კვადრატული/კვარტალური განტოლების განმარტება

მეორე ხარისხის განტოლება ან, თუ ეს არ არის, კვადრატული, უცნობის მიმართ, გამოიხატება სახით:
\(a{x^2} + bx + c = 0\)
სადაც უცნობი არის \(x\), სანამ \(a, b\) და c არიან რეალური მუდმივები, \(a \ne 0.\)

არსებობს კვადრატული განტოლებების ამოხსნის რამდენიმე ტექნიკა, მათ შორის ფაქტორიზაცია, ამ შემთხვევაში რეზოლუციის მიხედვით უნდა გავითვალისწინოთ შემდეგი თვისება:

თუ ორი რიცხვის ნამრავლი არის ნული, მაშინ არსებობს ორი შესაძლებლობა:

1. ორივე ნულის ტოლია.
2. თუ ერთი არ არის ნულოვანი, მაშინ მეორე არის ნული

ზემოაღნიშნული შეიძლება გამოიხატოს შემდეგნაირად:
თუ \(pq = 0\) მაშინ \(p = 0\) ან \(q = 0\).

პრაქტიკული მაგალითი 1: ამოხსენით განტოლება \({x^2} – 8\)=0

\({x^2} - 8 = 0\)	საწყისი მდგომარეობა
\({x^2} - 8 + 8 = 8\)	დაამატეთ 8 განტოლების ორივე მხარეს, რომ ამოხსნათ \({x^2}\)
\(\sqrt {{x^2}} = \sqrt {{2^3}} = \sqrt {{2^2}2} = \sqrt {{2^2}} \sqrt 2 = 2\sqrt 2 \)	კვადრატული ფესვი მიიღება \(x.\) იზოლირების ძიებაში. 8 არის ფაქტორირებული და გამოიყენება რადიკალების და ძალების თვისებები.
\(\მარცხნივ| x \მარჯვნივ| = 2\sqrt 2 \)	თქვენ იღებთ \({x^2}\)-ის ფესვს
\(x = \pm 2\sqrt 2 \)

\({x^2} – 8\)=0 ამონახსნებია:
\(x = – 2\sqrt 2, \;2\sqrt 2 \)

პრაქტიკული მაგალითი 2: ამოხსენით განტოლება \({x^2} – 144\)=0

\({x^2} - 144 = 0\)	საწყისი მდგომარეობა
\({x^2} - {12^2} = 0\)	144-ის კვადრატული ფესვი არის 12. გამოვლენილია კვადრატების განსხვავება.
\(\მარცხნივ( {x + 12} \მარჯვნივ)\მარცხნივ( {x – 12} \მარჯვნივ) = 0\)	კვადრატების სხვაობა გათვლილია
\(x + 12 = 0\) \(x = – 12\)	ჩვენ განვიხილავთ შესაძლებლობას, რომ კოეფიციენტი \(x + 12\) იყოს 0-ის ტოლი. მიღებული განტოლება ამოხსნილია.
\(x – 12 = 0\) \(x = 12\)	ჩვენ განვიხილავთ შესაძლებლობას, რომ კოეფიციენტი \(x – 12\) უდრის 0-ს. მიღებული განტოლება ამოხსნილია.

\({x^2} – 144 = 0\) განტოლების ამონახსნებია

\(x = – 12, \;12\)

პრაქტიკული მაგალითი 3: ამოხსენით განტოლება \({x^2} + 3x = 0\)

\({x^2} + 3x = 0\)	საწყისი მდგომარეობა
\(x\მარცხნივ( {x + 3} \მარჯვნივ) = 0\)	\(x\) იდენტიფიცირებულია როგორც საერთო ფაქტორი და ხდება ფაქტორიზაცია.
\(x = 0\)	განვიხილოთ შესაძლებლობა, რომ კოეფიციენტი \(x\) უდრის 0-ს.
\(x + 3 = 0\) \(x = – 3\)	ჩვენ განვიხილავთ შესაძლებლობას, რომ კოეფიციენტი \(x – 12\) უდრის 0-ს. მიღებული განტოლება ამოხსნილია.

\({x^2} + 3x = 0\) განტოლების ამონახსნებია:
\(x = – 3.0\)

პრაქტიკული მაგალითი 4: ამოხსენით განტოლება \({x^2} – 14x + 49 = 0\)

\({x^2} - 14x + 49 = 0\)	საწყისი მდგომარეობა
\({x^2} - 14x + {7^2} = 0\)	49-ის კვადრატული ფესვი არის 7 და \(2x\მარცხნივ(7 \მარჯვნივ) = 14x.\) იდენტიფიცირებულია სრულყოფილი კვადრატული ტრინომი.
\({\ მარცხნივ( {x – 7} \მარჯვნივ)^2} = 0\)	სრულყოფილი კვადრატული ტრინომი გამოიხატება როგორც კვადრატული ბინომი.
\(x – 7 = 0\) \(x = 7\)

\({x^2} - 14x + 49 = 0\) ამონახსნი არის:
\(x = 7\)

პრაქტიკული მაგალითი 5: ამოხსენით განტოლება \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)

\(10{x^2} - 23x + 12 = 0\)	საწყისი მდგომარეობა
\(10{x^2} - 23x + 12 = 0\)	პროდუქტი \(\ მარცხნივ( {10} \მარჯვნივ)\ მარცხნივ( {12} \მარჯვნივ) = 120 = \მარცხნივ( { – 8} \მარჯვნივ)\ მარცხენა ( { – 15} \მარჯვნივ)\)
\(\ მარცხნივ( {10{x^2} - 8x} \მარჯვნივ) - 15x + 12 = 0\)	იგი გამოიხატება როგორც \( – 23x = – 18x – 15\)
\(2x\მარცხნივ( {5x – 4} \მარჯვნივ) – 3\მარცხნივ( {5x – 4} \მარჯვნივ) = 0\)	იდენტიფიცირება \(2x\), როგორც საერთო ფაქტორი პირველ დამატებაში და ფაქტორები. გამოავლინეთ \( – 3\), როგორც საერთო ფაქტორი მეორე დანამატში და დააფასეთ იგი.
\(\მარცხნივ( {5x – 4} \მარჯვნივ)\მარცხნივ( {2x – 3} \მარჯვნივ) = 0\)	შეადარეთ საერთო ფაქტორი \(5x – 4\)
\(5x – 4 = 0\) \(x = \frac{4}{5}\)	ჩვენ განვიხილავთ შესაძლებლობას, რომ კოეფიციენტი \(5x – 12\) უდრის 0-ს. მიღებული განტოლება ამოხსნილია.
\(2x – 3 = 0\) \(x = \frac{3}{2}\)	განვიხილოთ შესაძლებლობა, რომ კოეფიციენტი \(2x – 3\) უდრის 0-ს. მიღებული განტოლება ამოხსნილია.

\(10{x^2} - 23x + 12 = 0\) ამონახსნებია:
\(x = \frac{4}{5},\;\frac{3}{2}\)

პრაქტიკული მაგალითი 6: ამოხსენით განტოლება \({x^2} + 4x + 1 = 0\)

\({x^2} + 4x + 1 = 0\)	საწყისი მდგომარეობა ტრინომიალი არ არის სრულყოფილი კვადრატი
\({x^2} + 4x + 1 – 1 = – 1\)	განტოლების თითოეულ მხარეს დაამატეთ -1.
\({x^2} + 4x = – 1\)	ვინაიდან \(\frac{1}{2}\left( 4 \right) = 2\) \({2^2}\) მიმატებით, მივიღებთ სრულყოფილ კვადრატს.
\({x^2} + 4x + 4 = – 1 + 4\)	დაამატეთ \({2^2}\;\) განტოლების თითოეულ მხარეს. მარცხენა მხარე იდეალური კვადრატია.
\({\ მარცხნივ( {x + 2} \მარჯვნივ)^2} = 3\)	სრულყოფილი კვადრატული ტრინომი გამოიხატება როგორც კვადრატული ბინომი.
\(\sqrt {{{\left( {x + 2} \მარჯვნივ)}^2}} = \pm \sqrt 3 \)	აიღეთ განტოლების თითოეული მხარის კვადრატული ფესვი
\(\მარცხნივ| {x + 2} \მარჯვნივ| = \sqrt 3 \) \(x = – 2 \pm \sqrt 3 \)	ამოხსენით \(x\).

\({x^2} + 4x + 1 = 0\) ამონახსნებია:
\(x = – 2 – \sqrt 3 ,\; – 2 + \sqrt 3 \)

პრაქტიკული მაგალითი 7: ამოხსენით განტოლება \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)

\(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)	საწყისი მდგომარეობა ტრინომიალი არ არის სრულყოფილი კვადრატი.
\(5{x^2} + 3x – 1 + 1 = 1\)	დაამატეთ 1 განტოლების თითოეულ მხარეს
\(\frac{1}{5}\left( {5{x^2} + 3x} \right) = \frac{1}{5}\left(1 \მარჯვნივ)\)	გავამრავლოთ განტოლების თითოეულ მხარეს ისე, რომ \({x^2}\)-ის კოეფიციენტი იყოს 1-ის.
\({x^2} + \frac{3}{5}x = \frac{1}{5}\)	პროდუქტი ნაწილდება ვინაიდან \(\frac{1}{2}\left( {\frac{3}{5}} \right) = \frac{3}{{10}}\), \({\left( {) \frac{3}{{10}}} \right)^2} = \frac{9}{{100}}\) იძლევა სრულყოფილ კვადრატულ ტრინომს.
\({x^2} + \frac{3}{5}x + \frac{9}{{100}} = \frac{1}{5} + \frac{9}{100}}\)	დაამატეთ 3 განტოლების ორივე მხარეს, რომ ამოხსნათ \({\ left( {x + 2} \right)^2}\)
\({\ მარცხნივ( {x + \frac{3}{{10}}} \მარჯვნივ)^2}\)=\(\frac{{29}}{{100}}\)	სრულყოფილი კვადრატული ტრინომი გამოიხატება როგორც კუბური ბინომი.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{3}{{10}}} \მარჯვნივ)}^2}} = \sqrt {\frac{{29}}{{100}}} \ )	აიღეთ განტოლების თითოეული მხარის კვადრატული ფესვი
\(x = – \frac{3}{{10}} \pm \frac{{\sqrt {29} }}{{10}}\)	ამოხსენით \(x\).

\(5{x^2} + 3x – 1 = 0\) ამონახსნებია:
\(x = – \frac{{3 + \sqrt {29} }}{{10}},\; – \frac{{3 – \sqrt {29} }}{{10}}\)

ზემოთ მოყვანილ განტოლებაში გამოყენებული პროცედურა გამოყენებული იქნება იმის მოსაძებნად, რასაც ეწოდება კვადრატული ამონახსნების ზოგადი ფორმულა.

მეორე ხარისხის განტოლების ზოგადი ფორმულა.

კვადრატული განტოლებების ზოგადი ფორმულა

ამ განყოფილებაში ჩვენ გავიგებთ, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ, ზოგადად, კვადრატული განტოლება

\(a \ne 0\)-ით განვიხილოთ განტოლება \(a{x^2} + bx + c = 0\).

\(a{x^2} + bx + c = a\ მარცხენა ( {{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \მარჯვნივ) = 0\)

ვინაიდან \(a \ne 0\) საკმარისია ამოხსნათ:

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)	საწყისი მდგომარეობა
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} – \frac{c}{a} = – \frac{c}{a}\)	დაამატეთ \( – \frac{c}{a}\) განტოლების თითოეულ მხარეს.
\({x^2} + \frac{b}{a}x = – \frac{c}{a}\)	ვინაიდან \(\frac{1}{2}\left( {\frac{b}{a}} \right) = \frac{b}{{2a}}\), \({\left( { \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}\) იძლევა სრულყოფილ კვადრატულ ტრინომს.
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2}} }{{4{a^2}}} – \frac{c}{a}\)	განტოლების მარცხენა მხარე არის სრულყოფილი კვადრატული ტრინომი.
\({\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \მარჯვნივ)^2} = \frac{{{b^2} – 4{a^2}c}}{{4{ a^2}}}\)	სრულყოფილი კვადრატული ტრინომი გამოიხატება როგორც კვადრატული ბინომი. ალგებრული წილადი შესრულებულია.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \მარჯვნივ)}^2}} = \sqrt {\frac{{{b^2} – 4{a^ 2}c}}{{4{a^2}}}} \)	აიღეთ განტოლების თითოეული მხარის კვადრატული ფესვი.
\(\left| {x + \frac{b}{{2a}}} \right| = \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a} }\)	გამოიყენება რადიკალური თვისებები.
\(x + \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a}}\)	მოქმედებს აბსოლუტური მნიშვნელობის თვისებები.
\(x + \frac{b}{{2a}} – \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} - 4{a^2}c} } }{{2a}} – \frac{b}{{2a}}\)	განტოლების თითოეულ მხარეს დაამატეთ \( – \frac{b}{{2a}}\), რათა ამოხსნათ \(x\)
\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)	ალგებრული წილადი შესრულებულია.

ტერმინს \({b^2} – 4{a^2}c\) ეწოდება კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი \(a{x^2} + bx + c = 0\).

როდესაც ზემოაღნიშნული განტოლების დისკრიმინანტი უარყოფითია, ამონახსნები რთული რიცხვებია და რეალური ამონახსნები არ არსებობს. კომპლექსური გადაწყვეტილებები არ იქნება გაშუქებული ამ შენიშვნაში.

მოცემულია კვადრატული განტოლება \(a{x^2} + bx + c = 0\), თუ \({b^2} – 4{a^2}c \ge 0\). მაშინ ამ განტოლების ამონახსნებია:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

\(\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

გამოთქმა:

\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

მას ეწოდება კვადრატული განტოლების ზოგადი ფორმულა.

პრაქტიკული მაგალითი 8: ამოხსენით განტოლება \(3{x^2} – 2x – 5 = 0\)

\(მდე\)	\(ბ\)	\(c\)	დისკრიმინაციული	რეალური გადაწყვეტილებები
\(3\)	\( – 2\)	\( – 5\)	\({2^2} – 4\მარცხნივ( 3 \მარჯვნივ)\მარცხნივ( { – 5} \მარჯვნივ) = 4 + 60 = 64\)	\(x = \frac{{ – \left( { – 2} \right) \pm \sqrt {64} }}{{2\left(3 \მარჯვნივ)}} = \frac{{2 \pm 8} {6}\)

განტოლების ამონახსნებია:
\(\alpha = – 1,\;\beta = \frac{5}{3}\)

პრაქტიკული მაგალითი 9: ამოხსენით განტოლება \( – 4{x^2} + 3x + 9 = 0\)

\(მდე\)	\(ბ\)	\(c\)	დისკრიმინაციული	რეალური გადაწყვეტილებები
\( – 4\)	3	9	\({3^2} – 4\მარცხნივ( { – 4} \მარჯვნივ)\მარცხნივ(9 \მარჯვნივ) = 9 + 144 = 153\) \(153 = 9\მარცხნივ( {17} \მარჯვნივ)\)	\(x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {9\left( {17} \მარჯვნივ)} }}{{2\left( { – 4} \მარჯვნივ)}} = \frac{{ – 3 \pm 3\sqrt {17} }}{{ – 8}}\)

განტოლების ამონახსნებია:
\(\alpha = \frac{{3 – 3\sqrt {17} }}{8},\;\beta = \frac{{3 + 3\sqrt {17} }}{8}\)

პრაქტიკული მაგალითი 10: ამოხსენით განტოლება \(5{x^2} – 4x + 1 = 0\)

\(მდე\)	\(ბ\)	\(c\)	დისკრიმინაციული	რეალური გადაწყვეტილებები
\(5\)	-4	\(1\)	\({\ მარცხნივ ( { – 4} \მარჯვნივ) ^2} – 4 \ მარცხნივ ( 5 \მარჯვნივ) \ მარცხნივ ( 1 \მარჯვნივ) = 16 – 20 = – 4\)	Არ აქვს

სხვადასხვა განტოლებები

არსებობს არაკვადრატული განტოლებები, რომლებიც შეიძლება გადაკეთდეს კვადრატულ განტოლებად.ჩვენ ვნახავთ ორ შემთხვევას.

პრაქტიკული მაგალითი 11: განტოლების რეალური ამონახსნების პოვნა \(6x = 5 – 13\sqrt x \)

\(y = \sqrt x\) ცვლადის ცვლილების შეტანისას წინა განტოლება რჩება:

\(6{y^2} = 5 - 13y\)

\(6{y^2} + 13y - 5 = 0\)

\(6{y^2} + 15y - 2y - 5 = 0\)

\(3წ\მარცხნივ( {2y + 5} \მარჯვნივ) – \მარცხნივ( {2y + 5} \მარჯვნივ) = 0\)

\(\ მარცხნივ( {2წ + 5} \მარჯვნივ)\მარცხნივ( {3წ – 1} \მარჯვნივ) = 0\)

ამიტომ \(y = – \frac{2}{5},\;\frac{1}{3}\).

ვინაიდან \(\sqrt x \) მხოლოდ დადებით მნიშვნელობებს აღნიშნავს, ჩვენ მხოლოდ განვიხილავთ:

\(\sqrt x = \;\frac{1}{3}\)

პასუხი:

ერთადერთი რეალური გამოსავალი არის:
\(x = \frac{1}{9}\)

ნამუშევარი მაგალითი 12: ამოხსენით განტოლება \(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} – \sqrt {\frac{{x – 5}}{x}} = \frac{5}{6 }\)

ცვლადის ცვლილების შეტანა:

\(y = \sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} \)

ჩვენ ვიღებთ განტოლებას:

\(y – \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\)

\(6{y^2} – 6 = 5y\)

\(6{y^2} – 5y – 6 = 0\)

\(6{y^2} – 9y + 4y – 6 = 0\)

\(3წ\მარცხნივ( {2y - 3} \მარჯვნივ) + 2\მარცხნივ( {2y - 3} \მარჯვნივ) = 0\)

\(\ მარცხნივ ( {2 წ - 3} \მარჯვნივ)\ მარცხნივ ( {3 წ + 2} \მარჯვნივ) = 0\)

\(y\)-ის შესაძლო მნიშვნელობებია:

\(y = – \frac{2}{3},\;\frac{3}{2}\)

ზემოაღნიშნულიდან ჩვენ მხოლოდ დადებით გადაწყვეტას განვიხილავთ.

\(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} = \frac{3}{2}\)

\(\frac{x}{{x – 5}} = \frac{9}{4}\)

\(4x = 9x - 45\)

\(5x = 45\)

\(x = 9.\)

ამონახსნები არის \(x = 9.\)