ექსპონენციალური ფუნქციის განმარტება

ინჰიბირება სიმების თეორია / by admin / April 02, 2023

მარკო ანტონიო როდრიგეს ანდრადე
მათემატიკის მაგისტრი, მეცნიერებათა დოქტორი

ექსპონენციალური ფუნქცია აყალიბებს სხვადასხვა ბუნებრივ მოვლენებს და სოციალურ და ეკონომიკურ სიტუაციებს, რის გამოც მნიშვნელოვანია ექსპონენციალური ფუნქციების იდენტიფიცირება სხვადასხვა კონტექსტში.

გავიხსენოთ, რომ რიცხვისთვის ${a^1} = a,{a^2} = aa,\;{a^3} = aaa$ არის განსაზღვრული, ზოგადად გვაქვს ეს ნებისმიერი $n$. ) რიცხვი ბუნებრივი:

$a \ne 0$ შემთხვევაში გვაქვს: ${a^0} = 1,\;$ ფაქტობრივად, როდესაც $a \ne 0,$ აზრი აქვს ოპერაციის გაკეთებას \ (\frac{a}{a} = 1;\) მაჩვენებლების კანონის გამოყენებისას გვაქვს:

$\frac{a}{a} = 1$

${a^{1 – 1}} = 1$

${a^0} = 1.$

როდესაც $a = 0$, წინა მსჯელობას აზრი არ აქვს, ამიტომ გამოთქმას ${0^0},$ აკლია მათემატიკური ინტერპრეტაცია.

იმ შემთხვევაში, თუ $b > 0$ და მართალია, რომ ${b^n} = a,$ ნათქვამია, რომ $b$ არის $a$-ის მე-n ფესვი და ჩვეულებრივ არის აღინიშნება როგორც \ (b = {a^{\frac{1}{n}}},\;\) ან $b = \sqrt[n]{a}$.

როდესაც $a < 0$, არ არსებობს რეალური რიცხვი $b$ ისეთი, რომ ${b^2} = a;$ რადგან ${b^2} \ge 0;\;\ ) ფორმის გამონათქვამები \({a^{\frac{m}{n}}}$, არ განიხილება $a < 0.$ შემდეგ ალგებრულ გამონათქვამში: ${a^n}$ $a \ ) ეწოდება ბაზა, ხოლო \(n$ არის ეწოდება მაჩვენებელს, ${a^n}$ეწოდება $a$-ის სიმძლავრე$\;n$ ან ასევე ეწოდება $a$ სიმძლავრის $n,\;$se დაიცვას შემდეგი კანონები ექსპონენტებიდან:

instagram story viewer

${a^n}{a^m} = {a^{n + m}}$	$\frac{{{a^n}}}{{{a^m}}} = {a^{n – m}}$	${\ მარცხნივ( {{a^n}} \მარჯვნივ)^m} = {a^{nm}} = {\ მარცხნივ( {{a^m}} \მარჯვნივ)^n}$
$\frac{1}{{{a^n}}} = {a^{ – n}}$	${a^n} = \frac{1}{{{a^{ – n}}}}$	${\ მარცხნივ( {\frac{1}{a}} \მარჯვნივ)^n} = \frac{1}{{{a^n}}}$
${\ მარცხნივ( {ab} \მარჯვნივ)^n} = {a^n}{b^n}$	${\ left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \მარჯვნივ)^m} = {\ left( {{a^m}} \მარჯვნივ)^{\frac{1} {n}}} = {a^{\frac{m}{n}}}$	${a^0} = 1$ თითოეული $a \ne 0$

ექსპონენციალური ფუნქცია ასეთია:

$f\მარცხნივ( x \მარჯვნივ) = {a^x}$

სადაც $a > 0$ არის მუდმივი და დამოუკიდებელი ცვლადი არის მაჩვენებლის $x$.

ექსპონენციალური ფუნქციის ანალიზის გასაკეთებლად განვიხილავთ სამ შემთხვევას

შემთხვევა 1 როდესაც ბაზა $a = 1.$

ამ შემთხვევაში, $a = 1,$ ფუნქცია $f\left( x \right) = {a^x}$ არის მუდმივი ფუნქცია.

შემთხვევა 2 როდესაც საფუძველი $a > 1$

ამ შემთხვევაში გვაქვს შემდეგი:

$x$-ის მნიშვნელობა
$x <0$	$0 < {a^x} <1$
$x = 0$	${a^0} = 1$
$0 < x < 1$	\(1 < {a^x}
$x = 1$	${a^x} = 1$
$x > 1$	$a < {a^x}$

ფუნქცია $f\left( x \right) = {a^x}$ არის მკაცრად მზარდი ფუნქცია, ანუ თუ ${x_2} > {x_1}$, მაშინ:

${a^{{x_2}}} > a_{}^{{x_2}}$

$f\ მარცხენა ( {{x_2}} \მარჯვნივ) > f\ მარცხენა ( {{x_1}} \მარჯვნივ)$

როდესაც ფენომენი მოდელირებულია ექსპონენციალური ფუნქციით, $a > 1$, ჩვენ ვამბობთ, რომ ის წარმოადგენს ექსპონენციალურ ზრდას.

შემთხვევა 2 როდესაც საფუძველი $a < 1$.

$x$-ის მნიშვნელობა
$x <0$	${a^x} > 1$
$x = 0$	${a^0} = 1$
$0 < x < 1$	$0 < {a^x} <1$
$x = 0$	${a^x} = 1$
$x > 1$	$0 < {a^x} < a < 1$

როდესაც $a < 1$, ფუნქცია $f\left( x \right) = {a^x}$ არის მკაცრად კლებადი ფუნქცია, ანუ თუ \({x_2} > {x_1}\ ), ისე:

${a^{{x_2}}} < a_{}^{{x_1}}$ $f\ მარცხნივ( {{x_2}} \მარჯვნივ) < f\ მარცხენა ( {{x_1}} \მარჯვნივ) $ როცა ფენომენი არის მოდელები ექსპონენციალური ფუნქციით, $a < 1$, ჩვენ ვამბობთ, რომ ის წარმოადგენს დაშლას ან შემცირებას ექსპონენციალური. შემდეგი გრაფიკი ასახავს ${a^x}$ ქცევას მის სამ სხვადასხვა შემთხვევაში.

ექსპონენციალური ფუნქციის გამოყენება

მაგალითი 1 მოსახლეობის ზრდა

ჩვენ აღვნიშნავთ ${P_0}$ საწყის პოპულაციას და $r \ge 0$ მოსახლეობის ზრდის ტემპს, თუ მოსახლეობის მაჩვენებელი დროთა განმავლობაში უცვლელი რჩება; ფუნქცია

$P\left(t \მარჯვნივ) = {P_0}{\left( {1 + r} \მარჯვნივ)^t};$

იპოვეთ მოსახლეობა t დროს.

პრაქტიკული მაგალითი 1

მექსიკის მოსახლეობა 2021 წელს არის 126 მილიონი და წარმოადგინა წლიური ზრდა 1.1%-ით. თუ ეს ზრდა შენარჩუნდება, რამდენი მოსახლეობა იქნება მექსიკაში 2031 წელს, წელს 2021?

გამოსავალი

ამ შემთხვევაში ${P_o} = 126$ და $r = \frac{{1.1}}{{100}} = 0.011$, ასე რომ თქვენ უნდა გამოიყენოთ:

$P\left(t \მარჯვნივ) = {P_0}{\left( {1 + .0011} \მარჯვნივ)^t}$

შემდეგი ცხრილი აჩვენებს შედეგებს

წელიწადი	გასული დრო ($t$)	Გაანგარიშება	მოსახლეობა (მილიონები)
2021	0	$P\left(t \მარჯვნივ) = 126{\left( {1.0011} \მარჯვნივ)^0}$	126
2031	10	$P\left(t \მარჯვნივ) = 126{\left( {1.0011} \მარჯვნივ)^{10}}$	140.57
2051	30	$P\left(t \მარჯვნივ) = 126{\მარცხენა( {1.0011} \მარჯვნივ)^{30}}$	174.95

მაგალითი 2 რთული პროცენტის გაანგარიშება

ბანკები გვთავაზობენ წლიურ საპროცენტო განაკვეთს, მაგრამ რეალური განაკვეთი დამოკიდებულია იმაზე, თუ რამდენ თვეში ჩადებთ მას; მაგალითად, თუ შემოგთავაზებთ წლიურ საპროცენტო განაკვეთს r%, რეალური თვიური განაკვეთი არის $\frac{r}{{12}}$%, ორთვიანი განაკვეთი არის $\frac{r}{6}$%, კვარტალური არის $\frac{r}{4}$%, კვარტალური არის $\frac{r}{3}$%, ხოლო სემესტრი არის $\frac{r}{2}$%.

პრაქტიკული მაგალითი 2

დავუშვათ, თქვენ ინვესტირებას ახორციელებთ 10000 ბანკში და შემოგთავაზებთ შემდეგ წლიურ საპროცენტო განაკვეთებს:

ვადიანი დეპოზიტები	Წლიური განაკვეთი	პერიოდები წელიწადში	ფაქტობრივი განაკვეთი	დაგროვილი თანხა $k$ თვეში
ორი თვე	0.55%	6	$\frac{{0.55\% }}{6} = 0.091667{\rm{\% }}$	$10000{\მარცხნივ( {1 + 0.00091667} \მარჯვნივ)^{\frac{k}{2}}}$
სამი თვე	1.87%	4	$\frac{{1.87\% }}{4} = 0.4675{\rm{\% }}$	$10000{\მარცხნივ( {1 + 0.00461667} \მარჯვნივ)^{\frac{k}{3}}}$
ექვსი თვე	1.56%	2	$\frac{{1.56\% }}{4} = 0.78{\rm{\% }}$	$10000{\მარცხნივ( {1 + 0.0078} \მარჯვნივ)^{\frac{k}{6}}}$

რიცხვი $e$, ეილერის მუდმივი და უწყვეტი ინტერესი.

ახლა დავუშვათ, რომ გვაქვს საწყისი კაპიტალი $C$ და ჩავდებთ მას ფიქსირებული განაკვეთით $r > 0$ და წელი ვყოფთ $n$ პერიოდებად; წელიწადში დაგროვილი კაპიტალი უდრის:

$A = \;C{\მარცხნივ( {1 + \frac{r}{n}} \მარჯვნივ)^n}$

იმის გასაანალიზებლად, თუ როგორ იქცევა დაგროვილი კაპიტალი, როდესაც $n$, იზრდება, ჩვენ გადავიწერთ დაგროვილ კაპიტალს ერთ წელიწადში:

$A = \;C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \მარჯვნივ)^n}$$A = \;C{\left( {1 + \frac{1} {{\frac{n}{r}}}} \მარჯვნივ)^{\left( {\frac{n}{r}} \მარჯვნივ) r}},$

ვაკეთებთ $m = \frac{n}{r}$, ვიღებთ:

$A = C{\ მარცხნივ( {1 + \frac{1}{m}} \მარჯვნივ)^{mr}}$$A = C{\ მარცხნივ( {{{\ მარცხნივ( {1 + \ frac{1}{m}} \right)}^m}} \right)^r}.$

როგორც $n$ იზრდება, ასევე იზრდება $m = \frac{n}{r}.$

როდესაც $m = \frac{n}{r},$ იზრდება, გამოხატულება ${\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)^m}$ უახლოვდება იმას, რასაც ე.წ. ეილერის მუდმივი ან რიცხვი:

$e \დაახლოებით 2.718281828 \ldots .$

ეილერის მუდმივას არ აქვს სასრული ან პერიოდული ათობითი გამოხატულება.

გვაქვს შემდეგი მიახლოებები

$C{\left( {{{\left( {1 + \frac{1}{m}} \მარჯვნივ)}^m}} \მარჯვნივ)^r} \დაახლოებით C{e^r},$ $C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \მარჯვნივ)^{ns}} \დაახლოებით C{e^{rs}}.$

გამოთქმაზე:

$A = \;C{e^r},$

ჩვენ შეგვიძლია მისი ინტერპრეტაცია ორი გზით:

1.- როგორც მაქსიმალური თანხა, რომელიც შეგვიძლია დავაგროვოთ წელიწადში, როდესაც ვახორციელებთ კაპიტალს $C,\;$ წლიური განაკვეთით $r.$

2.- როგორც თანხა, რომელსაც დავაგროვებდით, ერთ წელიწადში, თუ ჩვენი კაპიტალი მუდმივად რეინვესტირდება წლიური კურსით $r.$

$T\left(s \მარჯვნივ) = \;C{e^{rs}},$

არის დაგროვილი თანხა, თუ $s$ წლები ჩადებულია უწყვეტი პროცენტით.

კონკრეტული მაგალითი 3

ახლა ჩვენ დავუბრუნდებით კონკრეტული მაგალითი 2-ის ნაწილს, სადაც წლიური განაკვეთი არის 0.55% ორთვიანი განვადებით. გამოთვალეთ კაპიტალი, რომელიც გროვდება, თუ საწყისი კაპიტალი არის 10,000 და რეინვესტირებას განახორციელებს ნახევარი წლის, ორი წლის, 28 თვის განმავლობაში.

$10{\მარცხნივ( {1.00091667} \მარჯვნივ)^{\frac{6}{2}}} = 10.{\rm{\;}}027525$

როგორც ქვემოთ მოცემულია ცხრილი, $m = \frac{n}{r},$ მნიშვნელობა არ არის „პატარა“ და ზემოთ მოცემული ცხრილი მიუთითებს, რომ ${\left( {1 + \frac{1}{1}{101} m}} \right)^m}$ ახლოს არის ეილერის მუდმივთან.

დრო	პერიოდების რაოდენობა ($k$)	დაგროვილი კაპიტალი, ათასობით, ყოველ ორ თვეში ერთხელ რეინვესტირდება
Ნახევარი წელი	3	$10{\მარცხნივ( {1.00091667} \მარჯვნივ)^3} = 10.{\rm{\;}}027525$
ორი წელი	12	$10{\მარცხნივ( {1.00091667} \მარჯვნივ)^{12}} = 10110.{\rm{\;}}557$
38 თვე	19	$10{\მარცხნივ( {1.00091667} \მარჯვნივ)^{19}} = 10.\;175612$

დრო	წლების დრო ($s$)	დაგროვილი კაპიტალი, ათასობით, ინვესტირებას უწყვეტი პროცენტით
Ნახევარი წელი	$s = \frac{1}{2}$	$10{e^{0.0055\მარცხნივ( {\frac{1}{2}} \მარჯვნივ)}} = 10.{\rm{\;}}027538$
ორი წელი	$s = 2$	$10{\ მარცხნივ( {1.00091667} \მარჯვნივ)^{0.0055\left( 2 \მარჯვნივ)}} = 10110.{\rm{\;}}607$
38 თვე	$s = \frac{19}}{6}$	$10{\მარცხნივ( {1.00091667} \მარჯვნივ)^{\frac{{19}}{6}}} = 10.\;175692$

მაგალითი 2 ამორტიზაცია

პრაქტიკული მაგალითი 1

კომპიუტერი ყოველწლიურად მცირდება 30%-ით, თუ კომპიუტერი ღირდა $20,000 პესო, განსაზღვრეთ კომპიუტერის ფასი $t = 1,12,\;14,\;38$ თვის განმავლობაში.

ამ შემთხვევაში ადამიანს აქვს:

$P\left(t \მარჯვნივ) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 - 0.30} \მარჯვნივ)^t}$

$t$ წლებით, შემდეგ ცხრილში $t$ ჩანაცვლება იძლევა

დრო თვეებში	დრო წლებში	გამოთვლები	რიცხვითი მნიშვნელობა
1	$\frac{1}{{12}}$	$P\left( t \მარჯვნივ) = 20000{\rm{\;}}{\ left( {1 – .30} \მარჯვნივ)^{\frac{1}{{12}}}}$	19414.289
12	1	$P\left(t \მარჯვნივ) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \მარჯვნივ)^1}$	14000
14	$\frac{7}{6}$	$P\left( t \მარჯვნივ) = 20000{\rm{\;}}{\ left( {1 - .30} \მარჯვნივ)^{\frac{7}{6}}}$	13192.012
38	$\frac{{19}}{6}$	$P\left( t \მარჯვნივ) = 20000{\rm{\;}}{\ left( {1 - .30} \მარჯვნივ)^{\frac{7}{6}}}$	6464.0859

წარწერები ღრუბელი

რეიტინგი

Დათვალიერება

კომენტარები

\({a^n}{a^m} = {a^{n + m}}\)	\(\frac{{{a^n}}}{{{a^m}}} = {a^{n – m}}\)	\({\ მარცხნივ( {{a^n}} \მარჯვნივ)^m} = {a^{nm}} = {\ მარცხნივ( {{a^m}} \მარჯვნივ)^n}\)
\(\frac{1}{{{a^n}}} = {a^{ – n}}\)	\({a^n} = \frac{1}{{{a^{ – n}}}}\)	\({\ მარცხნივ( {\frac{1}{a}} \მარჯვნივ)^n} = \frac{1}{{{a^n}}}\)
\({\ მარცხნივ( {ab} \მარჯვნივ)^n} = {a^n}{b^n}\)	\({\ left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \მარჯვნივ)^m} = {\ left( {{a^m}} \მარჯვნივ)^{\frac{1} {n}}} = {a^{\frac{m}{n}}}\)	\({a^0} = 1\) თითოეული \(a \ne 0\)

\(x\)-ის მნიშვნელობა
\(x <0\)	\(0 < {a^x} <1\)
\(x = 0\)	\({a^0} = 1\)
\(0 < x < 1\)	\(1 < {a^x}
\(x = 1\)	\({a^x} = 1\)
\(x > 1\)	\(a < {a^x}\)

\(x\)-ის მნიშვნელობა
\(x <0\)	\({a^x} > 1\)
\(x = 0\)	\({a^0} = 1\)
\(0 < x < 1\)	\(0 < {a^x} <1\)
\(x = 0\)	\({a^x} = 1\)
\(x > 1\)	\(0 < {a^x} < a < 1\)

დრო	წლების დრო (\(s\))	დაგროვილი კაპიტალი, ათასობით, ინვესტირებას უწყვეტი პროცენტით
Ნახევარი წელი	\(s = \frac{1}{2}\)	\(10{e^{0.0055\მარცხნივ( {\frac{1}{2}} \მარჯვნივ)}} = 10.{\rm{\;}}027538\)
ორი წელი	\(s = 2\)	\(10{\ მარცხნივ( {1.00091667} \მარჯვნივ)^{0.0055\left( 2 \მარჯვნივ)}} = 10110.{\rm{\;}}607\)
38 თვე	\(s = \frac{19}}{6}\)	\(10{\მარცხნივ( {1.00091667} \მარჯვნივ)^{\frac{{19}}{6}}} = 10.\;175692\)

წელიწადი	გასული დრო (\(t\))	Გაანგარიშება	მოსახლეობა (მილიონები)
2021	0	\(P\left(t \მარჯვნივ) = 126{\left( {1.0011} \მარჯვნივ)^0}\)	126
2031	10	\(P\left(t \მარჯვნივ) = 126{\left( {1.0011} \მარჯვნივ)^{10}}\)	140.57
2051	30	\(P\left(t \მარჯვნივ) = 126{\მარცხენა( {1.0011} \მარჯვნივ)^{30}}\)	174.95

ვადიანი დეპოზიტები	Წლიური განაკვეთი	პერიოდები წელიწადში	ფაქტობრივი განაკვეთი	დაგროვილი თანხა \(k\) თვეში
ორი თვე	0.55%	6	\(\frac{{0.55\% }}{6} = 0.091667{\rm{\% }}\)	\(10000{\მარცხნივ( {1 + 0.00091667} \მარჯვნივ)^{\frac{k}{2}}}\)
სამი თვე	1.87%	4	\(\frac{{1.87\% }}{4} = 0.4675{\rm{\% }}\)	\(10000{\მარცხნივ( {1 + 0.00461667} \მარჯვნივ)^{\frac{k}{3}}}\)
ექვსი თვე	1.56%	2	\(\frac{{1.56\% }}{4} = 0.78{\rm{\% }}\)	\(10000{\მარცხნივ( {1 + 0.0078} \მარჯვნივ)^{\frac{k}{6}}}\)

დრო თვეებში	დრო წლებში	გამოთვლები	რიცხვითი მნიშვნელობა
1	\(\frac{1}{{12}}\)	\(P\left( t \მარჯვნივ) = 20000{\rm{\;}}{\ left( {1 – .30} \მარჯვნივ)^{\frac{1}{{12}}}}\)	19414.289
12	1	\(P\left(t \მარჯვნივ) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \მარჯვნივ)^1}\)	14000
14	\(\frac{7}{6}\)	\(P\left( t \მარჯვნივ) = 20000{\rm{\;}}{\ left( {1 - .30} \მარჯვნივ)^{\frac{7}{6}}}\)	13192.012
38	\(\frac{{19}}{6}\)	\(P\left( t \მარჯვნივ) = 20000{\rm{\;}}{\ left( {1 - .30} \მარჯვნივ)^{\frac{7}{6}}}\)	6464.0859