 0\)	\({a^0} = 1\)
\(0 < x < 1\)	\(0 < {a^x} < 1\)
\(x = 0\)	\({a^x} = 1\)
\(x > 1\)	\(0 < {a^x} < a < 1\)

\(a < 1\) の場合、関数 \(f\left( x \right) = {a^x}\) は厳密に減少する関数です。つまり、\({x_2} > {x_1}\ ) 、 それで：

\({a^{{x_2}}} < a_{}^{{x_1}}\) \(f\left( {{x_2}} \right) < f\left( {{x_1}} \right) \) 現象が \(a < 1\) の指数関数を持つモデルは、減衰または減少を示すと言います。 指数関数的。 次のグラフは、\({a^x}\) の動作を 3 つの異なるケースで示しています。

指数関数の応用

例 1 人口増加

\({P_0}\) で初期人口を表し、\(r \ge 0\) で人口増加率を示します。人口率が時間とともに一定のままである場合です。 関数

\(P\left( t \right) = {P_0}{\left( {1 + r} \right)^t};\)

時間 t における人口を求めます。

実施例1

2021 年のメキシコの人口は 1 億 2,600 万人で、年間 1.1% の成長を示しました。 この成長が維持された場合、2031 年にメキシコの人口はどのくらいになるでしょうか。 2021?

解決

この場合、\({P_o} = 126\) および \(r = \frac{{1.1}}{{100}} = 0.011\) であるため、以下を使用する必要があります。

\(P\left( t \right) = {P_0}{\left( {1 + .0011} \right)^t}\)

次の表に結果を示します。

年	経過時間 (\(t\))	計算	人口（百万人）
2021	0	\(P\左( t \右) = 126{\左( {1.0011} \右)^0}\)	126
2031	10	\(P\左( t \右) = 126{\左( {1.0011} \右)^{10}}\)	140.57
2051	30	\(P\左( t \右) = 126{\左( {1.0011} \右)^{30}}\)	174.95

例 2 複利の計算

銀行は年利を提示しますが、実際の利率は投資する月数によって異なります。 たとえば、年利 r% を提示された場合、実際の月利は \(\frac{r}{{12}}\)% で、隔月利率は \(\frac{r}{6}\)%、四半期ごとは \(\frac{r}{4}\)%、四半期ごとは \(\frac{r}{3}\)%、学期は \(\frac{r}{2}\)%.

実施例2

銀行に 10,000 ドルを投資し、次の年利率を提示されたとします。

定期預金	年率	年間の期間	実際のレート	\(k\) か月の累積金額
2ヶ月	0.55%	6	\(\frac{{0.55\%}}{6} = 0.091667{\rm{\%}}\)	\(10000{\left( {1 + 0.00091667} \right)^{\frac{k}{2}}}\)
3ヶ月	1.87%	4	\(\frac{{1.87\%}}{4} = 0.4675{\rm{\%}}\)	\(10000{\left( {1 + 0.00461667} \right)^{\frac{k}{3}}}\)
六ヶ月	1.56%	2	\(\frac{{1.56\%}}{4} = 0.78{\rm{\%}}\)	\(10000{\left( {1 + 0.0078} \right)^{\frac{k}{6}}}\)

数 \(e\)、オイラーの定数および継続的な関心。

ここで、初期資本 \(C\) があり、それを固定金利 \(r > 0\) で投資し、1 年を \(n\) 期間に分割するとします。 1 年間に蓄積された資本は次のようになります。

\(A = \;C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^n}\)

\(n\) が成長したときに累積資本がどのように振る舞うかを分析するために、累積資本を 1 年で次のように書き直します。

\(A = \;C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^n}\)\(A = \;C{\left( {1 + \frac{1} {{\frac{n}{r}}}} \right)^{\left( {\frac{n}{r}} \right) r}},\)

\(m = \frac{n}{r}\) を実行すると、次のようになります。

\(A = C{\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)^{mr}}\)\(A = C{\left( {{{\left( {1 + \ frac{1}{m}} \right)}^m}} \right)^r}.\)

\(n\) が大きくなるにつれて、\(m = \frac{n}{r}.\) も大きくなります。

\(m = \frac{n}{r},\) が大きくなるにつれて、式 \({\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)^m}\) は、オイラー定数または数:

\(e \approx 2.718281828 \ldots .\)

オイラー定数には、有限または周期的な 10 進表現がありません。

次の近似値があります

\(C{\left( {{{\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)}^m}} \right)^r} \approx C{e^r},\) \(C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^{ns}} \approx C{e^{rs}}.\)

式に:

\(A = \;C{e^r},\)

これは次の 2 つの方法で解釈できます。

1.- 資本 \(C,\;\) を年率 \(r.\) で投資した場合に、1 年間に蓄積できる最大額として

2.-資本が年率\(r.\)で継続的に再投資された場合に、1年で蓄積される金額として

\(T\left( s \right) = \;C{e^{rs}},\)

は、\(s\) 年が継続的な利息で投資された場合の累積額です。

具体例3

ここで、具体例 2 の一部に戻ります。ここでは、年率が 0.55% の隔月払いです。 初期資本が10,000で、半年、2年、28か月で再投資した場合に蓄積される資本を計算します。

\(10{\left( {1.00091667} \right)^{\frac{6}{2}}} = 10.{\rm{\;}}027525\)

下の表が示すように、\(m = \frac{n}{r},\) の値は「小さい」ではなく、上の表は \({\left( {1 + \frac{1}{ m}} \right)^m}\) はオイラー定数に近い。

時間	期間数 (\(k\))	2 か月ごとに再投資される累積資本 (千単位)
半年	3	\(10{\left( {1.00091667} \right)^3} = 10.{\rm{\;}}027525\)
2年	12	\(10{\left( {1.00091667} \right)^{12}} = 10110.{\rm{\;}}557\)
38ヶ月	19	\(10{\left( {1.00091667} \right)^{19}} = 10.\;175612\)

時間	年 (\(s\))	累積資本 (千単位)、継続的な利息で投資
半年	\(s = \frac{1}{2}\)	\(10{e^{0.0055\left( {\frac{1}{2}} \right)}} = 10.{\rm{\;}}027538\)
2年	\(s = 2\)	\(10{\left( {1.00091667} \right)^{0.0055\left( 2 \right)}} = 10110.{\rm{\;}}607\)
38ヶ月	\(s = \frac{{19}}{6}\)	\(10{\left( {1.00091667} \right)^{\frac{{19}}{6}}} = 10.\;175692\)

例 2 減価償却

実施例1

コンピューターは毎年 30% 減価償却されます。コンピューターの価格が 20,000 ペソの場合、\(t = 1,12,\;14,\;38\) か月間のコンピューターの価格を決定します。

この場合、次のものがあります。

\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – 0.30} \right)^t}\)

\(t\) を年とすると、\(t\) を次の表に代入すると、

月単位の時間	年単位の時間	計算	数値
1	\(\frac{1}{{12}}\)	\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{1}{{12}}}}\)	19414.289
12	1	\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^1}\)	14000
14	\(\frac{7}{6}\)	\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{7}{6}}}\)	13192.012
38	\(\frac{{19}}{6}\)	\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{7}{6}}}\)	6464.0859