ექსპონენციალური ფუნქციის განმარტება
ინჰიბირება სიმების თეორია / / April 02, 2023
მათემატიკის მაგისტრი, მეცნიერებათა დოქტორი
ექსპონენციალური ფუნქცია აყალიბებს სხვადასხვა ბუნებრივ მოვლენებს და სოციალურ და ეკონომიკურ სიტუაციებს, რის გამოც მნიშვნელოვანია ექსპონენციალური ფუნქციების იდენტიფიცირება სხვადასხვა კონტექსტში.
გავიხსენოთ, რომ რიცხვისთვის \({a^1} = a,{a^2} = aa,\;{a^3} = aaa\) არის განსაზღვრული, ზოგადად გვაქვს ეს ნებისმიერი \(n\). ) რიცხვი ბუნებრივი:
\(a \ne 0\) შემთხვევაში გვაქვს: \({a^0} = 1,\;\) ფაქტობრივად, როდესაც \(a \ne 0,\) აზრი აქვს ოპერაციის გაკეთებას \ (\frac{a}{a} = 1;\) მაჩვენებლების კანონის გამოყენებისას გვაქვს:
\(\frac{a}{a} = 1\)
\({a^{1 – 1}} = 1\)
\({a^0} = 1.\)
როდესაც \(a = 0\), წინა მსჯელობას აზრი არ აქვს, ამიტომ გამოთქმას \({0^0},\) აკლია მათემატიკური ინტერპრეტაცია.
იმ შემთხვევაში, თუ \(b > 0\) და მართალია, რომ \({b^n} = a,\) ნათქვამია, რომ \(b\) არის \(a\)-ის მე-n ფესვი და ჩვეულებრივ არის აღინიშნება როგორც \ (b = {a^{\frac{1}{n}}},\;\) ან \(b = \sqrt[n]{a}\).
როდესაც \(a < 0\), არ არსებობს რეალური რიცხვი \(b\) ისეთი, რომ \({b^2} = a;\) რადგან \({b^2} \ge 0;\;\ ) ფორმის გამონათქვამები \({a^{\frac{m}{n}}}\), არ განიხილება \(a < 0.\) შემდეგ ალგებრულ გამონათქვამში: \({a^n}\) \(a \ ) ეწოდება ბაზა, ხოლო \(n\) არის ეწოდება მაჩვენებელს, \({a^n}\)ეწოდება \(a\)-ის სიმძლავრე\(\;n\) ან ასევე ეწოდება \(a\) სიმძლავრის \(n,\;\)se დაიცვას შემდეგი კანონები ექსპონენტებიდან:
\({a^n}{a^m} = {a^{n + m}}\) | \(\frac{{{a^n}}}{{{a^m}}} = {a^{n – m}}\) | \({\ მარცხნივ( {{a^n}} \მარჯვნივ)^m} = {a^{nm}} = {\ მარცხნივ( {{a^m}} \მარჯვნივ)^n}\) |
---|---|---|
\(\frac{1}{{{a^n}}} = {a^{ – n}}\) | \({a^n} = \frac{1}{{{a^{ – n}}}}\) | \({\ მარცხნივ( {\frac{1}{a}} \მარჯვნივ)^n} = \frac{1}{{{a^n}}}\) |
\({\ მარცხნივ( {ab} \მარჯვნივ)^n} = {a^n}{b^n}\) | \({\ left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \მარჯვნივ)^m} = {\ left( {{a^m}} \მარჯვნივ)^{\frac{1} {n}}} = {a^{\frac{m}{n}}}\) | \({a^0} = 1\) თითოეული \(a \ne 0\) |
ექსპონენციალური ფუნქცია ასეთია:
\(f\მარცხნივ( x \მარჯვნივ) = {a^x}\)
სადაც \(a > 0\) არის მუდმივი და დამოუკიდებელი ცვლადი არის მაჩვენებლის \(x\).
ექსპონენციალური ფუნქციის ანალიზის გასაკეთებლად განვიხილავთ სამ შემთხვევას
შემთხვევა 1 როდესაც ბაზა \(a = 1.\)
ამ შემთხვევაში, \(a = 1,\) ფუნქცია \(f\left( x \right) = {a^x}\) არის მუდმივი ფუნქცია.
შემთხვევა 2 როდესაც საფუძველი \(a > 1\)
ამ შემთხვევაში გვაქვს შემდეგი:
\(x\)-ის მნიშვნელობა | |
---|---|
\(x <0\) | \(0 < {a^x} <1\) |
\(x = 0\) | \({a^0} = 1\) |
\(0 < x < 1\) | \(1 < {a^x} |
\(x = 1\) | \({a^x} = 1\) |
\(x > 1\) | \(a < {a^x}\) |
ფუნქცია \(f\left( x \right) = {a^x}\) არის მკაცრად მზარდი ფუნქცია, ანუ თუ \({x_2} > {x_1}\), მაშინ:
\({a^{{x_2}}} > a_{}^{{x_2}}\)
\(f\ მარცხენა ( {{x_2}} \მარჯვნივ) > f\ მარცხენა ( {{x_1}} \მარჯვნივ)\)
როდესაც ფენომენი მოდელირებულია ექსპონენციალური ფუნქციით, \(a > 1\), ჩვენ ვამბობთ, რომ ის წარმოადგენს ექსპონენციალურ ზრდას.
შემთხვევა 2 როდესაც საფუძველი \(a < 1\).
\(x\)-ის მნიშვნელობა | |
---|---|
\(x <0\) | \({a^x} > 1\) |
\(x = 0\) | \({a^0} = 1\) |
\(0 < x < 1\) | \(0 < {a^x} <1\) |
\(x = 0\) | \({a^x} = 1\) |
\(x > 1\) | \(0 < {a^x} < a < 1\) |
როდესაც \(a < 1\), ფუნქცია \(f\left( x \right) = {a^x}\) არის მკაცრად კლებადი ფუნქცია, ანუ თუ \({x_2} > {x_1}\ ), ისე:
\({a^{{x_2}}} < a_{}^{{x_1}}\) \(f\ მარცხნივ( {{x_2}} \მარჯვნივ) < f\ მარცხენა ( {{x_1}} \მარჯვნივ) \) როცა ფენომენი არის მოდელები ექსპონენციალური ფუნქციით, \(a < 1\), ჩვენ ვამბობთ, რომ ის წარმოადგენს დაშლას ან შემცირებას ექსპონენციალური. შემდეგი გრაფიკი ასახავს \({a^x}\) ქცევას მის სამ სხვადასხვა შემთხვევაში.
ექსპონენციალური ფუნქციის გამოყენება
მაგალითი 1 მოსახლეობის ზრდა
ჩვენ აღვნიშნავთ \({P_0}\) საწყის პოპულაციას და \(r \ge 0\) მოსახლეობის ზრდის ტემპს, თუ მოსახლეობის მაჩვენებელი დროთა განმავლობაში უცვლელი რჩება; ფუნქცია
\(P\left(t \მარჯვნივ) = {P_0}{\left( {1 + r} \მარჯვნივ)^t};\)
იპოვეთ მოსახლეობა t დროს.
პრაქტიკული მაგალითი 1
მექსიკის მოსახლეობა 2021 წელს არის 126 მილიონი და წარმოადგინა წლიური ზრდა 1.1%-ით. თუ ეს ზრდა შენარჩუნდება, რამდენი მოსახლეობა იქნება მექსიკაში 2031 წელს, წელს 2021?
გამოსავალი
ამ შემთხვევაში \({P_o} = 126\) და \(r = \frac{{1.1}}{{100}} = 0.011\), ასე რომ თქვენ უნდა გამოიყენოთ:
\(P\left(t \მარჯვნივ) = {P_0}{\left( {1 + .0011} \მარჯვნივ)^t}\)
შემდეგი ცხრილი აჩვენებს შედეგებს
წელიწადი | გასული დრო (\(t\)) | Გაანგარიშება | მოსახლეობა (მილიონები) |
---|---|---|---|
2021 | 0 | \(P\left(t \მარჯვნივ) = 126{\left( {1.0011} \მარჯვნივ)^0}\) | 126 |
2031 | 10 | \(P\left(t \მარჯვნივ) = 126{\left( {1.0011} \მარჯვნივ)^{10}}\) | 140.57 |
2051 | 30 | \(P\left(t \მარჯვნივ) = 126{\მარცხენა( {1.0011} \მარჯვნივ)^{30}}\) | 174.95 |
მაგალითი 2 რთული პროცენტის გაანგარიშება
ბანკები გვთავაზობენ წლიურ საპროცენტო განაკვეთს, მაგრამ რეალური განაკვეთი დამოკიდებულია იმაზე, თუ რამდენ თვეში ჩადებთ მას; მაგალითად, თუ შემოგთავაზებთ წლიურ საპროცენტო განაკვეთს r%, რეალური თვიური განაკვეთი არის \(\frac{r}{{12}}\)%, ორთვიანი განაკვეთი არის \(\frac{r}{6}\)%, კვარტალური არის \(\frac{r}{4}\)%, კვარტალური არის \(\frac{r}{3}\)%, ხოლო სემესტრი არის \(\frac{r}{2}\)%.
პრაქტიკული მაგალითი 2
დავუშვათ, თქვენ ინვესტირებას ახორციელებთ 10000 ბანკში და შემოგთავაზებთ შემდეგ წლიურ საპროცენტო განაკვეთებს:
ვადიანი დეპოზიტები | Წლიური განაკვეთი | პერიოდები წელიწადში | ფაქტობრივი განაკვეთი | დაგროვილი თანხა \(k\) თვეში |
---|---|---|---|---|
ორი თვე | 0.55% | 6 | \(\frac{{0.55\% }}{6} = 0.091667{\rm{\% }}\) | \(10000{\მარცხნივ( {1 + 0.00091667} \მარჯვნივ)^{\frac{k}{2}}}\) |
სამი თვე | 1.87% | 4 | \(\frac{{1.87\% }}{4} = 0.4675{\rm{\% }}\) | \(10000{\მარცხნივ( {1 + 0.00461667} \მარჯვნივ)^{\frac{k}{3}}}\) |
ექვსი თვე | 1.56% | 2 | \(\frac{{1.56\% }}{4} = 0.78{\rm{\% }}\) | \(10000{\მარცხნივ( {1 + 0.0078} \მარჯვნივ)^{\frac{k}{6}}}\) |
რიცხვი \(e\), ეილერის მუდმივი და უწყვეტი ინტერესი.
ახლა დავუშვათ, რომ გვაქვს საწყისი კაპიტალი \(C\) და ჩავდებთ მას ფიქსირებული განაკვეთით \(r > 0\) და წელი ვყოფთ \(n\) პერიოდებად; წელიწადში დაგროვილი კაპიტალი უდრის:
\(A = \;C{\მარცხნივ( {1 + \frac{r}{n}} \მარჯვნივ)^n}\)
იმის გასაანალიზებლად, თუ როგორ იქცევა დაგროვილი კაპიტალი, როდესაც \(n\), იზრდება, ჩვენ გადავიწერთ დაგროვილ კაპიტალს ერთ წელიწადში:
\(A = \;C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \მარჯვნივ)^n}\)\(A = \;C{\left( {1 + \frac{1} {{\frac{n}{r}}}} \მარჯვნივ)^{\left( {\frac{n}{r}} \მარჯვნივ) r}},\)
ვაკეთებთ \(m = \frac{n}{r}\), ვიღებთ:
\(A = C{\ მარცხნივ( {1 + \frac{1}{m}} \მარჯვნივ)^{mr}}\)\(A = C{\ მარცხნივ( {{{\ მარცხნივ( {1 + \ frac{1}{m}} \right)}^m}} \right)^r}.\)
როგორც \(n\) იზრდება, ასევე იზრდება \(m = \frac{n}{r}.\)
როდესაც \(m = \frac{n}{r},\) იზრდება, გამოხატულება \({\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)^m}\) უახლოვდება იმას, რასაც ე.წ. ეილერის მუდმივი ან რიცხვი:
\(e \დაახლოებით 2.718281828 \ldots .\)
ეილერის მუდმივას არ აქვს სასრული ან პერიოდული ათობითი გამოხატულება.
გვაქვს შემდეგი მიახლოებები
\(C{\left( {{{\left( {1 + \frac{1}{m}} \მარჯვნივ)}^m}} \მარჯვნივ)^r} \დაახლოებით C{e^r},\) \(C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \მარჯვნივ)^{ns}} \დაახლოებით C{e^{rs}}.\)
გამოთქმაზე:
\(A = \;C{e^r},\)
ჩვენ შეგვიძლია მისი ინტერპრეტაცია ორი გზით:
1.- როგორც მაქსიმალური თანხა, რომელიც შეგვიძლია დავაგროვოთ წელიწადში, როდესაც ვახორციელებთ კაპიტალს \(C,\;\) წლიური განაკვეთით \(r.\)
2.- როგორც თანხა, რომელსაც დავაგროვებდით, ერთ წელიწადში, თუ ჩვენი კაპიტალი მუდმივად რეინვესტირდება წლიური კურსით \(r.\)
\(T\left(s \მარჯვნივ) = \;C{e^{rs}},\)
არის დაგროვილი თანხა, თუ \(s\) წლები ჩადებულია უწყვეტი პროცენტით.
კონკრეტული მაგალითი 3
ახლა ჩვენ დავუბრუნდებით კონკრეტული მაგალითი 2-ის ნაწილს, სადაც წლიური განაკვეთი არის 0.55% ორთვიანი განვადებით. გამოთვალეთ კაპიტალი, რომელიც გროვდება, თუ საწყისი კაპიტალი არის 10,000 და რეინვესტირებას განახორციელებს ნახევარი წლის, ორი წლის, 28 თვის განმავლობაში.
\(10{\მარცხნივ( {1.00091667} \მარჯვნივ)^{\frac{6}{2}}} = 10.{\rm{\;}}027525\)
როგორც ქვემოთ მოცემულია ცხრილი, \(m = \frac{n}{r},\) მნიშვნელობა არ არის „პატარა“ და ზემოთ მოცემული ცხრილი მიუთითებს, რომ \({\left( {1 + \frac{1}{1}{101} m}} \right)^m}\) ახლოს არის ეილერის მუდმივთან.
დრო | პერიოდების რაოდენობა (\(k\)) | დაგროვილი კაპიტალი, ათასობით, ყოველ ორ თვეში ერთხელ რეინვესტირდება |
---|---|---|
Ნახევარი წელი | 3 | \(10{\მარცხნივ( {1.00091667} \მარჯვნივ)^3} = 10.{\rm{\;}}027525\) |
ორი წელი | 12 | \(10{\მარცხნივ( {1.00091667} \მარჯვნივ)^{12}} = 10110.{\rm{\;}}557\) |
38 თვე | 19 | \(10{\მარცხნივ( {1.00091667} \მარჯვნივ)^{19}} = 10.\;175612\) |
დრო | წლების დრო (\(s\)) | დაგროვილი კაპიტალი, ათასობით, ინვესტირებას უწყვეტი პროცენტით |
---|---|---|
Ნახევარი წელი | \(s = \frac{1}{2}\) | \(10{e^{0.0055\მარცხნივ( {\frac{1}{2}} \მარჯვნივ)}} = 10.{\rm{\;}}027538\) |
ორი წელი | \(s = 2\) | \(10{\ მარცხნივ( {1.00091667} \მარჯვნივ)^{0.0055\left( 2 \მარჯვნივ)}} = 10110.{\rm{\;}}607\) |
38 თვე | \(s = \frac{19}}{6}\) | \(10{\მარცხნივ( {1.00091667} \მარჯვნივ)^{\frac{{19}}{6}}} = 10.\;175692\) |
მაგალითი 2 ამორტიზაცია
პრაქტიკული მაგალითი 1
კომპიუტერი ყოველწლიურად მცირდება 30%-ით, თუ კომპიუტერი ღირდა $20,000 პესო, განსაზღვრეთ კომპიუტერის ფასი \(t = 1,12,\;14,\;38\) თვის განმავლობაში.
ამ შემთხვევაში ადამიანს აქვს:
\(P\left(t \მარჯვნივ) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 - 0.30} \მარჯვნივ)^t}\)
\(t\) წლებით, შემდეგ ცხრილში \(t\) ჩანაცვლება იძლევა
დრო თვეებში | დრო წლებში | გამოთვლები | რიცხვითი მნიშვნელობა |
---|---|---|---|
1 | \(\frac{1}{{12}}\) | \(P\left( t \მარჯვნივ) = 20000{\rm{\;}}{\ left( {1 – .30} \მარჯვნივ)^{\frac{1}{{12}}}}\) | 19414.289 |
12 | 1 | \(P\left(t \მარჯვნივ) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \მარჯვნივ)^1}\) | 14000 |
14 | \(\frac{7}{6}\) | \(P\left( t \მარჯვნივ) = 20000{\rm{\;}}{\ left( {1 - .30} \მარჯვნივ)^{\frac{7}{6}}}\) | 13192.012 |
38 | \(\frac{{19}}{6}\) | \(P\left( t \მარჯვნივ) = 20000{\rm{\;}}{\ left( {1 - .30} \მარჯვნივ)^{\frac{7}{6}}}\) | 6464.0859 |