რა არის მაქსველის განტოლებები და როგორ განისაზღვრება ისინი?

ანხელ ზამორა რამირესი | ივლისი. 2022
დიპლომი ფიზიკაში

ამ განტოლებამდე ამბობდნენ, რომ ელექტრული და მაგნიტური ძალები იყო „ძალები მანძილზე“, არ იყო ცნობილი ფიზიკური საშუალება, რომლითაც მოხდებოდა ამ ტიპის ურთიერთქმედება. მრავალწლიანი კვლევის შემდეგ ელექტროობა ი მაგნეტიზმიმაიკლ ფარადეიმ ინტუიციურად ჩათვალა, რომ მუხტებსა და ელექტრულ დენებს შორის სივრცეში უნდა არსებობდეს რაღაც ფიზიკური, რაც მათ საშუალებას მისცემს ურთიერთქმედონ ერთმანეთთან და გამოავლინონ ყველა ცნობილი ელექტრული და მაგნიტური ფენომენები მან თავდაპირველად მოიხსენია, როგორც "ძალის ხაზები", რამაც გამოიწვია იდეა ელექტრომაგნიტური ველის არსებობის შესახებ.

ფარადეის იდეის საფუძველზე ჯეიმს კლერკ მაქსველი ავითარებს ველის თეორიას, რომელიც წარმოდგენილია ოთხი ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლებით. მაქსველმა ეს მოიხსენია, როგორც "ელექტრომაგნიტური თეორია" და იყო პირველი, ვინც ამ ტიპის მათემატიკური ენა ჩართო ფიზიკურ თეორიაში. მაქსველის განტოლებები მათი დიფერენციალური ფორმით ვაკუუმისთვის (ანუ დიელექტრიკული და/ან პოლარიზებადი მასალების არარსებობის შემთხვევაში) შემდეგია:

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)
\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\ ნაწილობრივი \vec{E}}{\ ნაწილობრივი t}\)
მაქსველის განტოლებები ვაკუუმისთვის მისი დიფერენციალური ფორმით

სადაც \(\vec{E}~\) არის ელექტრული ველი, \(\vec{B}~\) არის მაგნიტური ველი, \(\rho ~\) არის სიმკვრივე ელექტრული მუხტი, \(\vec{J}~~\) არის ვექტორი, რომელიც დაკავშირებულია a-სთან ელექტრო დენი, \({{\epsilon }_{0}}~\) არის ვაკუუმის ელექტრული გამტარობა და \({{\mu }_{0}}~~\) არის ვაკუუმის მაგნიტური გამტარიანობა. თითოეული ეს განტოლება შეესაბამება a კანონი ელექტრომაგნიტიზმისა და აქვს მნიშვნელობა. ქვემოთ მოკლედ ავხსნი თითოეულ მათგანს.

გაუსის კანონი

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
გაუსის კანონი ელექტრული ველისთვის

რასაც ეს პირველი განტოლება გვეუბნება, არის ის, რომ ელექტრული მუხტები ელექტრული ველის წყაროა, ეს ელექტრული ველი პირდაპირ „განსხვავდება“ მუხტებისგან. გარდა ამისა, ელექტრული ველის მიმართულება ნაკარნახევია მისი წარმომქმნელი ელექტრული მუხტის ნიშნით და რამდენად ახლოს არის ველის ხაზები, მიუთითებს თავად ველის სიდიდეს. ქვემოთ მოყვანილი სურათი გარკვეულწილად აჯამებს იმას, რაც ახლახან აღინიშნა.

ილუსტრაცია 1. Studiowork-დან.- ორი წერტილის მუხტით წარმოქმნილი ელექტრული ველების დიაგრამა, ერთი დადებითი და ერთი უარყოფითი.

ეს კანონი თავის სახელს ეკუთვნის მათემატიკოს იოჰან კარლ ფრიდრიხ გაუსს, რომელმაც იგი ჩამოაყალიბა თავისი დივერგენციის თეორემაზე დაყრდნობით.

გაუსის კანონი მაგნიტური ველისთვის

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

გაუსის კანონი მაგნიტური ველისთვის

ამ კანონს კონკრეტული სახელი არ აქვს, მაგრამ მას ასე უწოდებენ წინა განტოლებასთან მსგავსების გამო. ამ გამოთქმის მნიშვნელობა არის ის, რომ არ არსებობს "მაგნიტური მუხტი" ანალოგი "ელექტრული მუხტი", ანუ არ არსებობს მაგნიტური მონოპოლები, რომლებიც მაგნიტური ველის წყაროა. ეს არის მიზეზი იმისა, რომ თუ მაგნიტს გავანახევრებთ, კვლავ გვექნება ორი მსგავსი მაგნიტი, როგორც ჩრდილოეთის, ასევე სამხრეთის პოლუსებით.

ფარადეის კანონი

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
ფარადეის ინდუქციის კანონი

ეს არის ინდუქციის ცნობილი კანონი, რომელიც ჩამოაყალიბა ფარადეიმ, როდესაც 1831 წელს მან აღმოაჩინა, რომ ცვალებადი მაგნიტური ველები ელექტრული დენების გამოწვევას შეეძლო. რას ნიშნავს ეს განტოლება არის ის, რომ მაგნიტურ ველს, რომელიც დროთა განმავლობაში იცვლება, შეუძლია გამოიწვიოს მის ირგვლივ ელექტრული ველი, რამაც თავის მხრივ შეიძლება გამოიწვიოს ელექტრული მუხტების მოძრაობა და შექმნას ა ნაკადი. მიუხედავად იმისა, რომ თავიდან ეს შეიძლება ძალიან აბსტრაქტულად ჟღერდეს, ფარადეის კანონი დგას ძრავების, ელექტრო გიტარის და ინდუქციური ღუმელის მუშაობის უკან.

ამპერ-მაქსველის კანონი

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\ ნაწილობრივი \vec{E}}{\ ნაწილობრივი t}\)

პირველი, რასაც ეს განტოლება გვეუბნება არის ის, რომ ელექტრული დენები წარმოქმნიან მაგნიტურ ველებს დენის მიმართულების გარშემო და წარმოქმნილი მაგნიტური ველის სიდიდე დამოკიდებულია ამის სიდიდეზე, ეს იყო ის, რაც ოერსტედმა დააფიქსირა და მოგვიანებით ამპერმა შეძლო ჩამოაყალიბეთ. თუმცა, ამ განტოლების უკან არის რაღაც კურიოზული და ეს არის მეორე წევრი მხარე კანონი განტოლება შემოიღო მაქსველმა, რადგან ეს გამოთქმა თავდაპირველად არათანმიმდევრული იყო დანარჩენებთან, კერძოდ, გამოიწვია ელექტრული მუხტის შენარჩუნების კანონის დარღვევა. ამის თავიდან ასაცილებლად მაქსველმა უბრალოდ შემოიტანა ეს მეორე ტერმინი, რათა მისი მთელი თეორია ყოფილიყო თანმიმდევრული, ეს ტერმინი მიიღო სახელწოდება "გადაადგილების დენი" და იმ დროს არ არსებობდა ექსპერიმენტული მტკიცებულება მის დასადასტურებლად. იქნება სარეზერვო

ილუსტრაცია 2. De Rumruay.- ელექტრული დენი, რომელიც მიედინება კაბელში, წარმოქმნის მის გარშემო მაგნიტურ ველს ამპერის კანონის მიხედვით.

გადაადგილების დენის მნიშვნელობა არის ის, რომ ისევე როგორც მაგნიტური ველი ცვლადი იწვევს ელექტრულ ველს, ელექტრულ ველს, რომელიც დროთა განმავლობაში იცვლება, შეუძლია ველის წარმოქმნა მაგნიტური. გადაადგილების დენის პირველი ექსპერიმენტული დადასტურება იყო არსებობის დემონსტრირება ელექტრომაგნიტური ტალღები ჰაინრიხ ჰერცის მიერ 1887 წელს, თეორიის გამოქვეყნებიდან 20 წელზე მეტი ხნის შემდეგ. მაქსველი. თუმცა, გადაადგილების დენის პირველი პირდაპირი გაზომვა გაკეთდა მ. რ. ვან კაუვენბერგე 1929 წელს.

სინათლე არის ელექტრომაგნიტური ტალღა

მაქსველის განტოლებების მიერ გაკეთებული ერთ-ერთი პირველი დამაფიქრებელი პროგნოზი არის არსებობა ელექტრომაგნიტური ტალღები, მაგრამ არა მხოლოდ ეს, მათ ასევე გამოავლინეს, რომ სინათლე ამის ტალღა უნდა ყოფილიყო ტიპი. ამის სანახავად ჩვენ ვითამაშებთ მაქსველის განტოლებებს, მაგრამ მანამდე აქ არის ნებისმიერი ტალღის განტოლების ფორმა:

\({{\nabla }^{2}}u=\frac{1}{{{v}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{ t}^{2}}}\)
ტალღის განტოლების ზოგადი ფორმა სამ განზომილებაში.

სადაც \({{\nabla }^{2}}\) არის ლაპლასიური ოპერატორი, \(u\) არის ტალღის ფუნქცია და \(v\) არის ტალღის სიჩქარე. ჩვენ ასევე ვიმუშავებთ მაქსველის განტოლებებთან ცარიელ სივრცეში, ანუ ელექტრული მუხტებისა და ელექტრული დენების არარსებობის შემთხვევაში, მხოლოდ ელექტრული და მაგნიტური ველები:

\(\nabla \cdot \vec{E}=0\)

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\)

და ჩვენ ასევე გამოვიყენებთ შემდეგს ვინაობა ვექტორული გაანგარიშება:

\(\nabla \times \left( \nabla \times \vec{A} \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \vec{A} \right)-{{\nabla }^{2}} \დრო{A}\)

თუ ამ იდენტობას გამოვიყენებთ ელექტრულ და მაგნიტურ ველებზე მაქსველის განტოლებების გამოყენებით ზემოთ ცარიელი სივრცისთვის, მივიღებთ შემდეგ შედეგებს:

\({{\nabla }^{2}}\vec{E}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\ ნაწილობრივი }^{2} }\vec{E}}{\ ნაწილობრივი {{t}^{2}}}\)

\({{\nabla }^{2}}\vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\ ნაწილობრივი }^{2} }\vec{B}}{\ ნაწილობრივი {{t}^{2}}}\)

გაითვალისწინეთ ამ განტოლებების მსგავსება ზემოთ მოცემულ ტალღურ განტოლებასთან დასკვნა, ელექტრული და მაგნიტური ველები შეიძლება მოიქცნენ ტალღების მსგავსად (ელექტრომაგნიტური ტალღები). თუ ამ ტალღების სიჩქარეს განვსაზღვრავთ, როგორც \(c\) და შევადარებთ ამ განტოლებებს ზემოთ მოცემულ ტალღურ განტოლებას, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ სიჩქარე არის:

\(c=\frac{1}{\sqrt{{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}}}\)

\({{\mu }_{0}}\) და \({{\epsilon }_{0}}\) არის ვაკუუმის მაგნიტური გამტარიანობა და ელექტრული გამტარობა, შესაბამისად, და ორივე მუდმივია. უნივერსალი, რომლის მნიშვნელობებია \({{\mu }_{0}}=4\pi \times {{10}^{-7}}~~T\cdot m/A\) და \({{\ epsilon } 0}}=8,8542\ჯერ {{10}^{-12}}~{{C}^{2}}/N\cdot m~\), ამ მნიშვნელობების ჩანაცვლებით, ჩვენ გვაქვს, რომ \(c\)-ის მნიშვნელობა არის \(c=299,792,458\frac{m}{s}\დაახლოებით 300,000~km/s\), რაც ზუსტად არის სიჩქარის მსუბუქი.

ამ მცირე ანალიზით შეგვიძლია მივიღოთ სამი ძალიან მნიშვნელოვანი დასკვნა:

1) ელექტრული და მაგნიტური ველები შეიძლება მოიქცნენ ტალღების მსგავსად, ანუ არის ელექტრომაგნიტური ტალღები, რომლებსაც ასევე შეუძლიათ ვაკუუმში გავრცელება.

2) სინათლე არის ელექტრომაგნიტური ტალღა, რომლის სიჩქარე დამოკიდებულია მაგნიტურ გამტარიანობასა და გამტარიანობაზე ცარიელ სივრცეში სინათლეს დაახლოებით აქვს სიჩქარე, რომლითაც ის ვრცელდება 300000 კმ/წმ.

3) ვინაიდან მაგნიტური გამტარიანობა და ელექტრული გამტარობა უნივერსალური მუდმივებია, მაშინ სინათლის სიჩქარე ასევე უნივერსალური მუდმივია, მაგრამ ეს ასევე ნიშნავს, რომ მისი მნიშვნელობა არ არის დამოკიდებული დან ჩარჩო საიდანაც ის იზომება.

ეს უკანასკნელი განცხადება იმ დროს ძალიან საკამათო იყო.როგორ არის შესაძლებელი, რომ სიჩქარე სინათლე იგივეა, მიუხედავად მისი გაზომვისა და სინათლის წყაროს მოძრაობისა. მსუბუქი? რაღაცის სიჩქარე შედარებითი უნდა იყოს, არა? ეს იყო იმდროინდელი ფიზიკის წყალგამყოფი და ამ მარტივმა, მაგრამ ღრმა ფაქტმა განაპირობა ალბერტ აინშტაინის სპეციალური ფარდობითობის თეორიის შემუშავება 1905 წელს.