ニュートンの二項式の例

ザ・ ニュートンの二項式、 とも呼ばれている "二項定理 " は、二項式の累乗を取得できるようにする対数です。

二項式のべき乗を得るために、「二項係数「これは一連の組み合わせで構成されています。

例1、ニュートンの二項式の一般式：

（a + b）² = a² + 2 ab + b²
（a-b）² = a² –2 ab + b²
（a + b）3 a³ +3から²b + 3 ab² + b³

これらの式は、注目すべきアイデンティティの名前で知られています。ここでは、（a + b）の開発と同等のより一般的な式が作成されます。ⁿ、ここで、nは任意の自然数です。

この式はすべての要素に有効です に Y b 指輪の

A（法律の場合 + Y バツ）から

2つの要素が にY b そのようなこと に バツ b = b バツ に:

（a + b）ⁿ = aⁿ + C¹_n に^n-2 xb² + ...
+ C^p_n  に^n-p x b^p +…+ C_pⁿ¹ + bⁿ.

ザ・ C^p_n 二項係数（の組み合わせの数を表すもの）と呼ばれる自然な整数です n 取ったアイテム p に p; パスカルの三角形のおかげで簡単に計算できます）。

例2、ニュートンの二項式から：

乗算を検討します。

z. z = z² ここで、zは任意の代数式にすることができます。

今それを仮定します z = バツ + Y、その後：

z。 z =（x + y）=（x + y）しかし（x + y）

これは次のように計算できます：

x + y
x + y

ここで、乗算は左から右に実行され、結果は代数的に加算することによって得られます。

バツ² + x y
+ xy + y²

バツ² + 2 x y + y²

（x + y）² = x² + 2 x y + y²

私たちが考える場合：

z。 z。 z = z³;

（x + y）（x + y）（x + y）=（x + y）². （x + y）2。 （x + y）=（x² + 2 xy + y²）（x + y）

乗算を実行すると、次のようになります。

X2 + 2 x y + y2
+ x²y + 2 x y² +および²

バツ³ + 3 x² y + 3 x y² +および³

（x + y）² （x + y）=（x + y）³ = x³ + 3 x² y + 3 x y² +および³.

 z³. z = z⁴

z3。 z =（x3 + 3 x2 y + 3 x y2 + y3）（x + y）

そして、乗算を行うとき。

バツ³ + x² y + 3 x y² +および³

x + y_________________

バツ⁴ + 3 x³ y + 3 x² Y² + x y³

+ x³ y + 3 x2 y2 + 3xy³ +および⁴

バツ⁴ + 4x³および+ 6x² y + 4xy³ +および⁴

（x + y）⁴ = x4 + 4x³および+ 6x² Y² + 4xy³ +および⁴