როგორ განისაზღვრება თალესის თეორემა?

თალესის თეორემიდან, რამდენიმე პარალელური წრფის გათვალისწინებით, წრფე \(T\) არის განივი პარალელური წრფეების მიმართ, თუ იგი კვეთს თითოეულ პარალელურ წრფეს.

ფიგურაში 1, წრფეები \({T_1}\) და \({T_2}\) არის განივი პარალელური ხაზების \({L_1}\) და \({L_2}.\)

თალესის თეორემა (სუსტი ვერსია)
თუ რამდენიმე პარალელი განსაზღვრავს კონგრუენტულ სეგმენტებს (რომლებიც ზომავენ ერთსა და იმავეს) მათი ორი განივი ხაზიდან ერთ-ერთში, ისინი ასევე განსაზღვრავენ კონგრუენტულ სეგმენტებს სხვა ტრანსვერსიებში.

მე-2 სურათზე შავი ხაზები პარალელურია და თქვენ უნდა:
\({A_1}{A_2} = {A_2}{A_3} = {A_3}{A_4}.\)
ჩვენ შეგვიძლია უზრუნველვყოთ შემდეგი:
\({B_1}{B_2} = {B_2}{B_3} = {B_3}{B_4}.\)

ამბობენ, რომ ბრძენმა თალეს მილეტელმა გაზომა კეოპსის პირამიდის სიმაღლე, ამისთვის მან გამოიყენა ჩრდილები და სამკუთხედის მსგავსების თვისებების გამოყენება. თალესის თეორემა ფუნდამენტურია სამკუთხედების მსგავსების კონცეფციის განვითარებისათვის.

პროპორციების შეფარდება და თვისებები

ერთი შეფარდება არის ორი რიცხვის კოეფიციენტი, გამყოფი ნულის გარდა; რომ ვთქვათ:

\(\frac{a}{b}\;{\rm{ერთად\;}}b \ne 0\)

პროპორცია არის ორი თანაფარდობის ტოლობა, ანუ:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k,\)

\(k\) ასევე ეწოდება პროპორციულობის მუდმივას.

პროპორციების თვისებები

თუ \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\) მაშინ \(m \ne 0:\;\)

\(\frac{{ma}}{{mb}} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a – c}}{{b – d}} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{f}{g} = \frac{{a + c + f}}{{b + d + g}} = k\)

\(\frac{{a \pm b}}{b} = \frac{{c \pm d}}{d}\)

მაგალითები

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{9 + 15}}{{24 + 40}} = \frac{{24}} {{64}}\)

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{15 – 9}}{{40 – 24}} = \frac{6}{{ 16}}\)

\(\frac{{9 + 24}}{{24}} = \frac{{15 + 40}}{{40}}\)\(\frac{{33}}{{24}} = \frac {{55}}{{40}}\)

სეგმენტების წყვილი \(\overline {AB} \) და \(\overline {CD} \) არის პროპორციული სეგმენტების \(\overline {EF} \) და \(\overline {GH} \) თუ პროპორცია შესრულებულია:

\(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{EF}}{{GH}}\)

სადაც \(AB\;\) აღნიშნავს სეგმენტის სიგრძეს \(\ overline {AB} .\)

თალესის თეორემა

განმარტებას რომ დავუბრუნდეთ, რამდენიმე პარალელი განსაზღვრავს პროპორციულ შესაბამის სეგმენტებს მათ განივი ხაზებში.

მე-3 სურათზე სწორი ხაზები პარალელურია და შეგვიძლია უზრუნველვყოთ:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_2}{B_3}}}{{{B_3}{B_4}}\)\( \frac{{{A_2}{A_4}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_2}{B_4}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_3}}}{{{A_1}{A_2}}} = \frac{{{B_1}{B_3}}}{{{B_1}{B_2}}}\)

მოდით აღვნიშნოთ, რომ პირველი ორი წინა პროპორცია ექვივალენტურია შემდეგი პროპორციების:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}}\)ზემოთ ჩვენ ვიღებთ:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + {B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}}\)

ბევრჯერ უმჯობესია იმუშაოთ წინა პროპორციებით და ამ შემთხვევაში:

\(\frac{{{A_i}{A_j}}}{{{B_i}{B_j}}} = k\)

თალესის თეორემის კონვერსი

თუ რამდენიმე წრფე განსაზღვრავს პროპორციულ შესაბამის სეგმენტებს მათ განივი ხაზებში, მაშინ წრფეები პარალელურია

თუ მე-4 ფიგურაში ის შესრულებულია

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)

შემდეგ შეგვიძლია დავამტკიცოთ, რომ: \({L_1}\პარალელური {L_2}\პარალელური {L_3}.\)

აღნიშვნა \({L_1}\პარალელური {L_2}\), წაკითხული \({L_1}\) პარალელურია \({L_2}\).

წინა პროპორციიდან ვიღებთ:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_1}{A_3}}}{{{ B_1}{B_3}}}\)

სეგმენტის დაყოფა თანაბარი სიგრძის რამდენიმე ნაწილად

კონკრეტული მაგალითის საშუალებით ჩვენ განვმარტავთ, თუ როგორ დავყოთ სეგმენტი თანაბარი სიგრძის ნაწილებად.

დაყავით სეგმენტი \(\overline {AB} \) თანაბარი სიგრძის 7 სეგმენტად

საწყისი მდგომარეობა

დახაზეთ დამხმარე ხაზი, რომელიც გადის სეგმენტის ერთ-ერთ ბოლოში

კომპასის მხარდაჭერით დამხმარე ხაზზე დახაზულია თანაბარი სიგრძის 7 სეგმენტი

დახაზეთ ხაზი, რომელიც უერთდება ბოლო შედგენილი სეგმენტის ბოლოებს და გასაყოფი სეგმენტის მეორე ბოლოს

ისინი გაყვანილია ბოლო დახაზული ხაზის პარალელურად, რომელიც გადის იმ წერტილებში, სადაც წრეწირის რკალი იკვეთება დამხმარე ხაზთან.

მოცემული სეგმენტის \(\overline {AB} \), წერტილი \(P\) სეგმენტი იყოფა სეგმენტი \(\overline {AB} \) თანაფარდობით \(\frac{{AP}. } {{PB}}.\)

სეგმენტის დაყოფა მოცემულ თანაფარდობაში

მოცემულია სეგმენტი \(\overline {AB} \), და ორი დადებითი მთელი რიცხვი \(a, b\); წერტილი \(P\), რომელიც ყოფს სეგმენტს თანაფარდობით \(\frac{a}{b};\;\) შეიძლება მოიძებნოს შემდეგნაირად:

1. დაყავით სეგმენტი \(\ overline {AB} \) \(a + b\) თანაბარი სიგრძის სეგმენტებად.
2. აიღეთ \(a\) სეგმენტები, რომლებიც ითვლიან \(A\) წერტილიდან.

მაგალითები

სეგმენტის დაყოფა \(\overline {AB} \) თანაფარდობით \(\frac{a}{b}\)

მიზეზი	ნაწილების რაოდენობა, რომლებზეც იყოფა სეგმენტი	წერტილის ადგილმდებარეობა \(P\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{4}{3}\)	\(4 + 3 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = 6 = \frac{6}{1}\)	\(6 + 1 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{2}{3}\)	\(2 + 3 = 5\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{3}{2}\)	\(3 + 2 = 5\)

თალესის თეორემის გამოყენებითი მაგალითები

აპლიკაცია 1: სამი ლოტი ვრცელდება სოლის ქუჩიდან ლუნას ქუჩამდე, როგორც ნაჩვენებია ფიგურაში 5.

გვერდითი საზღვრები არის ლუნას ქუჩის პერპენდიკულარული სეგმენტები. თუ სოლის ქუჩაზე ნაკვეთების მთლიანი წინაპირობა 120 მეტრს შეადგენს, დაადგინეთ თითოეული ლოტის ფასადი აღნიშნულ ქუჩაზე, თუ ის ასევე ცნობილია:

\({A_1}{A_2} = 10{\rm{m}},\;{A_2}{A_3} = 40{\rm{m}},\;{A_3}{A_4} = 20{\rm{ m}},\;{A_4}{A_5} = 30{\rm{მ}}.\)

პრობლემის განცხადება

ვინაიდან ხაზები ლუნას ქუჩის პერპენდიკულარულია, მაშინ ისინი ერთმანეთის პარალელურია, თალესის თეორემის გამოყენებით შეგვიძლია დავადასტუროთ:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}},\; \;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_4}}}\;,\;\;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_5}} } = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_5}}}\)ზემოთ შეგვიძლია დავასკვნათ:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}}\;\)

ანალოგიურად შეგვიძლია დავასკვნათ:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}}\)

გამოსავალი

პროპორციულობის მუდმივის დასადგენად \(k,\) გამოვიყენებთ პროპორციების თვისებებს:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4} + {A_4}{A_5}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + { B_3}{B_4} + {B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}} = \frac{100}}{{120}} = \frac{5}{6}\)

ზემოაღნიშნულიდან ვიღებთ:
\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{5}{6}\)\(\frac{{{B_1}{B_2}}}{ {{A_1}{A_2}}} = \frac{6}{5}\)\({B_1}{B_2} = \frac{6}{5}{A_1}{A_2} = \frac{6}{ 5}\მარცხნივ( {10} \მარჯვნივ) = 12.\)

ანალოგიურად:

\({B_2}{B_3} = \frac{6}{5}{A_2}{A_3} = \frac{6}{5}\left( {40} \მარჯვნივ) = 48\)\({B_3} {B_4} = \frac{6}{5}{A_3}{A_4} = \frac{6}{5}\left( {20} \მარჯვნივ) = 24\)\({B_4}{B_5} = \frac{6}{5}{A_4}{A_5} = \frac{6 }{5}\left( {30} \მარჯვნივ) = 36\)

უპასუხე

სეგმენტი	\({B_1}{B_2}\)	\({B_2}{B_3}\)	\({B_3}{B_4}\)	\({B_4}{B_5}\)
სიგრძე	12 მ	48 მ	24 მ	36 მ

აპლიკაცია 2: გრაფიკულმა დიზაინერმა დააპროექტა თარო პარალელოგრამის სახით და მოათავსებს 3 თაროს, როგორც ნაჩვენებია სურათი 6, წერტილები E და F არის გვერდების შუა წერტილები \(\overline {AD} \) და \(\overline {BC} ,\) შესაბამისად. თქვენ უნდა გააკეთოთ ჭრილობები თაროებზე, რომ შეძლოთ შეკრებების გაკეთება. თაროების რომელ ნაწილში უნდა გაკეთდეს ჭრილები?

პრობლემის განცხადება: პრობლემაში მოცემული პირობებიდან გამომდინარე, შესრულებულია შემდეგი:

\(ED = EA = CF = BF\)

როგორც დამხმარე კონსტრუქციები გავაგრძელებთ გვერდებს \(\overline {CB} \) და \(\overline {DA} \). A წერტილიდან გაყვანილია წრფე \(A\) და პარალელურად \(\overline {EB} \) გვერდის პარალელურად, ხოლო \(C\;\) წერტილის გავლით ხაზები იხსნება \(\overline) მხარის პარალელურად. {DF} \).

ჩვენ გამოვიყენებთ თალესის თეორემას დაპირისპირებას, რათა დავანახოთ, რომ სეგმენტები \(\ overline {EB} \) და \(\overline {DF} \) პარალელურია, რათა გამოვიყენოთ თალესის თეორემა.

გამოსავალი

კონსტრუქციით ოთხკუთხედი \(EAIB\) არის პარალელოგრამი, ამიტომ გვაქვს EA=BI, რადგან ისინი პარალელოგრამის საპირისპირო მხარეებია. ახლა:

\(\frac{{DE}}{{EA}} = \frac{{BF}}{{BI}} = 1\)

თალესის თეორემის საპასუხო ურთიერთობის გამოყენებით შეგვიძლია დავასკვნათ:

\(\overline {AI} \პარალელური \overline {EB} \პარალელური \overline {DF} \პარალელური \overline {JC} \)

სეგმენტების \(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \) და BC და CI სეგმენტების ტრანსვერსალებად აღება; როგორც:

\(FC = BF = BI\)\(CH = HG = GA\)

ავიღოთ \(\overline {AD} \პარალელური \overline {BC} \) და სეგმენტები \(\overline {AC} \) და \(\overline {EB} \), როგორც მათი ტრანსვერსიები, ჩვენ გვექნება:

\(\frac{{EG}}{{GB}} = \frac{{AG}}{{GC}} = \frac{{AG}}{{CH + HG}} = \frac{{AG}} {{2\left( {AG} \მარჯვნივ)}} = \frac{1}{2}\)

ანალოგიურად, ნაჩვენებია, რომ:

\(\frac{{DH}}{{HF}} = 2\)

პასუხები

დიაგონალური ჭრილები \(\overline {AC} \) უნდა გაკეთდეს წერტილებზე \(G\;\) და \(H\), ისე, რომ:

\(\frac{{AG}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{1}{3}\)

იგივე ეხება თაროებს \(\overline {EB} \) და \(\overline {DF} \).