კვადრატული ფუნქციის განმარტება

რეალური ცვლადის კვადრატული ფუნქცია, რომლის ფორმაც არის გამოხატული.

\(f\ მარცხნივ( x \მარჯვნივ) = a{x^2} + bx + c\)

სადაც ცვლადი არის \(x\), \(a, b\) და c არის რეალური მუდმივები, რომელსაც ეწოდება კვადრატული ფუნქციის კოეფიციენტები \(a \ne 0.\)

ცხრილში მოცემულია კვადრატული ფუნქციების ზოგადი მაგალითები და სიტუაცია, რომლის მოდელირებაც მათ შეუძლიათ, რათა მოგვიანებით აჩვენონ მათი პირდაპირი გამოყენება რეალური პრობლემებიდან.

კვადრატული ფუნქცია	სიტუაცია შეგიძლიათ მოდელირება
\(f\ მარცხნივ( x \მარჯვნივ) = {x^2}\)	ცვლადი \(y\) არის კვადრატის ფართობი, რომლის გვერდი ზომავს \(x\).
\(f\მარცხნივ( x \მარჯვნივ) = \pi {x^2}\)	ცვლადი \(y\) არის წრის ფართობი, რომლის რადიუსი არის \(x\).
\(f\მარცხნივ( x \მარჯვნივ) = 100 - 4.9{x^2}\)	ცვლადი \(y\) არის ობიექტის სიმაღლე, რომელიც ჩამოაგდეს 100 სიმაღლეზე და \(x\) არის გასული დრო.
\(f\ მარცხნივ( x \მარჯვნივ) = 60\ მარცხენა ( {{\bf{sin}}45^\circ } \მარჯვნივ) x – 4.9{x^2}\)	ცვლადი \(y\) არის 45°-ის კუთხით 60 მ/წმ სიჩქარით ნასროლი ქვემეხის სიმაღლე და \(x\) არის გასული დრო.

ზოგადი ფორმულა და კვადრატული ფუნქცია

თუ \(x = \alpha \)-ისთვის კვადრატული ფუნქცია არის ნული, მაშინ რიცხვს \(\alpha \) ეწოდება კვადრატული ფუნქციის ფესვი, დიახ, \(\alpha \) არის კვადრატული განტოლების ამონახსნი.

\(a{x^2} + bx + c = 0\)

კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ზოგადი ფორმულა გვაქვს, რომ კვადრატული ფუნქციის ფესვებია:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}},\;\;\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b ^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, დადგენილია შემდეგი კავშირი კვადრატული ფუნქციის ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a},\;\;\alpha \beta = \frac{c}{a}\)

ცნობილი პროდუქტების საშუალებით დგინდება შემდეგი იდენტურობა:

\(a{x^2} + bx + c = a\ მარცხნივ ( {x – \alpha } \მარჯვნივ)\ მარცხენა ( {x - \beta } \მარჯვნივ)\)

ზოგად ფორმულაში დადგენილის მსგავსად, დადგენილია, რომ კვადრატული ფუნქცია შეიძლება გამოიხატოს სახით:

\(f\ მარცხნივ( x \მარჯვნივ) = a{\ მარცხნივ( {x – h} \მარჯვნივ)^2} + k\)

\(h = – \frac{b}{{2a}}\) და \(k = – \frac{{{b^2} - 4ac}}{a}\)

განტოლების ამოხსნით:

\(a{\ მარცხნივ( {x – h} \მარჯვნივ)^2} + k = 0\)

მიღებულია:

\(\მარცხნივ| {x – h} \მარჯვნივ| = \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

\(x = h \pm \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

ზემოთქმულიდან შეიძლება დავასკვნათ, რომ \(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\), მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მუდმივები \(k\) და \(ა\) არიან საპირისპირო ნიშნები, ამ კვადრატულ ფუნქციას აქვს რეალური ფესვები, რომლებიც არის: \(h + \sqrt { – \frac{k}{a}} ,\;\;h – \sqrt { – \frac{k}{a} } \).

თუ მუდმივებს \(k\) და \(a\) აქვთ იგივე ნიშანი, მაშინ კვადრატულ ფუნქციას არ აქვს რეალური ფესვები.

როდესაც \(k = 0,\;\;\)კვადრატულ ფუნქციას აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი.

მაგალითები გამოიყენება რეალურ ცხოვრებაში

განაცხადის მაგალითი 1: ეკონომიკა

სკოლას სურს მოაწყოს საფეხბურთო ტურნირი, სადაც თითოეული გუნდი ითამაშებს თითოეულ სხვა გუნდს მხოლოდ ერთხელ. არბიტრაჟის ღირებულების ბიუჯეტი არის $15,600, თუ არბიტრაჟის ღირებულება არის $200 ერთი თამაში. რამდენ გუნდს შეუძლია დარეგისტრირება ტურნირზე?

პრობლემის ფორმულირება: ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ფუნქცია, რომელიც ითვლის დამთხვევების რაოდენობას, როდესაც გვაქვს \(n\) გუნდები მათ დასათვლელად გამოვიყენებთ ვარაუდს, რომ გუნდი 1 პირველ რიგში თამაშობს ყველა დანარჩენთან ერთად, ეს არის \(n – 1\) მატჩები. გუნდი 2 ახლა ყველა დანარჩენთან ერთად ითამაშებს, ანუ \(n – 2\), რადგან ისინი უკვე ითამაშებენ 1-ლ გუნდთან. მე-3 გუნდი უკვე ითამაშებს 1 და 2 გუნდებთან, ამიტომ მათ მოუწევთ თამაში n-3 გუნდებთან.

ზემოაღნიშნული მსჯელობით მივდივართ:

\(f\ მარცხნივ(n \მარჯვნივ) = n – 1 + n – 2 + \ldots + 2 + 1\)

\(f\left(n \მარჯვნივ) = \frac{{n\left( {n – 1} \მარჯვნივ)}}{2}\)

ხარჯების ფუნქციაა:

\(C\left(n \მარჯვნივ) = 200f\left(n \მარჯვნივ) = 100n\მარცხნივ( {n – 1} \მარჯვნივ)\)

15600 აშშ დოლარის ბიუჯეტით, ჩვენ გვაქვს განტოლება:

\(100n\მარცხნივ( {n – 1} \მარჯვნივ) = 15600\)

განტოლების ამოხსნა

\(100n\მარცხნივ( {n – 1} \მარჯვნივ) = 15600\) საწყისი მდგომარეობა
\(n\left( {n – 1} \მარჯვნივ) = 156\) გაყავით განტოლების თითოეული მხარე 100-ზე
\({n^2} – n – 156 = \) დაამატეთ \( – 156\) განტოლების თითოეულ მხარეს
\(\left( {n – 13} \right)\left( {n + 12} \მარჯვნივ) = 0\) გვაქვს \(\left( { – 13} \მარჯვნივ)\მარცხნივ( {12} \მარჯვნივ ) = – 156\) და \( – 13 + 12 = – 1\)
ეს იყო ფაქტორირებული.
განტოლების ამონახსნები \(n = – 12,\;13\)
პასუხი: ბიუჯეტი საკმარისია 13 გუნდის დასარეგისტრირებლად.

განაცხადის მაგალითი 2: ეკონომიკა

მეტროპოლიტენის სატრანსპორტო ავტობუსების კომპანიამ დააფიქსირა, რომ რვა საათის განმავლობაში მისი თითოეული ავტობუსი საშუალოდ ათას მგზავრს გადაჰყავს. იმისათვის, რომ შეძლოთ თქვენი მუშაკების ანაზღაურება, თქვენ უნდა გაზარდოთ თქვენი ტარიფი, რომელიც ამჟამად $5-ია; ეკონომისტი გამოთვლის, რომ ყოველი პესოსთვის, რომლითაც ტარიფი იზრდება, თითოეული სატვირთო მანქანა დღეში საშუალოდ 40 მგზავრს დაკარგავს. კომპანიამ გამოთვალა, რომ ხელფასის გაზრდის დასაფარად, ყოველ სატვირთო მანქანაზე დამატებით 760 დოლარი უნდა მიიღოს ყოველ დღე, რამდენად უნდა გაიზარდოს მგზავრობა?

პრობლემის ფორმულირება: დაე, \(x\) იყოს პესოს ოდენობა, რომელშიც გაიზრდება ბილეთი, რომლისთვისაც \(5 + x\) არის ბილეთის ახალი ღირებულება. იგივე ზრდით, ყოველი სატვირთო მანქანა გადაიყვანს \(1000 – 40x\) მგზავრს დღეში, საშუალოდ.

და ბოლოს, შემოსავალი თითო სატვირთო მანქანაზეა:

\(I\ მარცხნივ( x \მარჯვნივ) = \მარცხნივ( {5 + x} \მარჯვნივ)\მარცხნივ( {1000 - 40x} \მარჯვნივ) = - 40\ მარცხნივ( {x + 5} \მარჯვნივ)\ მარცხნივ( {x – 25} \მარჯვნივ)\)

ხელფასის ზრდის დასაფარად თითოეულმა ავტობუსმა უნდა შეაგროვოს: \(1000\მარცხნივ( 5 \მარჯვნივ) + 760 = 5760\)

საბოლოოდ გვაქვს განტოლება:

\( – 40\ მარცხნივ ( {x + 5} \მარჯვნივ)\ მარცხნივ ( {x – 25} \მარჯვნივ) = 5760\)

განტოლების ამოხსნა
\( – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \მარჯვნივ) = 5760\) საწყისი მდგომარეობა
\(\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \მარჯვნივ) = – 144\) გაყავით \( – 40\) განტოლების თითოეულ მხარეს
\({n^2} – 20n – 125 = – 144\) გამორჩეული პროდუქტი შეიქმნა
\({n^2} – 20n + 19 = 0\) თითოეულს დაემატა 144
\(\left( {n – 19} \right)\left( {n – 1} \მარჯვნივ) = 0\) გვაქვს \(\left( { – 19} \მარჯვნივ)\მარცხნივ( { – 1} \ მარჯვნივ) = 19\) და \( – 19 – 1 = – 20\)
ფაქტორირებული
განტოლების ამონახსნები \(n = 1.19\)
პასუხი: ბილეთის ფასი შეიძლება გაიზარდოს $1 ან $19 პესო.

განაცხადის მაგალითი 3: ეკონომიკა

პურის მაღაზია კვირაში საშუალოდ 1200 რულონს ყიდის 6 დოლარად. ერთ დღეს მან გადაწყვიტა ფასი 9 დოლარამდე გაეზარდა ცალი; ახლა მისი გაყიდვები შემცირდა: კვირაში საშუალოდ მხოლოდ 750 რულონს ყიდის. რა უნდა იყოს თითოეული ფუნთუშის ფასი, რომ განყოფილების შემოსავალი იყოს ყველაზე მაღალი? დავუშვათ, რომ არსებობს წრფივი კავშირი მოთხოვნასა და ფასს შორის.

პრობლემის ფორმულირება: ვივარაუდოთ, რომ არსებობს წრფივი კავშირი მოთხოვნა D და ფასი \(x,\) შორის

\(D = mx + b\)

როდესაც \(x = 6;D = 1200;\;\), რომელიც ქმნის განტოლებას:

\(1200 = 6 მ + ბ\)

როდესაც \(x = 9;D = 750;\;\) აი და განტოლება მიიღება:

\(750 = 9 მ + ბ\)

განტოლებათა სისტემის ამოხსნით მოთხოვნასა და ფასს შორის ურთიერთობაა:

\(D = – 150x + 2100 = – 150\მარცხნივ( {x – 14} \მარჯვნივ)\)

შემოსავალი უდრის

\(I\ მარცხნივ( x \მარჯვნივ) = Dx = - 150x\ მარცხნივ ( {x - 14} \მარჯვნივ)\)

გამოსავალი

შემოსავლის გრაფიკი პარაბოლაში, რომელიც იხსნება ქვევით და მისი მაქსიმალური მნიშვნელობა მიიღწევა წვეროზე რომელიც შეიძლება მოიძებნოს კვადრატული ფუნქციის ფესვების საშუალოდ, რომელიც მოდელირებს შემოსავალი. ფესვები არის \(\alpha = 0,\;\;\beta = 14\).

\(სთ = \ფრაკ{{0 + 14}}{2} = 7\)

\(I\left(h \მარჯვნივ) = – 150\left(7 \მარჯვნივ)\მარცხნივ( {7 – 14} \მარჯვნივ) = 7350\)

უპასუხე

მაქსიმალური შემოსავალი არის $7,350 და მიიღწევა $7 ფასით; კვირაში საშუალოდ 1050 რულონს ყიდის.

განაცხადის მაგალითი 4: ეკონომიკა

\(n\) სკამების დამზადების ღირებულება ერთ დღეში შეიძლება გამოითვალოს კვადრატული ფუნქციით:

\(C\left(n \მარჯვნივ) = {n^2} – 200n + 13000\)

განსაზღვრეთ მინიმალური ღირებულება, რომლის მიღწევაც შესაძლებელია.

პრობლემის განცხადება

\(C\left(n \მარჯვნივ)\)-ის გრაფიკი არის პარაბოლა, რომელიც იხსნება ზემოთ და მიაღწევს თავის მინიმალურ წერტილს \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \frac{{\). მარცხენა( { – 200} \მარჯვნივ)}}{{2\left( 1 \მარჯვნივ)}} = 100\)

\(C\left({100} \მარჯვნივ) = {\left({100} \მარჯვნივ)^2} – 200\მარცხნივ( {100} \მარჯვნივ) + 13000 = 3000\)

უპასუხე

ყველაზე დაბალი შესაძლო ღირებულება უდრის 3000 აშშ დოლარს და მიიღწევა 100 სკამის დამზადებით.

განაცხადის მაგალითი 5: გეომეტრია

რომბის ფართობია 21 სმ2; თუ მისი დიაგონალების სიგრძის ჯამი არის 17 სმ, რა არის რომბის თითოეული დიაგონალის სიგრძე?

პრობლემის ფორმულირება: რომბის ფართობი გამოითვლება:

\(A = \frac{{Dd}}{2}\)

მისი დიაგონალების \(D\) და \(d\) სიგრძით ასევე ცნობილია:

\(D + d = 7\)

\(D = 17 - d\)

ჩანაცვლებით თქვენ მიიღებთ:

\(A = \frac{{\მარცხნივ( {17 – d} \მარჯვნივ) d}}{2}\)

საბოლოოდ მივიღებთ განტოლებას

\(\frac{{\მარცხნივ( {17 – d} \მარჯვნივ) d}}{2} = 21\)

გამოსავალი
\(\frac{{\left( {17 – d} \მარჯვნივ) d}}{2} = 21\) საწყისი სიტუაცია
\(\მარცხნივ( {17 – d} \მარჯვნივ) d = 42\) გაამრავლეთ \( – 40\) განტოლების თითოეულ მხარეს
\({d^2} – 17d + 42 = 0\) პროდუქტი შეიქმნა.
\(\left( {d – 14} \right)\left( {d – 3} \right) = 0\) გვაქვს \(\left( { – 14} \მარჯვნივ)\მარცხნივ( { – 3} \ მარჯვნივ) = 42\) და \( – 14 – 3 = – 17\)
ფაქტორირებული
განტოლების ამონახსნები \(d = 3.14\)
პასუხი:

რომბის დიაგონალები 14 სმ და 3 სმ-ია.

განაცხადის მაგალითი 6: გეომეტრია

სასურველია 140 მ2 ფართობის მართკუთხა ქათმის კუბოს აშენება, საკმაოდ გრძელი ღობის გამოყენებით, რომელიც ჩამოაყალიბებს ქათმის ძირს. დანარჩენი სამი მხარე აშენდება 34 წრფივი მეტრი მავთულის ბადით, რამდენი უნდა იყოს ქათმის კუბოს სიგრძე და სიგანე მთლიანი ბადის გამოსაყენებლად?

იმავე პირობებში, რა არის მაქსიმალური ფართობი, რომლის შემოღობვაც შესაძლებელია ერთი და იგივე ბადით?

პრობლემის განცხადება: დიაგრამის მიხედვით, ფართობი უდრის:

\(A\მარცხნივ( x \მარჯვნივ) = x\მარცხნივ( {34 - 2x} \მარჯვნივ) = 2x\მარცხნივ ( {17 - x} \მარჯვნივ)\)

სადაც \(x\) არის ღობეზე პერპენდიკულარული მხარის სიგრძე.

იმისათვის, რომ იცოდეთ მართკუთხედის ზომები ისე, რომ მას ჰქონდეს ფართობი 140 მ2, საკმარისია განტოლების ამოხსნა.

\(2x\მარცხნივ( {17 – x} \მარჯვნივ) = 140\)

ვინაიდან \(A\left( x \right)\) გრაფიკი არის პარაბოლა, რომელიც იხსნება ქვევით ფართობის მაქსიმალური მნიშვნელობის გამოსათვლელად, საკმარისია პარაბოლის წვეროს გამოთვლა.

პასუხები
მართკუთხედის ზომები 140 მ2 ფართობით
გვერდის სიგრძე ღობეზე პერპენდიკულარული

\(x\) გალავნის პარალელურად გვერდის სიგრძე

\(34 - 2x\)
10 14
7 20

წვეროს პირველი კოორდინატი არის \(h = \frac{{17}}{2}\) და

\(A\მარცხნივ(h \მარჯვნივ) = \frac{289}}{2}\)

ფართობი მაქსიმალურია, როცა პერპენდიკულარული გვერდი ზომავს \(\frac{{17}}{2}\;\)მ და პარალელური გვერდი 17მ, ის ზომავს 17მ, მიღწეული მაქსიმალური ფართობის მნიშვნელობა არის \(\frac{ {289}} {2}\)მ2.

კვადრატული ფუნქციის გრაფიკი

გეომეტრიული თვალსაზრისით, ფესვები არის წერტილები, სადაც ფუნქციის გრაფიკი კვეთს \(x\) ღერძს.

გამონათქვამიდან

\(f\ მარცხნივ( x \მარჯვნივ) = a{\ მარცხნივ( {x – h} \მარჯვნივ)^2} + k,\)

დავადგენთ კვადრატული ფუნქციის გრაფიკის ზოგად ფორმას.

პირველი შემთხვევა \(a > 0\) და \(k > 0\)

\(f\ მარცხნივ( x \მარჯვნივ) = a{\ მარცხნივ( {x – h} \მარჯვნივ)^2} + k\)

\(x\)	\(f\მარცხნივ( x \მარჯვნივ)\)
\(სთ – 1\)	\(a + k\)
\(სთ – 2\)	\(4a + k\)
\(სთ – 3\)	\(9a + k\)
\(სთ – 4\)	\(16a + k\)
\(სთ)	\(k\)
\(სთ + 1\)	\(a + k\)
\(სთ + 2\)	\(4a + k\)
\(სთ + 3\)	\(9a + k\)
\(სთ + 4\)	\(16a + k\)

ამ შემთხვევაში, გრაფიკი აკმაყოფილებს:

სიმეტრიული: სიმეტრიის ღერძით \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) ეს არის \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \მარჯვნივ)\)

ის არის \(x\) ღერძის ზემოთ და არ კვეთს მას. ანუ, \(f\left( x \right) > 0\) არ აქვს რეალური ფესვები.

ყველაზე დაბალი წერტილი გრაფიკზე არის წერტილი \(\left( {h, k} \right)\). ეს არის \(f\left(x\right) \ge f\left(h \მარჯვნივ) = k\)

მეორე შემთხვევა \(a <0\) და \(k <0\)

\(f\ მარცხნივ( x \მარჯვნივ) = a{\ მარცხნივ( {x – h} \მარჯვნივ)^2} + k\)

\(x\)	\(f\მარცხნივ( x \მარჯვნივ)\)
\(სთ – 1\)	\(a + k\)
\(სთ – 2\)	\(4a + k\)
\(სთ – 3\)	\(9a + k\)
\(სთ – 4\)	\(16a + k\)
\(სთ)	\(k\)
\(სთ + 1\)	\(4a + k\)
\(სთ + 2\)	\(9a + k\)
\(სთ + 3\)	\(4a + k\)
\(სთ + 4\)	\(16a + k\)

ამ შემთხვევაში, გრაფიკი აკმაყოფილებს:

სიმეტრიული: სიმეტრიის ღერძით \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) ეს არის \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \მარჯვნივ)\)

ის არის \(x\) ღერძის ქვემოთ და არ კვეთს მას. ანუ, \(f\left( x \right) < 0\) არ აქვს რეალური ფესვები. გრაფიკის უმაღლესი წერტილი არის \(\left({h, k} \right)\). ეს არის \(f\left( x \right) \le f\left(h \right) = k\) მესამე შემთხვევა \(a > 0\) და \(k \le 0\).

ეს შემთხვევა პირველი შემთხვევის მსგავსია, განსხვავება ისაა, რომ ახლა გვაქვს ერთი რეალური ფესვი (როცა \(k = 0\) ) ან ორი რეალური ფესვი.

ამ შემთხვევაში, გრაფიკი აკმაყოფილებს:

სიმეტრიული: სიმეტრიის ღერძით \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) ეს არის \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \მარჯვნივ)\)

ის კვეთს \(x\) ღერძს, ანუ აქვს მინიმუმ ერთი რეალური ფესვი.

ყველაზე დაბალი წერტილი გრაფიკზე არის წერტილი \(\left( {h, k} \right)\). ეს არის \(f\left(x\right) \ge f\left(h \მარჯვნივ) = k\)

მეოთხე შემთხვევა \(a < 0\) და \(k \ge 0\). ეს შემთხვევა მეორე შემთხვევის მსგავსია, განსხვავება ისაა, რომ ახლა გვაქვს ერთი რეალური ფესვი (როცა \(k = 0\) ) ან ორი რეალური ფესვი. ამ შემთხვევაში, გრაფიკი აკმაყოფილებს:

სიმეტრიული: სიმეტრიის ღერძით \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) ეს არის \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \მარჯვნივ)\)

ყველაზე დაბალი წერტილი გრაფიკზე არის წერტილი \(\left( {h, k} \right)\). ეს არის \(f\left(x\right) \le f\left(h \მარჯვნივ) = k\)

კვადრატული ფუნქციის გრაფიკს პარაბოლა ეწოდება და მის ხაზგასმას წარმოადგენს სიმეტრიის ღერძი, ის წერტილები, სადაც ის იკვეთება. \(x\) ღერძამდე და წვერომდე, რომელიც არის წერტილი ფუნქციის გრაფიკზე, სადაც ის აღწევს ყველაზე დაბალ ან უმაღლეს წერტილს, დამოკიდებულია საქმე.

ჩატარებული ანალიზის საფუძველზე შეგვიძლია ვთქვათ:

პარაბოლას, რომელიც დაკავშირებულია კვადრატულ ფუნქციასთან \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) აქვს წვერო \(\left({h, k} \right)\) სადაც :

\(h = – \frac{b}{{2a}},\;\;k = f\ მარცხენა (h \მარჯვნივ)\)

მაგალითები

კვადრატული ფუნქცია \(y = {x^2}\)	მნიშვნელოვანი ელემენტები
პარაბოლას წვერო	\(\მარცხნივ( {0,0} \მარჯვნივ)\)
პარაბოლის სიმეტრიის ღერძი	\(x = 0\)
კვეთები \(x\) ღერძით	\(\მარცხნივ( {0,0} \მარჯვნივ)\)

კვადრატული ფუნქცია \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2}\)	მნიშვნელოვანი ელემენტები
პარაბოლას წვერო	\(\მარცხნივ( {2,0} \მარჯვნივ)\)
პარაბოლის სიმეტრიის ღერძი	\(x = 2\)
კვეთები \(x\) ღერძით	\(\მარცხნივ( {2,0} \მარჯვნივ)\)

კვადრატული ფუნქცია \(y = {\ მარცხნივ( {x + 2} \მარჯვნივ)^2} – 4\)	მნიშვნელოვანი ელემენტები
პარაბოლას წვერო	\(\მარცხნივ( { – 2, – 4} \მარჯვნივ)\)
პარაბოლის სიმეტრიის ღერძი	\(x = – 2\)
კვეთები \(x\) ღერძით	\(\ მარცხნივ ( { – 4,0} \მარჯვნივ);\ მარცხნივ ( {0,0} \მარჯვნივ)\)

კვადრატული ფუნქცია \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 9} \right)^2} + 8\)	მნიშვნელოვანი ელემენტები
პარაბოლას წვერო	\(\მარცხნივ( {9,8} \მარჯვნივ)\)
პარაბოლის სიმეტრიის ღერძი	\(x = 9\)
კვეთები \(x\) ღერძით	\(\ მარცხნივ ( {5,0} \მარჯვნივ);\ მარცხნივ ( {13,0} \მარჯვნივ)\)

კვადრატული ფუნქცია \(y = {x^2} + 1\)	მნიშვნელოვანი ელემენტები
პარაბოლას წვერო	\(\მარცხნივ( {0,1} \მარჯვნივ)\)
პარაბოლის სიმეტრიის ღერძი	\(x = 0\)
კვეთები \(x\) ღერძით	Არ აქვს

კვადრატული ფუნქცია \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2} – 1\)	მნიშვნელოვანი ელემენტები
პარაბოლას წვერო	\(\მარცხნივ( {2, – 1} \მარჯვნივ)\)
პარაბოლის სიმეტრიის ღერძი	\(x = 2\)
კვეთები \(x\) ღერძით	Არ აქვს

თუ არსებობს კვადრატული ფუნქციის რეალური ფესვები, მათგან შეგვიძლია გამოვსახოთ მისი ასოცირებული პარაბოლა. დავუშვათ, რომ \(f\left( x \right) = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \მარჯვნივ)\)

ამისთვის გასათვალისწინებელია შემდეგი:

\(\ალფა + \ბეტა = – \frac{b}{a}\)

\(\frac{{\alpha + \beta }}{2} = – \frac{b}{{2a}} = h\)

როგორც

\(k = f\ მარცხენა (h \მარჯვნივ)\)

\(k = f\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2}} \მარჯვნივ)\)

\(k = a\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \alpha } \right)\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \ ბეტა } \მარჯვნივ)\)

\(k = – \frac{a}{4}{\left( {\alpha – \beta } \მარჯვნივ)^2}\)

მაგალითები

დახაზეთ კვადრატული ფუნქციის გრაფიკი \(f\left( x \right) = \frac{1}{4}\left( {x – 3} \right)\left( {x + 6} \right )\)

გამოსავალი

ფესვებია \(\alpha = 3\;\) და \(\beta = – 6\); შემდეგ \(h = \frac{{3 – 6}}{2} = – \frac{3}{2}\).

\(k = f\left( { – \frac{3}{2}} \მარჯვნივ) = 2\left( { – \frac{3}{2} – 3} \მარჯვნივ)\მარცხენა( { – \frac {3}{2} + 6} \მარჯვნივ) = \frac{1}{4}\left( { – \frac{9}{2}} \მარჯვნივ)\ left( {\frac{9}{2}} \მარჯვნივ) = – \frac{{81}}{{16}}\)

ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია შევქმნათ შემდეგი ცხრილი

\(f\ მარცხნივ ( x \მარჯვნივ) = 2\ მარცხნივ ( {x – 3} \მარჯვნივ)\ მარცხნივ ( {x + 6} \მარჯვნივ)\)	მნიშვნელოვანი ელემენტები
პარაბოლას წვერო	\(\მარცხნივ( { – \frac{3}{2}, – \frac{{81}}{2}} \მარჯვნივ)\)
პარაბოლის სიმეტრიის ღერძი	\(x = – \frac{81}}{2}\)
კვეთები \(x\) ღერძით	\(\მარცხნივ( { – 6,0} \მარჯვნივ)\;,\;\მარცხნივ( {3,0} \მარჯვნივ)\)

ფუნქციის გრაფიკის დახატვა:

\(f\მარცხნივ( x \მარჯვნივ) = 3{x^2} - 18x + 4\)

ჩვენ გამოვიყენებთ იმავე იდეებს, რომლებიც უკვე გამოვიყენეთ; ამისთვის ჯერ განვსაზღვრავთ წვეროს.

ამ შემთხვევაში, \(a = 3;b = – 12, \;c = 4\).

ვინაიდან \(a > 0\), პარაბოლა „გაიხსნება და \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \left( {\frac{{ – 18}}{{3\left ( 2 \მარჯვნივ)}}} \right) = 3.\) შემდეგ ჩვენ გამოვთვალოთ \(k:\)

\(k = f\ მარცხნივ( h \მარჯვნივ) = f\ მარცხნივ( 3 \მარჯვნივ) = 3{\ მარცხნივ( 3 \მარჯვნივ)^2} – 18\ მარცხნივ( 3 \მარჯვნივ) + 4 = – 23\)

პარაბოლის წვერო არის \(\მარცხნივ({3, – 23} \მარჯვნივ)\) და რადგან ის იხსნება ზემოთ, მაშინ პარაბოლა გადაკვეთს \(x\;\) ღერძს და მისი სიმეტრიის ღერძი არის \ (x = 3\).

ახლა განვიხილოთ კვადრატული ფუნქცია

\(f\მარცხნივ( x \მარჯვნივ) = – 5{x^2} + 10x – 9\)

ამ შემთხვევაში, \(a = 3;b = – 12, \;c = 4\).

ვინაიდან \(a < 0\), პარაბოლა "გაიხსნება" ქვემოთ და \(h = - \frac{b}{{2a}} = - \left( {\frac{{10}}{{\left( 2 \მარჯვნივ)\მარცხნივ( { - 5} \მარჯვნივ)}}} \მარჯვნივ) = 1.\) A შემდეგ ჩვენ გამოვთვალოთ \(k:\) \(k = f\left(h \right) = f\left( 1 \მარჯვნივ) = - 5{\ left( 1 \მარჯვნივ)^2} + 10\left( 1 \ მარჯვნივ) - 9 = - 4\) წვერო პარაბოლა არის \(\მარცხნივ( {1, - 4} \მარჯვნივ)\) და რადგან ის იხსნება ქვევით, მაშინ პარაბოლა არ გადაკვეთს \(x\;\) ღერძს და მისი სიმეტრიის ღერძი არის \(x = 1.\)