გეომეტრიული პროგრესიის განმარტება

რიცხვების თანმიმდევრობა \({{a}_{1}},~{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots \); მას გეომეტრიულ პროგრესიას უწოდებენ, თუ მეორიდან დაწყებული, თითოეული ელემენტი მიიღება წინა ელემენტის \(r\ne 0\" რიცხვზე გამრავლებიდან, ანუ თუ:
\({{a}_{n+1}}={{a}_{n}}r\)
სად:
- რიცხვს \(r\) ეწოდება გეომეტრიული პროგრესიის თანაფარდობას.
- ელემენტს \({{a}_{1}}\) ეწოდება არითმეტიკული პროგრესიის პირველ ელემენტს.

გეომეტრიული პროგრესიის ელემენტები შეიძლება გამოისახოს პირველი ელემენტის და მისი თანაფარდობის მიხედვით, ანუ:
\({{a}_{1}},{{a}_{1}}რ,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a}_{1} }{{r}^{3}}\)

ისინი არითმეტიკული პროგრესიის პირველი ოთხი ელემენტია; ზოგადად, \(k-\)th ელემენტი გამოიხატება შემდეგნაირად:
\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

როდესაც წინა გამოხატვის \({{a}_{1}}\ne 0,~\) ვიღებთ:

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}=\frac{{{a}_{1}}{{r}^{k-1}} {{{a}_{1}}{{r}^{l-1}}}\)

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

ზემოთ მოცემული გამოთქმა უდრის:

\({{a}_{k}}={{a}_{l}}{{r}^{k-l}}\)

მაგალითი/სავარჯიშო 1. იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა: \(2,6,18,54,\ldots \) ​​და იპოვეთ ელემენტები \({{a}_{20}},~{{a}_{91}} \)

instagram story viewer

გამოსავალი

ვინაიდან \(\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=3\) შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ თანაფარდობა არის:

\(r=3\)

\({{a}_{20}}=2\მარცხნივ( {{3}^{20-1}} \მარჯვნივ)=2{{\ მარცხენა (3 \მარჯვნივ)}^{19}}\)

\({{a}_{91}}=2\მარცხნივ( {{3}^{91-1}} \მარჯვნივ)=2{{\მარცხენა(3 \მარჯვნივ)}^{90}}\)

მაგალითი/სავარჯიშო 2. არითმეტიკულ პროგრესიაში გვაქვს: \({{a}_{17}}=20~\)y \({{a}_{20}}=-1280\), განვსაზღვროთ გეომეტრიული პროგრესიის თანაფარდობა და დავწეროთ პირველი 5 ელემენტი.

გამოსავალი

ტარება

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

\(\frac{{{y}_{20}}}{{{y}_{17}}}={{r}^{20-17}}\)

\(\frac{-1280}{20}={{r}^{3}}\)

\(-64={{r}^{3}}\)

\(\sqrt[3]{-64}=\sqrt[3]{{{r}^{3}}}\)

\(-4=r\)

არითმეტიკული პროგრესიის პირველი 5 ელემენტის პოვნა; ჩვენ გამოვთვლით \({{a}_{1}}\):

\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

\({{a}_{17}}={{a}_{1}}{{\left( r \მარჯვნივ)}^{17-1}}\)

\(20={{a}_{1}}{{\ მარცხნივ( -4 \მარჯვნივ)}^{16}}\)

\(\frac{20}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5\left( 4 \მარჯვნივ)}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}}={{a}_{1}}\)

გეომეტრიული პროგრესიის პირველი 5 ელემენტია:

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},~\frac{5}{{{4}^{15}}}\left( -4 \მარჯვნივ),\frac{5} {{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{2}},\frac{5}{{{4}^{15}}}{{\left( -4 \მარჯვნივ)}^{3}},\frac{5}{{ {4}^{15}}}{{\left( -4 \მარჯვნივ)}^{4}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},-~\frac{5}{{{4}^{14}}},\frac{5}{{{4}^{ 13}}},-\frac{5}{{{4}^{12}}},\frac{5}{{{4}^{11}}}\)

მაგალითი/სავარჯიშო 3. თხელი მინა შთანთქავს მზის შუქის 2%-ს, რომელიც მასში გადის.

რომ. სინათლის რამდენი პროცენტი გაივლის 10 თხელ სათვალეს?

ბ. სინათლის რამდენი პროცენტი გაივლის 20 თხელ სათვალეს?

გ. განსაზღვრეთ სინათლის პროცენტი, რომელიც გადის \(n\) თხელ სათვალეებში იგივე მახასიათებლებით, თანმიმდევრულად მოთავსებული.

გამოსავალი

ჩვენ წარმოვადგენთ 1-ით მთლიან შუქს; სინათლის 2%-ის შთანთქმით, შემდეგ სინათლის 98% გადის მინაში.

ჩვენ წარმოვადგენთ \({{a}_{n}}\) შუქის პროცენტს, რომელიც გადის მინაში \(n\) .

\({{a}_{1}}=0,98,~{{a}_{2}}=0,98\მარცხნივ( 0,98 \მარჯვნივ),~{{a}_{3}}={{\მარცხნივ( 0,98 \მარჯვნივ)}^{2}}\მარცხნივ( 0,98 \მარჯვნივ),\)

ზოგადად \({{a}_{n}}={{\left( 0.98 \მარჯვნივ)}^{n}}\)

რომ. \({{a}_{10}}={{\left( 0.98 \მარჯვნივ)}^{10}}=0.81707\); რაც გვეუბნება, რომ მინის 10-ის შემდეგ გადის სინათლის 81,707%.

ბ. \({{a}_{20}}={{\მარცხნივ( 0,98 \მარჯვნივ)}^{20}}=~0,66761\); რაც გვეუბნება, რომ მინის 20-ის შემდეგ გადის 66,761%

გეომეტრიული პროგრესიის პირველი \(n\) ელემენტების ჯამი

გეომეტრიული პროგრესიის გათვალისწინებით \({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a} 1}}{{r}^{3}}\)….

როდესაც \(r\ne 1\) არის პირველი \(n\) ელემენტების ჯამი, ჯამი:

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}+{{a}_{1}}r+{{a}_{1}}{{r}^{2}} +{{a}_{1}}{{r}^{3}}+\ldots +{{a}_{1}}{{r}^{n-1}}\)

მისი გამოთვლა შესაძლებელია

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \მარჯვნივ)}{1-r},~r \n1\)

მაგალითი/სავარჯიშო 4. მაგალითი 2-დან გამოთვალეთ \({{S}_{33}}\).

გამოსავალი

ამ შემთხვევაში \({{a}_{1}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\) და \(r=-4\)

მიმართვა

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \მარჯვნივ)}{1-r}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \მარჯვნივ)}^{22}}} {1-\მარცხნივ( -4 \მარჯვნივ)}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \მარჯვნივ)}^{22}}} {5}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1-{{\left(4 \მარჯვნივ)}^{22}}}{{{4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-\frac{{{\left( 4 \მარჯვნივ)}^{22}}}{{ {4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-{{4}^{7}}\)

მაგალითი/სავარჯიშო 5. დავუშვათ, რომ ადამიანი ატვირთავს თავისი შინაური ცხოველის ფოტოს და უზიარებს მას 3 მეგობარს ინტერნეტ სოციალურ ქსელში და თითოეულს ერთ საათში ისინი უზიარებენ ფოტოს სამ სხვა ადამიანს და შემდეგ ეს უკანასკნელი კიდევ ერთ საათში აზიარებს ფოტოს 3 სხვას ხალხი; და ასე გრძელდება; თითოეული ადამიანი, ვინც იღებს ფოტოს, უზიარებს მას 3 სხვა ადამიანთან ერთი საათის განმავლობაში. 15 საათში რამდენ ადამიანს აქვს უკვე ფოტო?

გამოსავალი

შემდეგი ცხრილი გვიჩვენებს პირველ გამოთვლებს
დრო ადამიანები, რომლებიც იღებენ ფოტოს ადამიანები, რომლებსაც აქვთ ფოტო
1 3 1+3=4
2 (3)(3)=32=9 4+9=13
3 32(3)= 33=27 13+27=40

ადამიანების რაოდენობა, ვინც ფოტოს იღებს \(n\) საათში უდრის: \({{3}^{n}}\)

იმ ადამიანების რაოდენობა, რომლებსაც უკვე აქვთ ფოტო საათში, უდრის:

\(3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+\ldots +{{3}^{n}}\)

მიმართვა

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \მარჯვნივ)}{1-r}\)

ერთად \({{a}_{1}}=3,\) \(r=3\) და \(n=15\)

რომლის მიხედვითაც:

\({{S}_{n}}=\frac{\left( 1-{{3}^{15}} \მარჯვნივ)}{1-3}=7174453\)

გეომეტრიული საშუალებები

მოცემულია ორი რიცხვი \(a~\) და \(b,\) რიცხვები \({{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k +1}}\) ეწოდება \(k\) რიცხვების \(a~\) და \(b\) გეომეტრიული საშუალებები; თუ თანმიმდევრობა \(a,{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},b\) არის გეომეტრიული პროგრესია.

\(k\) გეომეტრიული საშუალებების \(a~\) და \(b\) მნიშვნელობების გასაგებად, საკმარისია იცოდეთ არითმეტიკული პროგრესიის თანაფარდობა, ამისათვის გასათვალისწინებელია შემდეგი:

\(a={{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},{ {a}_{k+2}}=b,\)

ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე ვამყარებთ ურთიერთობას:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

\(d\)-ის ამოხსნით, ვიღებთ:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

\(\frac{b}{a}={{r}^{k+1}}\)

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

მაგალითი/სავარჯიშო 6. იპოვეთ 2 გეომეტრიული საშუალება -15 და 1875 რიცხვებს შორის.

გამოსავალი

განაცხადის დროს

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

\(b=375,~a=-15\) და \(k=2~\):

\(r=\sqrt[2+1]{\frac{1875}{-15}}\)

\(r=\sqrt[3]{-125}=-5\)

სამი გეომეტრიული საშუალებაა:

\(75,-375\)

მაგალითი/სავარჯიშო 7. ადამიანი 6 თვის განმავლობაში ყოველთვიურად ჩადებდა ფულს და იღებდა პროცენტს და მისი კაპიტალი 10%-ით გაიზარდა. თუ ვივარაუდოთ, რომ განაკვეთი არ შეცვლილა, რა იყო ყოველთვიური საპროცენტო განაკვეთი?

გამოსავალი

დაე, \(C\) იყოს ინვესტირებული კაპიტალი; საბოლოო კაპიტალი არის \(1.1C\); პრობლემის გადასაჭრელად უნდა მოვათავსოთ 5 გეომეტრიული საშუალება ფორმულის გამოყენებით:

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

\(k=5,~b=1.1C\) და \(a=C.\)-ით

\(r=\sqrt[5+1]{\frac{1.1C}{C}}=\sqrt[6]{1.1}=1.016\)

მიღებული თვიური განაკვეთი იყო \(1.6%\)