算術進行の定義

数列 \({a_1},\;{a_2},{a_3}, \ldots \) は、連続する 2 つの数の差が同じ数 \(d\) に等しい場合、等差数列と呼ばれます。それはええです：

\({a_{n + 1}} - {a_n} = d\)

数 \(d\) は、等差数列の差と呼ばれます。

要素 \({a_1}\) は、算術シーケンスの最初の要素と呼ばれます。

等差数列の要素は、最初の要素とその差で表すことができます。つまり、次のようになります。

\({a_1},{a_1} + d,{a_1} + 2d,{a_1} + 3d\)

これらは、算術数列の最初の 4 つの要素です。 一般に、\(k – \) 番目の要素は次のように表されます。

\({a_k} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d\)

上記の式から、次のようになります。

\({a_k} – {a_l} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d – \left( {{a_1} + \left( {l – 1} \right) d} \right )\)

\({a_k} – {a_l} = \left( {k – l} \right) d\)

上記の式は次と同等です。

\({a_k} = {a_l} + \left( {k – l} \right) d\)

等差数列に適用される例

1. 等差数列の差を見つけます: \(3,8,13,18, \ldots \) そして要素 \({a_{20}},\;{a_{99}}\) を見つけます

解決

\(5 = 8 – 3 = 13 – 8 = 18 – 3\) なので、違いは次のようになります。

\(d = 5\)

\({a_{20}} = {a_1} + \left( {20 – 1} \right) d = 3 + 19\left(5 \right) = 98\)

\({a_{99}} = {a_1} + \left( {99 – 1} \right) d = 3 + 98\left(5 \right) = 493\)

2. \({a_{17}} = 20\;\) と \({a_{29}} = – 130\) の等差数列で、等差数列の差を求め、最初の 5 つの要素を書きます。

解決

着ている

\({a_k} – {a_l} = \left( {k – l} \right) d\)

\({a_{29}} – {a_{17}} = \left( {29 – 17} \right) d\)

\( – 130 – 20 = \左( {12} \右) d\)

\( – 150 = \left( {12} \right) d\)

\(12d = – 150\)

\(d = – \frac{{150}}{{12}} = – \frac{{25}}{2}\)

最初の 5 つの要素を見つける。 \({a_1}\) を計算します:

\({a_k} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d\)

\({a_{17}} = {a_1} + \left( {17 – 1} \right)\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} + \left( {16} \right)\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} – 200\)

\({a_1} = 20 + 200 = 220\)

最初の 5 つの要素は次のとおりです。

\(220,220 + \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 2\left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 3 \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 4\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(220,\frac{{415}}{2},195,\frac{{365}}{2},170\)

等角数と等差数列の最初の \(n\) 要素の和

三角数

三角数 \({T_n}\;\) は、次の算術数列から形成されます: \(1,2,3,4 \ldots \); 次の方法で。

\({T_1} = 1\)

\({T_2} = 1 + 2 = 3\)

\({T_3} = 1 + 2 + 3 = 6\)

\({T_4} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\)

平方数

平方数 \({C_n}\;\) は、次の等差数列から形成されます: \(1,3,5,7 \ldots \); 次のように

\({C_1} = 1\)

\({C_2} = 1 + 3 = 4\)

\({C_3} = 1 + 3 + 5 = 9\)

\(C{\;_4} = 1 + 3 + 5 + 7 = 16\)

五角数

平方数 \({P_n}\;\) は、次の等差数列から形成されます: \(1,3,5,7 \ldots \); 次のように

\({P_1} = 1\)

\({P_2} = 1 + 4 = 5\)

\({P_3} = 1 + 4 + 7 = 12\)

\({P_4} = 1 + 4 + 7 + 10 = 22\)

次に、等差数列の最初の \(n\) 要素の和を求める式を示します。

等差数列 \({a_1},{a_2} = {a_1} + d,{a_3} + 2d, \ldots .,{a_n} = {a_1} + \left( {n – 1} \right) d\)。 合計 \({S_n} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_n};\) を計算するには、次の式を使用できます。

\({S_n} = \frac{{n\left( {{a_1} + {a_n}} \right)}}{2}\)

これはと同等です

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

前の式を適用すると、三角形、正方形、および五角形の数を計算する式が得られます。 次の表に示します。

多角形数	\({a_1}\)	\(d\)	方式
三角 \(n – \)th	1	1	\({T_n} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)
二乗 \(n – \)th	1	2	\({C_n} = {n^2}\)
五角形 \(n – \)th	1	3	\({P_n} = \frac{{n\left( {3n – 1} \right)}}{2}\)

多角形の例

3. 例 2 から \({S_{33}}\) を計算します。

解決

この場合 \({a_1} = 200\) と \(d = – \frac{{25}}{2}\)

申請中

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = \frac{{34\left( {2\left( {200} \right) + \left( {33 – 1} \right))\left( { – \frac{{25} }}{2}} \right)} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = 17\左( {400 + 16\左( { – 25} \右)} \右) = 17\左( 0 \右) = 0\)

算術平均

2 つの数値 \(a\;\) と \(b,\) が与えられた場合、数値 \({a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}}\) は \(k\) と呼ばれ、算術数 \(a\;\) および \(b\); シーケンス \(a,{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},b\) が等差数列の場合。

\(k\) 数 \(a\;\) と \(b\) の算術平均の値を知るには、算術数列の違いを知るだけで十分です。考慮：

\(a = {a_1},{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},{a_{k + 2}} = b,\)

上記から、次の関係を確立します。

\(b = a + \left( {k + 2 – 1} \right) d\)

\(d\) を解くと、次のようになります。

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

例

4. -5 と 25 の間の 7 つの算術平均を見つけます。

解決

申請時

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

\(b = 25,\;a = – 5\) および \(k = 7\;\):

\(d = \frac{{25 – \left( { – 5} \right)}}{{7 + 1}} = \frac{{30}}{8} = \frac{{15}}{4 }\)

7 つの算術平均は次のとおりです。

\( – \frac{5}{4},\;\frac{5}{2},\;\frac{{25}}{4},10,\frac{{55}}{4},\ frac{{35}}{2},\frac{{85}}{4}\)

9. ある人は、冷蔵庫を購入するための頭金として 2,000 ドルを寄付し、残りをクレジット カードで 18 か月間無利子で支払いました。 彼は借金を返済するために月に 550 ドルを支払わなければなりません。

に。 冷蔵庫の価格は？

b. 残りを無利息で 12 か月分支払った場合、毎月の支払額はいくらになりますか?

解決

に。 この場合：

\({a_{19}} = 2000 + 18\左({550} \右)\)

\({a_{19}} = 2000 + 9900 = 11900\)

b. 2000 と 11900 の間で 11 の算術平均を見つける必要があります。

\(d = \frac{{11900 – 2000}}{{12}} = 825\)

5. シーケンス \(7,\;22,\;45,\;76,115,162\) が与えられた場合、次の 3 つの要素と要素 \(n\) の一般式を見つけます。

解決

問題の数列は、\(22 – 7 \ne 45 – 22\) であるため、等差数列ではありませんが、 次の表は、2 つの連続する要素の違いを含むシーケンスを示しています。 結果：

シーケンス \({b_n}\) の要素	シーケンス \(\;{c_n} = {b_n} – {b_{n – 1}}\)	\(d = {c_{n + 1}} – {c_n}\)
\({b_1} = 7\)	\({c_1} = {b_1}\)
\({b_2} = 22\)	\({c_2} = {b_2} – {b_1} = 15\)	\({c_2} – {c_1} = 8\)
\({b_3} = 45\)	\({c_3} = {b_3} – {b_2} = \)23	\({c_3} – {c_2} = 8\)
\({b_4} = 76\)	\({c_4} = {b_4} – {b_3} = 31\)	\({c_4} – {c_3} = 8\)
\({b_5} = 115\)	\({c_5} = {b_5} – {b_4} = 39\)	\({c_5} – {c_4} = 8\)
\({b_6} = 162\)	\({c_6} = {b_6} – {b_5} = 47\)	\({c_6} – {c_5} = 8\)

上の表の 3 列目は、シーケンス \(15,\;23,31,39,\;47, \ldots .\); を示しています。 差が \(d = 8\) の算術数列です。

次に、数列 \({b_n}\) の要素を数列 \({c_n},\) で書きます。

\({b_1} = {c_1}\)

\({b_2} = {c_1} + {c_2}\)

\({b_3} = {b_2} + {c_3} = {c_1} + {c_2} + {c_3}\)

\({b_4} = {b_3} + {c_4} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + {c_4}\)

一般に、次のものがあります。

\({b_n} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + \ldots + {c_n}\;\)

申請時

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{c_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

\({c_1} = 7\) と \(d = 8,\) を使用すると、次のようになります。

\({b_n} = \frac{{n\left( {14 + \left( {n – 1} \right) 8} \right)}}{2}\)

\({b_n} = n\left( {7 + 4\left( {n – 1} \right)} \right)\)

\({b_n} = n\left( {4n + 3} \right)\)

前の式を適用すると、\({b_7} = 217,\;{b_8} = 280,\;{b_9} = 351\)