რა არის ოპერაციების იერარქია?

ოპერაციების იერარქია არის მათემატიკური კონვენცია, რომელიც ადგენს თანმიმდევრობას, რომლითაც უნდა შესრულდეს კომბინირებული გამოთვლითი მოქმედებები იგივე მათემატიკური დებულება, ანუ, როდესაც არის მათემატიკური დებულება, სადაც არის მათემატიკური მოქმედებები (შეკრება, გამოკლება, გამრავლება, გაყოფა, ხარისხები და ფესვები) ერთად, ეს უნდა გაკეთდეს კონკრეტული თანმიმდევრობით, რომ მივიღოთ შედეგი საერთო.

მაგრამ რატომ არის საჭირო იერარქია? მასზე პასუხის გასაცემად, ჯერ კარგად უნდა გავიგოთ მათემატიკური მოქმედებების ბუნება, რომელიც შედგება ტრანსფორმაციისგან, რომელიც გამოიყენება კომპლექტის ელემენტებზე. მოდით ვიფიქროთ, მაგალითად, რეალური რიცხვების სიმრავლეზე, ანუ იმ რიცხვებზე, რომლებიც ყველამ ვიცით. თუ ავიღებთ a რიცხვს და დავუმატებთ სხვა b რიცხვს, მივიღებთ სხვა c რიცხვს, რომელიც ეკუთვნის ნამდვილ რიცხვთა იმავე სიმრავლეს, ანუ:

a+b = c

გარდა ამისა, დამატებების წარმოდგენის თანმიმდევრობა გავლენას არ ახდენს საბოლოო შედეგზე, ანუ ის a+b = b+a, ამ თვისებას კომუტატიულობა ეწოდება. მნიშვნელოვანია ვისაუბროთ დამატებაზე, რადგან ეს არის ძირითადი ოპერაცია, საიდანაც გამომდინარეობს ყველა დანარჩენი. გამრავლება სხვა არაფერია, თუ არა განმეორებითი მიმატებების სერია. თუ ისევ გვაქვს რიცხვი a და გავამრავლებთ b რიცხვზე, რასაც ვაკეთებთ არის ზოგჯერ b რიცხვის თავის თავთან შეკრება, ან, ალტერნატიულად, b-ზე a რიცხვზე თავის თავს. ეს უკანასკნელი ასეა, რადგან გამრავლება შეკრების მსგავსია, ეს ნიშნავს, რომ:

a⋅b = b⋅a. ზემოაღნიშნული შეიძლება გამოიხატოს შემდეგნაირად:

ამის ვიზუალიზაცია მარტივად შეგვიძლია მაგალითით. გავაკეთოთ 5×2 გამრავლება:

5×2 = 2×5 = 2+2+2+2+2 = 5+5 = 10

ახლა, რა მოხდება, თუ ჩვენ უნდა შევასრულოთ ოპერაცია, სადაც შეკრება გავამრავლებთ? მაგალითად: a⋅b+c. რა თანმიმდევრობით უნდა შესრულდეს შეკრება და გამრავლება? რომელ ოპერაციას უნდა მივცეთ უპირატესობა? თუ ჯერ გავამრავლებთ და განვავითარებთ ჯამის სახით გვექნება:

ახლა რომ შევასრულოთ ჯერ შეკრება და შემდეგ გამრავლება, მივიღებთ:

ვინაიდან შეკრება არის კომუტაციური, ჩვენ შეგვიძლია გადავაჯგუფოთ განტოლების მარჯვენა მხარე, რომ მივიღოთ:

ორივე სიტუაციაში მიღებული შედეგების შედარება ადვილია იმის გაგება, რომ:

შემდეგ ვასკვნით, რომ თანმიმდევრობა, რომლითაც გადაწყდა ოპერაციების განხორციელება, გავლენას ახდენს მიღებულ შედეგზე. იგივე ხდება, როდესაც ჩვენ ჩავრთავთ ძალაუფლებას. როდესაც ჩვენ ვზრდით b რიცხვს c ხარისხზე, რასაც ვაკეთებთ არის c-ზე გამრავლება b რიცხვზე თავისთან, ანუ:

ახლა ვაგრძელებთ შემდეგი კომბინირებული მოქმედების შესრულებას, რომელიც მოიცავს გამრავლებას და a⋅b სიმძლავრეს^გ სხვა თანმიმდევრობით, როგორც ეს გავაკეთეთ წინა შემთხვევაში. თუ პირველ რიგში ძალაუფლებას მივანიჭებთ, გვაქვს:

ახლა, თუ ჯერ გავამრავლებთ და შემდეგ ხარისხს, გვექნება:

გამრავლების კომუტატიურობის გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია გადავაჯგუფოთ განტოლების მარჯვენა მხარე, როგორც:

ისევ შეგვიძლია შევადაროთ ოპერაციების სხვა თანმიმდევრობით მიღებული შედეგები, რათა მივხვდეთ, რომ:

ასევე ამ შემთხვევაში ოპერაციების შესრულების თანმიმდევრობა გავლენას ახდენს მიღებულ შედეგზე. მაშ, რა თანმიმდევრობით უნდა შესრულდეს ოპერაციები? ოპერაციების იერარქია ადგენს, რომ ძალაუფლება იერარქიის უფრო მაღალ დონეზეა, ვიდრე გამრავლება, ისე, რომ მათემატიკური დებულებაში ძლევამოსილებებს აქვთ უპირატესობა. თავის მხრივ, გამრავლებას უფრო მაღალი იერარქიული დონე აქვს, ვიდრე მიმატებები.

მაგრამ რაც შეეხება გამოკლებას, გაყოფას და ფესვებს? გამოკლება შეკრების საპირისპირო ოპერაციაა, როდესაც a რიცხვს ვაკლებთ b რიცხვს, ვიღებთ სხვა c რიცხვს, რომ c+b=a. მსგავსი რამ ხდება გაყოფით და გამოკლებით. თუ რიცხვს a გავყოფთ b რიცხვზე და შედეგად მივიღებთ c რიცხვს, ვიპოვნეთ ისეთი რიცხვი, რომ b⋅c=a. და ბოლოს, a რიცხვის b ფესვის გამოთვლით ვპოულობთ c რიცხვს ისე, რომ c^ბ=ა. ეს ეკვივალენტები აყენებს გამოკლებას, გაყოფას და ფესვს იმავე იერარქიულ დონეზე, როგორც შეკრება, გამრავლება და ძალა, შესაბამისად.

ფრჩხილებისა და ფრჩხილების პრაქტიკა

ახლა რა მოხდება, თუ გვსურს პრიორიტეტი მივცეთ ზოგიერთ ოპერაციას მათემატიკური დებულებაში მათი იერარქიის დონის მიუხედავად? ამისათვის გამოიყენება ფრჩხილები და კვადრატული ფრჩხილები. დავუშვათ, გვაქვს a⋅b+c პრინციპის დებულება. რაც ადრე ვთქვით უკვე ვიცით, რომ ჯერ გამრავლება და მერე შეკრება უნდა შევასრულოთ. მაგრამ, თუ გვინდოდა, რომ ეს ასე არ ყოფილიყო? ამისათვის ჩვენ უნდა გამოვიყენოთ ფრჩხილები ან კვადრატული ფრჩხილები, რათა გამოვყოთ შეკრება გამრავლებისგან და ამით უპირატესობა მივცეთ შეკრების გამოთვლას, ანუ: a⋅(b+c). ეს იწვევს ფრჩხილებითა და კვადრატული ფრჩხილებით გამოყოფილი განცხადებებს, რომ ჰქონდეს უმაღლესი პრიორიტეტი ყველა სხვა ოპერაციებთან შედარებით.

ყოველივე ზემოთ აღნიშნულიდან გამომდინარე, ოპერაციების იერარქია ან მათი განხორციელების თანმიმდევრობა შემდეგია:

1) ფრჩხილები და ფრჩხილები
2) ძალები და ფესვები
3) გამრავლება და გაყოფა
4) შეკრება და გამოკლება

ცნობები

თ. ბენკე, ფ. ბახმანი, კ. ფლედტი, ვ. სუსი, ჰ. გერიკე, ფ. ჰოჰენბერგი, გ. პიკერტი, ჰ. რაუ და ს. თ. გულდი. (1983). მათემატიკის საფუძვლები: ტომი I. კემბრიჯი, მასაჩუსეტსი და ლონდონი: MIT Press.