არითმეტიკული პროგრესიის განმარტება

რიცხვების თანმიმდევრობას \({a_1},\;{a_2},{a_3}, \ldots \) ​​ეწოდება არითმეტიკული პროგრესია, თუ სხვაობა ორ თანმიმდევრულ რიცხვს შორის უდრის ერთი და იგივე რიცხვს \(d\), ეს არის ჰო:

\({a_{n + 1}} - {a_n} = d\)

რიცხვს \(d\) ეწოდება არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობას.

ელემენტს \({a_1}\) ეწოდება არითმეტიკული მიმდევრობის პირველ ელემენტს.

არითმეტიკული პროგრესიის ელემენტები შეიძლება გამოისახოს პირველი ელემენტის და მისი განსხვავების მიხედვით, ანუ:

\({a_1},{a_1} + d,{a_1} + 2d,{a_1} + 3d\)

ისინი არითმეტიკული პროგრესიის პირველი ოთხი ელემენტია; ზოგადად, \(k – \)th ელემენტი გამოიხატება შემდეგნაირად:

\({a_k} = {a_1} + \მარცხნივ( {k – 1} \მარჯვნივ) d\)

ზემოაღნიშნული გამოთქმიდან ვიღებთ:

\({a_k} – {a_l} = {a_1} + \left( {k – 1} \მარჯვნივ) d – \left( {{a_1} + \left( {l – 1} \მარჯვნივ) d} \მარჯვნივ )\)

\({a_k} - {a_l} = \მარცხნივ ( {k - l} \მარჯვნივ) d\)

ზემოთ მოცემული გამოთქმა უდრის:

\({a_k} = {a_l} + \მარცხნივ( {k – l} \მარჯვნივ) d\)

არითმეტიკული პროგრესიისთვის გამოყენებული მაგალითები

1. იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა: \(3,8,13,18, \ldots \) ​​და იპოვეთ ელემენტები \({a_{20}},\;{a_{99}}\)

გამოსავალი

ვინაიდან \(5 = 8 – 3 = 13 – 8 = 18 – 3\) შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ განსხვავება არის:

\(d = 5\)

\({a_{20}} = {a_1} + \მარცხნივ( {20 – 1} \მარჯვნივ) d = 3 + 19\მარცხნივ( 5 \მარჯვნივ) = 98\)

\({a_{99}} = {a_1} + \მარცხნივ( {99 – 1} \მარჯვნივ) d = 3 + 98\მარცხნივ( 5 \მარჯვნივ) = 493\)

2. არითმეტიკულ პროგრესიაში გვაქვს: \({a_{17}} = 20\;\)და \({a_{29}} = – 130\), განვსაზღვროთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა და დავწეროთ პირველი 5 ელემენტი.

გამოსავალი

ტარება

\({a_k} - {a_l} = \მარცხნივ ( {k - l} \მარჯვნივ) d\)

\({a_{29}} - {a_{17}} = \მარცხნივ( {29 - 17} \მარჯვნივ) d\)

\( – 130 – 20 = \მარცხნივ( {12} \მარჯვნივ) d\)

\( – 150 = \მარცხნივ( {12} \მარჯვნივ) d\)

\(12d = – 150\)

\(d = – \frac{{150}}{{12}} = – \frac{{25}}{2}\)

იპოვონ პირველი 5 ელემენტი; ჩვენ გამოვთვლით \({a_1}\):

\({a_k} = {a_1} + \მარცხნივ( {k – 1} \მარჯვნივ) d\)

\({a_{17}} = {a_1} + \მარცხნივ( {17 – 1} \მარჯვნივ)\მარცხნივ( { – \frac{{25}}{2}} \მარჯვნივ)\)

\(20 = {a_1} + \მარცხნივ( {16} \მარჯვნივ)\მარცხნივ( { – \frac{{25}}{2}} \მარჯვნივ)\)

\(20 = {a_1} - 200\)

\({a_1} = 20 + 200 = 220\)

პირველი 5 ელემენტია:

\(220220 + \მარცხნივ( { – \frac{{25}}{2}} \მარჯვნივ),220 + 2\მარცხნივ( { – \frac{{25}}{2}} \მარჯვნივ),220 + 3 \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 4\left( { – \frac{{25}}{2}} \მარჯვნივ)\)

\(220,\frac{{415}}{2},195,\frac{{365}}{2},170\)

მრავალკუთხა რიცხვები და არითმეტიკული პროგრესიის პირველი \(n\) ელემენტების ჯამი

სამკუთხა რიცხვები

სამკუთხა რიცხვები \({T_n}\;\) წარმოიქმნება არითმეტიკული პროგრესიიდან: \(1,2,3,4 \ldots \); შემდეგი გზით.

\({T_1} = 1\)

\({T_2} = 1 + 2 = 3\)

\({T_3} = 1 + 2 + 3 = 6\)

\({T_4} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\)

კვადრატული ნომრები

კვადრატული რიცხვები \({C_n}\;\) წარმოიქმნება არითმეტიკული პროგრესიიდან: \(1,3,5,7 \ldots \); შემდეგნაირად

\({C_1} = 1\)

\({C_2} = 1 + 3 = 4\)

\({C_3} = 1 + 3 + 5 = 9\)

\(C{\;_4} = 1 + 3 + 5 + 7 = 16\)

ხუთკუთხა რიცხვები

კვადრატული რიცხვები \({P_n}\;\) წარმოიქმნება არითმეტიკული პროგრესიიდან: \(1,3,5,7 \ldots \); შემდეგნაირად

\({P_1} = 1\)

\({P_2} = 1 + 4 = 5\)

\({P_3} = 1 + 4 + 7 = 12\)

\({P_4} = 1 + 4 + 7 + 10 = 22\)

შემდეგი, ჩვენ ვაჩვენებთ ფორმულას არითმეტიკული პროგრესიის პირველი \(n\) ელემენტების ჯამის საპოვნელად.

არითმეტიკული პროგრესიის გათვალისწინებით, \({a_1},{a_2} = {a_1} + d,{a_3} + 2d, \ldots .,{a_n} = {a_1} + \left( {n – 1} \მარჯვნივ) დ\). ჯამის გამოსათვლელად \({S_n} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_n};\) შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა:

\({S_n} = \frac{{n\left( {{a_1} + {a_n}} \მარჯვნივ)}}{2}\)

რომელიც უდრის

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \მარჯვნივ) d} \მარჯვნივ)}}{2}\)

წინა ფორმულის გამოყენებით მიიღება სამკუთხა, კვადრატული და ხუთკუთხა რიცხვების გამოსათვლელი ფორმულები; რომლებიც ნაჩვენებია შემდეგ ცხრილში.

მრავალკუთხა რიცხვი	\({a_1}\)	\(დ\)	ფორმულა
სამკუთხა \(n – \)th	1	1	\({T_n} = \frac{{n\მარცხნივ( {n + 1} \მარჯვნივ)}}{2}\)
კვადრატი \(n – \)th	1	2	\({C_n} = {n^2}\)
ხუთკუთხა \(n – \)th	1	3	\({P_n} = \frac{{n\მარცხნივ( {3n – 1} \მარჯვნივ)}}{2}\)

მაგალითი მრავალკუთხა რიცხვებზე

3. მაგალითი 2-დან გამოთვალეთ \({S_{33}}\).

გამოსავალი

ამ შემთხვევაში \({a_1} = 200\) და \(d = – \frac{25}}{2}\)

მიმართვა

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \მარჯვნივ) d} \მარჯვნივ)}}{2}\)

\({S_{33}} = \frac{{34\left( {2\left( {200} \მარჯვნივ) + \მარცხნივ( {33 – 1} \მარჯვნივ)\მარცხნივ( { – \frac{{25 }}{2}} \right)} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = 17\მარცხნივ( {400 + 16\მარცხნივ( { – 25} \მარჯვნივ)} \მარჯვნივ) = 17\მარცხნივ( 0 \მარჯვნივ) = 0\)

არითმეტიკული საშუალებები

მოცემული ორი რიცხვის \(a\;\) და \(b,\) რიცხვებს \({a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}}\) ეწოდება \(k\) ნიშნავს არითმეტიკული რიცხვები \(a\;\) და \(b\); თუ თანმიმდევრობა \(a,{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},b\) არის არითმეტიკული პროგრესია.

\(a\;\) და \(b\) რიცხვების \(k\) არითმეტიკული საშუალებების მნიშვნელობების გასაგებად, საკმარისია ვიცოდეთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა, ამისთვის შემდეგი უნდა იყოს განიხილება:

\(a = {a_1},{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},{a_{k + 2}} = b,\)

ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე ვამყარებთ ურთიერთობას:

\(b = a + \მარცხნივ ( {k + 2 - 1} \მარჯვნივ) d\)

\(d\)-ის ამოხსნით, ვიღებთ:

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

მაგალითები

4. იპოვეთ 7 არითმეტიკული საშუალება ციფრებს შორის -5 და 25.

გამოსავალი

განაცხადის დროს

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

\(b = 25,\;a = – 5\) და \(k = 7\;\):

\(d = \frac{{25 – \left( { – 5} \მარჯვნივ)}}{{7 + 1}} = \frac{{30}}{8} = \frac{{15}}{4 }\)

7 არითმეტიკული საშუალებაა:

\( – \frac{5}{4},\;\frac{5}{2},\;\frac{{25}}{4},10,\frac{{55}}{4},\ ფრაკი{{35}}{2},\frac{{85}}{4}\)

9. ერთმა ადამიანმა 2000 დოლარი გადასცა მაცივრის საყიდლად, დანარჩენს კი საკრედიტო ბარათით 18 თვის განმავლობაში უპროცენტოდ გადაუხადა. მან თვეში 550 დოლარი უნდა გადაიხადოს ვალის დასაფარად, რომელიც მან შეიძინა მაცივრის გადასახდელად.

რომ. რა ღირს მაცივარი?

ბ. თუ დანარჩენი 12 თვის განმავლობაში უპროცენტოდ გადაიხადეთ, რამდენი იქნება ყოველთვიური გადახდა?

გამოსავალი

რომ. Ამ შემთხვევაში:

\({a_{19}} = 2000 + 18\მარცხნივ( {550} \მარჯვნივ)\)

\({a_{19}} = 2000 + 9900 = 11900\)

ბ. 2000 და 11900 რიცხვებს შორის უნდა ვიპოვოთ 11 არითმეტიკული საშუალება, რისთვისაც:

\(d = \frac{{11900 - 2000}}{{12}} = 825\)

5. მიმდევრობით \(7,\;22,\;45,\;76,115,162\) იპოვეთ შემდეგი 3 ელემენტი და ელემენტის ზოგადი გამოხატულება \(n\).

გამოსავალი

განსახილველი თანმიმდევრობა არ არის არითმეტიკული პროგრესია, რადგან \(22 – 7 \ne 45 – 22\), მაგრამ ჩვენ შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ თანმიმდევრობა ორი თანმიმდევრული ელემენტის განსხვავებებით და შემდეგი ცხრილი გვიჩვენებს შედეგები:

მიმდევრობის ელემენტები \({b_n}\)	თანმიმდევრობა \(\;{c_n} = {b_n} - {b_{n - 1}}\)	\(d = {c_{n + 1}} - {c_n}\)
\({b_1} = 7\)	\({c_1} = {b_1}\)
\({b_2} = 22\)	\({c_2} = {b_2} - {b_1} = 15\)	\({c_2} – {c_1} = 8\)
\({b_3} = 45\)	\({c_3} = {b_3} - {b_2} = \)23	\({c_3} – {c_2} = 8\)
\({b_4} = 76\)	\({c_4} = {b_4} - {b_3} = 31\)	\({c_4} – {c_3} = 8\)
\({b_5} = 115\)	\({c_5} = {b_5} - {b_4} = 39\)	\({c_5} – {c_4} = 8\)
\({b_6} = 162\)	\({c_6} = {b_6} - {b_5} = 47\)	\({c_6} – {c_5} = 8\)

ზემოთ მოყვანილი ცხრილის მესამე სვეტი გვეუბნება, რომ თანმიმდევრობა \(15,\;23,31,39,\;47, \ldots .\); არის არითმეტიკული მიმდევრობა, რომლის განსხვავებაა \(d = 8\).

შემდეგი, ჩვენ დავწერთ \({b_n}\) მიმდევრობის ელემენტებს მიმდევრობით \({c_n},\)

\({b_1} = {c_1}\)

\({b_2} = {c_1} + {c_2}\)

\({b_3} = {b_2} + {c_3} = {c_1} + {c_2} + {c_3}\)

\({b_4} = {b_3} + {c_4} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + {c_4}\)

ზოგადად თქვენ გაქვთ:

\({b_n} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + \ldots + {c_n}\;\)

განაცხადის დროს

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{c_1} + \left( {n – 1} \მარჯვნივ) d} \მარჯვნივ)}}{2}\)

\({c_1} = 7\) და \(d = 8,\)-ით ვიღებთ:

\({b_n} = \frac{{n\left( {14 + \left( {n – 1} \მარჯვნივ) 8} \მარჯვნივ)}}{2}\)

\({b_n} = n\მარცხნივ( {7 + 4\მარცხნივ( {n – 1} \მარჯვნივ)} \მარჯვნივ)\)

\({b_n} = n\მარცხნივ( {4n + 3} \მარჯვნივ)\)

წინა ფორმულის გამოყენებით: \({b_7} = 217,\;{b_8} = 280,\;{b_9} = 351\)