向心力の定義

向心力は、曲線の経路に沿って移動する物体に作用する力です。 この力の方向は常に曲線の中心に向かうため、オブジェクトがその経路上に留まり、直線での移動を続けることが妨げられます。

曲線運動と向心力

円形のパスに沿って移動するオブジェクトがあるとします。 この物体の曲線的な動きを記述するには、角度変数と線形変数が使用されます。 角度変数は、オブジェクトがそのパスに沿って「スイープ」する角度の観点からオブジェクトの動きを記述する変数です。 一方、線形変数は、 回転点に対する位置と接線方向の速度 曲線。

軌道上を移動する物体が経験する向心加速度 \({a_c}\) 接線速度 \(v\) で回転点からの距離 \(r\) の円周は次のようになります。 によって与えられた：

\({a_c} = \frac{{{v^2}}}{r}\)

向心加速度は、曲線の動きを記述するために使用される線形変数であり、曲線の経路の中心に向けられます。 一方、物体の角速度 ω、つまり単位時間あたりの掃引角の変化率 (ラジアン単位) は、次の式で与えられます。

\(\オメガ = \frac{v}{r}\)

あるいは、 \(v\) を次のように解くこともできます。

\(v = \オメガ r\)

これは線速度と角速度の間に存在する関係です。 これを向心加速度の式に代入すると、次のようになります。

\({a_c} = {\オメガ ^2}r\)

ニュートンの第 2 法則は、物体の加速度はそれに加えられる力に正比例し、質量に反比例することを示しています。 または、最もよく知られた形式では次のようになります。

\(F = マ\)

\(F\) は力、\(m\) は物体の質量、\(a\) は加速度です。 曲線運動の場合、向心加速度があれば力も発生するはずです。 質量体 \(m\) に作用し、向心加速度 \({a_c}\) を引き起こす向心 \({F_c}\) は、次のようになります。 言う：

\({F_c} = m{a_c}\)

求心加速度を前の式に置き換えると、次のことが得られます。

\({F_c} = \frac{{m{v^2}}}{r} = m{\omega ^2}r\)

向心力は曲線パスの中心に向けられ、次のような役割を果たします。 オブジェクトを動かし続けるために、オブジェクトの移動方向を常に変更する 曲がった。

求心力としての重力とケプラーの第三法則

ケプラーの惑星運動の第 3 法則は、公転周期の 2 乗、つまり時間 惑星が太陽の周りを一周するのにかかる時間は、太陽の長半径の３乗に比例します。 軌道。 あれは：

\({T^2} = C{r^3}\)

ここで、 \(T\) は公転周期 \(C\) であり、定数であり、 \(r\) は長半径、つまり軌道全体にわたる惑星と太陽の間の最大距離です。

簡単にするために、円軌道に沿って移動する質量 \(m\) の惑星を考えてみましょう。 ただし、この分析は楕円軌道の場合にも拡張でき、同じ結果が得られます。 結果。 惑星をその軌道上に維持する力は重力であり、次のようになります。

\({F_g} = \frac{{G{M_S}m}}{{{r^2}}}\)

\({F_g}\) は重力、\({M_S}\) は太陽の質量、\(G\) は万有引力定数、\(r\) は惑星間の距離です。そして太陽。 しかし、惑星が円軌道に沿って移動すると、向心力が働きます。 \({F_c}\) を上記の軌道上に維持し、角速度に関しては \(\omega \) は次のようになります。 によって与えられた：

\({F_c} = m{\omega ^2}r\)

興味深いのは、この場合、重力は惑星をその軌道上に維持する向心力、つまり \({F_g} = {F_c}\) であるため、次のように言えます。

\(\frac{{G{M_S}m}}{{{r^2}}} = m{\omega ^2}r\)

これは次のように単純化できます。

\(G{M_S} = {\オメガ ^2}{r^3}\)

角速度は次のように公転周期に関係します。

\(\オメガ = \frac{{2\pi }}{T}\)

これを前の式に代入すると、次のことがわかります。

\(G{M_S} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}{r^3}\)

用語を並べ替えると、最終的に次のようになります。

\({T^2} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{G{M_S}}}{r^3}\)

後者はまさに以前に提示したケプラーの第三法則であり、比例定数を比較すると \(C = 4{\pi ^2}/G{M_S}\) となります。

遠心力についてはどうでしょうか？

このタイプの動きでは、向心力ではなく「遠心力」について言及することが一般的です。 何よりも、それは明らかに私たちがこれを経験したときに感じるものだからです。 ただし、遠心力は慣性による架空の力です。

一定の速度で走行している車に急ブレーキをかけたとしましょう。 このとき、私たちは体を前に押し出そうとする力を感じますが、この見かけ上の力は、動いている状態を維持しようとする私たち自身の体の慣性です。

曲線運動の場合、遠心力は、その状態を維持しようとする体の慣性です。 直線運動ですが、曲線経路を維持する向心力の影響を受けます。

参考文献

デヴィッド・ハリデー、ロバート・レズニック、ジャール・ウォーカー。 (2011). 物理学の基礎。 米国: John Wiley & Sons, Inc.