არაევკლიდური გეომეტრიის განმარტება

ძირითადად, არაევკლიდური გეომეტრია არის ის, რომელიც წარმოიქმნება კითხვის შედეგად ე.წ. ევკლიდეს მე-5 პოსტულატიმაშასადამე, აუცილებელია ევკლიდეს ნაშრომის ზოგადი დახასიათება, რომელიც იყო ბერძენი მათემატიკოსი და გეომეტრი, რომლის ნამუშევარი პარადიგმატულია გეომეტრია, მის ერთ-ერთ დამფუძნებელად ჩაითვალოს. დანამდვილებით ცნობილია უსაფრთხოება რომელიც ცხოვრობდა ქალაქ ალექსანდრიაში, ანტიკურობის კულტურულ ცენტრში, დაახლოებით ჩვენს წელთაღრიცხვამდე 300 წელს. გ.

Მისი სამუშაო ელემენტები ის იწყება „პრინციპების“ სერიით, რომელიც შედგება 23 განმარტებისგან; მოჰყვება 5 პოსტულატი, რომელიც გულისხმობს ფიგურები კონკრეტულად გეომეტრიული; და 5 ზოგადი აქსიომა, საერთო სხვა მათემატიკური დისციპლინებისთვის. შემდეგ, პრინციპების შემდეგ, ევკლიდე წარმოგიდგენთ „წინადადებებს“, ორი ტიპის: პრობლემები, მოხსენიებული

შენობა ფიგურების წესი და კომპასი; და თეორემები, რომლებიც გულისხმობენ ზოგიერთი თვისებების დემონსტრირებას გეომეტრიული ფიგურები.

ევკლიდეს მეხუთე პოსტულატი

ის აცხადებს, რომ "თუ სწორი ხაზი, რომელიც ეცემა ორ სხვა სწორ ხაზს, ხდის იმავე მხარის შიდა კუთხეებს ორ სწორ ხაზზე პატარა, მაშინ, თუ ორი ხაზი გაგრძელდება განუსაზღვრელი ვადით, ისინი ხვდებიან იმ მხარეს, რომელზეც კუთხეები ორზე ნაკლებია. სწორი”. თუ კუთხეები მართია, მაშინ ასეთი წრფეები, №23 განმარტების მიხედვით, პარალელური იქნებოდა ("პარალელური ხაზები არის ხაზები, რომლებიც, თუ ისინი ერთ სიბრტყეში არიან და განუსაზღვრელი ვადით გაგრძელდებიან, არ ხვდებიან რაიმე მიმართულებით.”).

ეს პოსტულატი, უფრო რთული, ვიდრე წინა, თავისთავად არ იყო უდავო: აშკარა არ იყო, რომ გახანგრძლივება ხაზები განუსაზღვრელი ვადით, ისინი იკვეთებიან იმ მხარეს, სადაც კუთხეები ორ მართ კუთხზე ნაკლებია, რადგან ამის დამტკიცება შეუძლებელი იქნება შენობა. შემდეგ, შესაძლებლობა, რომ ხაზები ერთმანეთს განუსაზღვრელი ვადით უახლოვდებოდნენ ერთმანეთს, გადაკვეთის გარეშე, ღია დარჩა.

მეხუთე პოსტულატის დამტკიცების მცდელობები

სწორედ ამ მიზეზით იყო ანტიკურობიდან მე-19 საუკუნის შუა ხანებამდე, მეხუთე პოსტულატის დასამტკიცებლად წარუმატებელი მცდელობების სერია: მტკიცებულება ყოველთვის იყო მიღწეული; მაგრამ შემოგვაქვს სხვა დამატებითი პოსტულატი (ლოგიკურად ექვივალენტური მეხუთე), რომელიც განსხვავდება ევკლიდის პოსტულატებისგან. ანუ მეხუთე პოსტულატი ვერ დადასტურდა, მაგრამ შეიცვალა ეკვივალენტით.

ამის მაგალითია ჯონ ფლეიფერის პოსტულატი (ს. XVIII): "ამ ხაზის პარალელურად ერთი წერტილი გადის იმავე სიბრტყეში მყოფი წრფის მიღმა." (ცნობილი როგორც "პარალელური პოსტულატი”). არაევკლიდური გეომეტრიები წარმოიქმნება სწორედ ევკლიდური სისტემის მეხუთე პოსტულატის დამტკიცების წარუმატებელი მცდელობებიდან.

საჩერის აბსურდის ტესტი

1733 წელს იტალიელმა მათემატიკოსმა გიროლამო საკერიმ სცადა დაემტკიცებინა ევკლიდეს მეხუთე პოსტულატის აბსურდულობა. ამისათვის მან ააგო ოთხკუთხედი (ცნობილი როგორც "საკერის ოთხკუთხედი”, რომელშიც ერთი წყვილი კუთხე არის მართი) და განაცხადა, რომ მეხუთე პოსტულატი უდრის წინადადებას, რომ დამახასიათებელი კუთხეები ამ ოთხკუთხედის (მართი კუთხის წყვილის მოპირდაპირეები) ასევე მართი კუთხეებია. მაშინ არის სამი ჰიპოთეზა შესაძლებელია, ურთიერთგამომრიცხავი: რომ ორი დამახასიათებელი კუთხე სწორია, მწვავე ან ბლაგვი. მეხუთე პოსტულატის აბსურდით დასამტკიცებლად, საჭირო იყო დამტკიცება (მეხუთეზე გამოყენების გარეშე ვარაუდობენ), რომ ბლაგვი და მწვავე კუთხის ჰიპოთეზა გულისხმობს წინააღმდეგობას და, შესაბამისად, იყო ყალბი.

საკერიმ შეძლო დაემტკიცებინა, რომ ბლაგვი კუთხის ჰიპოთეზა წინააღმდეგობრივია, მაგრამ მახვილი კუთხის შემთხვევაში არ გამოუვიდა. პირიქით, მან გამოიტანა ევკლიდეს გეომეტრიასთან შესაბამისი და შეუთავსებელი თეორემების სერია. საბოლოოდ, მან დაასკვნა, რომ ამ თეორემების უცნაურობის გათვალისწინებით, ჰიპოთეზა მცდარი უნდა იყოს. შესაბამისად, მას მიაჩნდა, რომ მან დაამტკიცა მეხუთე პოსტულატის აბსურდი; თუმცა, ის, რაც მან გააკეთა, იყო უნებლიედ დაამტკიცა არაევკლიდური გეომეტრიის თეორემების მნიშვნელოვანი ნაკრები.

არაევკლიდური გეომეტრიების „ერთდროული“ აღმოჩენა

კარლ ფ. გაუსმა, მეცხრამეტე საუკუნეში, იყო პირველი, ვინც ეჭვობდა, რომ მეხუთე პოსტულატი ვერ დადასტურდა დანარჩენი ოთხიდან (ანუ ის იყო დამოუკიდებლად) და არაევკლიდური გეომეტრიის შესაძლებლობის წარმოდგენაში, რომელიც ემყარებოდა ოთხ ევკლიდეს პოსტულატს და უარყოფას. მეხუთე. მან არასოდეს გამოაქვეყნა თავისი აღმოჩენა: ეს ითვლება შემთხვევად ერთდროული აღმოჩენა, რადგან მას ჰყავდა სამი დამოუკიდებელი რეფერენტი (თავად გაუსი, იანოს ბოლიაი და ნიკოლაი ლობაჩევსკი).

უარყოფა მეხუთე კანონი Euclidean გულისხმობს ორ შესაძლებლობას (Playfair-ის ექვივალენტური ფორმულირების მიღება): სწორი ხაზის მიღმა წერტილის გავლით, ან არ არის პარალელური უღელტეხილი, ან ერთზე მეტი პარალელური უღელტეხილი. არაევკლიდეს გეომეტრიებს შორის ვხვდებით, მაგალითად, გეომეტრიას.წარმოსახვითილობაჩევსკის მიერ, მოგვიანებით ცნობილი როგორც ”ჰიპერბოლური"- მიხედვით, "წრფის გარე წერტილის მიცემით, ამ წერტილში გადის უსასრულო გადამკვეთი წრფეები, უსასრულო გადამკვეთი წრფეები და მხოლოდ ორი პარალელური წრფე.”, უნიკალური ევკლიდური პარალელისგან განსხვავებით; ან ბერნჰარდ რიმანის ელიფსური გეომეტრია, რომელიც ამბობს, რომ "წრფის გარეთ არსებული წერტილის გავლით ამ წრფის პარალელი არ გადის.”.

აპლიკაციები და აღმოჩენის შედეგები

ამჟამად ცნობილია, რომ ლოკალურ სივრცეში ორივე გეომეტრია იძლევა მიახლოებით შედეგებს. განსხვავებები ჩნდება, როდესაც ფიზიკური სივრცე აღწერილია ამა თუ იმ გეომეტრიით, დიდი მანძილების გათვალისწინებით. მიუხედავად იმისა, რომ ჩვენ ვაგრძელებთ ევკლიდეს გეომეტრიის გამოყენებას, რადგან ეს არის ის, რომელიც ყველაზე მარტივად აღწერს ჩვენს სივრცეს ლოკალური მასშტაბით, აღმოჩენა არაევკლიდური გეომეტრია იყო გადამწყვეტი იმდენად, რამდენადაც ეს ნიშნავდა ჭეშმარიტების გაგების რადიკალურ ტრანსფორმაციას სამეცნიერო.

მანამდე ევკლიდეს გეომეტრია ჭეშმარიტად აღწერდა სივრცეს. სხვა გეომეტრიით, სხვა პოსტულატებით მისი აღწერის შესაძლებლობის დამტკიცებისას, საჭირო იყო გადახედვა იმ კრიტერიუმებზე, რომლითაც შესაძლებელი იყო ამა თუ იმ ახსნის დაშვება, როგორიცაა "მართალია”.

ბიბლიოგრაფია

მარტინეზ ლორკა, ა. (1980) „სოკრატეს ეთიკა და მათი გავლენა ფიქრობდა Occidental”, Revista Baética-ში: Estudios de Arte, გეოგრაფია და ისტორია, 3, 317-334. მალაგას უნივერსიტეტი.

თემები არაევკლიდეს გეომეტრიაში