根号の合理化の定義 (数学)

根号の有理化は、分母に根号または根を含む商がある場合に実行される数学的プロセスです。 このようにして、根号と他のタイプの数学的オブジェクトが関与する場合の数学的演算を容易にすることができます。

部首付き商の種類

合理化できる根号を持つ商の種類について言及することが重要です。 ただし、合理化プロセスに本格的に入る前に、いくつかの重要な概念を覚えておく必要があります。 まず、式 \(\sqrt[m]{n}\) があるとします。 これは数値 \(n\) の根 \(m\) です。つまり、上記の演算の結果は、\(m\) 乗すると数値 \(n\) が得られるような数値になります。その結果）。 べき乗と根は、\(\sqrt[m]{{{n^m}}} = n\) のように逆演算されます。
一方、2 つの等しい根の積は積の根に等しいこと、つまり、 \(\sqrt[m]{n}\sqrt[m]{p} = \sqrt[m ]{{np}}\)。 これら 2 つの特性は、合理化する際の最良の味方になります。

私たちが見つけることができる根号を伴う商の最も一般的で単純なタイプは次のとおりです。

\(\frac{a}{{b\sqrt c }}\)

\(a\)、\(b\)、\(c\) には任意の実数を指定できます。 この場合の有理化プロセスは、商の式 \(\sqrt {{c^2}} = c\) を取得して根号を取り除く方法を見つけることから構成されます。 この場合、分子と分母の両方に \(\sqrt c \) を掛けるだけで十分です。

\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{b\sqrt c }}\frac{{\sqrt c }}{{\sqrt c }} = \frac{{ a\sqrt c }}{{b\sqrt c \sqrt c }}\)

上で述べたことを思い出すと、 \(\sqrt c \sqrt c = \sqrt {{c^2}} = c\) であることがわかります。 したがって、最終的に次のことが得られます。
\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{bc}}\sqrt c \)

このようにして、前の式を合理化しました。 この式は、次のような一般的な式の特定のケースにすぎません。

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}}\)

ここで、 \(a\)、 \(b\)、 \(c\) は任意の実数、 \(n\)、 \(m\) は正の累乗です。 この式の合理化は、前の式と同じ原理に基づいています。つまり、分母で式 \(\sqrt[n]{{{c^n}}} = c\) を取得します。 これは、分子と分母の両方に \(\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}​​}\) を掛けることで実現できます。

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}} }\frac{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}​​}}} = \frac{{a\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}​​}}\)

次のように分母の根号の積を展開できます。 \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}​​} = \sqrt[n]{{{c^m}{c^ {n – m}}}​​} = \sqrt[n]{{{c^{m + \left( {n – m} \right)}}}} = \sqrt[n]{{{c^n}}} = c\)。 したがって、有理商は次のようになります。

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{bc}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\)

有理化できる根号を伴う商の別のタイプは、分母に平方根を持つ二項式を持つ商です。

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\)

ここで、\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)、\(e\;\) は任意の実数です。 記号 \( ± \) は、符号が正または負であることを示します。 分母二項式は両方の根を持つことも、1 つだけを持つこともできますが、より一般的な結果を得るためにこのケースを使用します。 この場合の合理化プロセスを実行するための中心的な考え方は、前のケースと同じです。 この場合、分子と分母の両方に、次の式で見つかった二項式の共役を乗算します。 分母。 二項式の共役は、同じ項を持つ二項式ですが、中心の記号が元の二項式と反対になっています。 たとえば、二項 \(ux + vy\) の共役は \(ux – vy\) です。 そうは言っても、次のようになります。

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\frac{{b\sqrt c \ mp d\sqrt e }}{{b\sqrt c \mp d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{\left( {b\sqrt c \pm d\sqrt e } \right)\left( {b \sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}\)

記号 \( \mp \) は、その符号が正でも負でもよいことを示しますが、共役する二項式の分母の記号と反対でなければなりません。 分母の二項乗算を展開すると、次のことが得られます。

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{{ b^2}\sqrt {{c^2}} + bd\sqrt {ce} – bd\sqrt {ce} – {d^2}\sqrt {{e^2}} }}\)

最終的に次のことがわかります。

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{{b^2}c – {d^2}e}}\left( {b\ sqrt c \mp d\sqrt e } \right)\)

これで商を根号で合理化しました。 これらの根号を伴う商は、一般に合理化できる商です。 次に、根号の合理化の例をいくつか見ていきます。

例

上で述べたタイプの根号を使用した商による有理化の例をいくつか見てみましょう。 まず、次の商があると仮定します。

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }}\)

この場合、分子と分母に \(\sqrt 2 \) を掛ければ十分です。

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }} = \frac{3}{{7\sqrt 2 }}\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{3 }{{7\sqrt 2 \sqrt 2 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{7\sqrt 4 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{14}}\sqrt 2 \)

ここで、根号との商が次のようになったとします。

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\)

この場合、3 乗の 6 乗根が得られます。 前のセクションで、\(\sqrt[n]{{{c^m}}}\) という形式の部首がある場合について説明しました。 分母の場合、分子と分母に \(\sqrt[n]{{{c^{n) を掛けることで商を有理化できます。 –m}}}}\)。 これをここで示したケースと比較すると、 \(n = 6\)、 \(c = 4\)、 \(m = 3\) であることがわかります。 したがって、分子と分母に次の値を乗算することで、前の商を合理化できます。 \(\sqrt[6]{{{4^3}}}\):

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}} }\frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{{\sqrt[6]{{{4^3}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}\sqrt[6]{{{4^3}}}}\sqrt[6]{{{4^3} }} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^6}}}}}\sqrt[6]{{{4^3}}} = \frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{6}\)

最後に、次の関数があるとします。

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\)

前のセクションで示したように、根号を使用してこのタイプの商を合理化するには、分子と分母に分母の共役を乗算する必要があります。 この場合、分母の共役は \(x – \sqrt x \) になります。 したがって、式は次のようになります。

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\frac{{x – \sqrt x }}{{x – \sqrt x }} = \frac{1}{{\left( {x + \sqrt x } \right)\left( {x – \sqrt x } \right)}}\left( {x – \sqrt x } \right)\)

分母の共役二項式の乗算を発展させると、最終的に次のことが得られます。

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }} = \frac{{x – \sqrt x }}{{{x^2} – x}}\)

参考文献

アギラール・アルトゥーロ、ブラボ・ファビアン、ガレゴス・ヘルマン、セロン・ミゲル、レイエス・リカルド。 (2009). 算術。 メキシコ: ピアソン教育。