რადიკალების რაციონალიზაციის განმარტება (მათემატიკა)

რადიკალების რაციონალიზაცია არის მათემატიკური პროცესი, რომელიც ტარდება მაშინ, როდესაც მნიშვნელში არის კოეფიციენტი რადიკალებით ან ფესვებით. ამ გზით, მათემატიკური ოპერაციების გამარტივება შესაძლებელია, სადაც რადიკალების და სხვა ტიპის მათემატიკური ობიექტების კოეფიციენტებია ჩართული.

კოეფიციენტების ტიპები რადიკალებით

მნიშვნელოვანია აღინიშნოს რადიკალების მქონე კოეფიციენტების რამდენიმე ტიპი, რომელთა რაციონალიზაცია შესაძლებელია. თუმცა, სანამ სრულად ჩაერთვებით გამარტივების პროცესში, უნდა გვახსოვდეს რამდენიმე მნიშვნელოვანი კონცეფცია. პირველი, დავუშვათ, გვაქვს შემდეგი გამოთქმა: \(\sqrt[m]{n}\). ეს არის \(m\) რიცხვის ფესვი \(n\), ანუ აღნიშნული ოპერაციის შედეგი არის ისეთი რიცხვი, რომ მისი \(m\) ხარისხზე აწევა გვაძლევს რიცხვს \(n\) შედეგად). სიმძლავრე და ფესვი შებრუნებული მოქმედებებია, ისე, რომ: \(\sqrt[m]{{{n^m}}} = n\).
მეორეს მხრივ, აღსანიშნავია, რომ ორი ტოლი ფესვის ნამრავლი ტოლია ნამრავლის ფესვის, ანუ: \(\sqrt[m]{n}\sqrt[m]{p} = \sqrt[m ]{{np}}\). ეს ორი თვისება იქნება ჩვენი საუკეთესო მოკავშირეები რაციონალიზაციისას.

ყველაზე გავრცელებული და მარტივი ტიპის კოეფიციენტი რადიკალთან ერთად, რომელიც შეგვიძლია ვიპოვოთ, არის შემდეგი:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }}\)

სადაც \(a\), \(b\) და \(c\) შეიძლება იყოს ნებისმიერი რეალური რიცხვი. რაციონალიზაციის პროცესი ამ შემთხვევაში შედგება გზის პოვნაში, რათა მივიღოთ გამონათქვამი \(\sqrt {{c^2}} = c\) რადიკალისაგან. ამ შემთხვევაში, საკმარისია გავამრავლოთ \(\sqrt c \) როგორც მრიცხველზე, ასევე მნიშვნელზე:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{b\sqrt c }}\frac{{\sqrt c }}{{\sqrt c }} = \frac{{ a\sqrt c }}{{b\sqrt c \sqrt c }}\)

გავიხსენოთ ის, რაც ზემოთ იყო ნახსენები, ჩვენ ვიცით, რომ \(\sqrt c \sqrt c = \sqrt {{c^2}} = c\). ამრიგად, საბოლოოდ მივიღებთ იმას, რომ:
\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{bc}}\sqrt c \)

ამ გზით ჩვენ რაციონალიზაცია მოვახდინეთ წინა გამოთქმაზე. ეს გამოთქმა სხვა არაფერია, თუ არა ზოგადი გამონათქვამის კონკრეტული შემთხვევა, რომელიც არის შემდეგი:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}}\)

სადაც \(a\), \(b\), \(c\) არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი და \(n\), \(m\) დადებითი ხარისხები. ამ გამოთქმის რაციონალიზაცია ეფუძნება იმავე პრინციპს, როგორც წინა, ანუ მიიღეთ გამონათქვამი \(\sqrt[n]{{{c^n}}} = c\) მნიშვნელში. ამის მიღწევა შეგვიძლია \(\sqrt[n]{{c^{n – m}}}}\) მრიცხველზე და მნიშვნელზე გამრავლებით:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}} }\frac{{\sqrt[n]{{{c^{n - m}}}}}}{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}} = \frac{{a\sqrt[n]{{c^{n - m}}}}}}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}\)

ჩვენ შეგვიძლია განვავითაროთ რადიკალების ნამრავლი მნიშვნელში შემდეგნაირად: \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^m}{c^ {n – m}}}} = \sqrt[n]{{c^{m + \left( {n – m} \მარჯვნივ)}}}} = \sqrt[n]{{{c^n}}} = c\). ამრიგად, რაციონალური კოეფიციენტი რჩება შემდეგნაირად:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{bc}}\sqrt[n]{{c^{n - m}}}}\)

რადიკალების სხვა ტიპის კოეფიციენტი, რომლის რაციონალიზაცია შესაძლებელია, არის ის, რომელშიც ჩვენ გვაქვს ბინომი კვადრატული ფესვებით მნიშვნელში:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\)

სადაც \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) და \(e\;\) არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი. სიმბოლო \( ± \) მიუთითებს, რომ ნიშანი შეიძლება იყოს დადებითი ან უარყოფითი. მნიშვნელის ბინომალს შეიძლება ჰქონდეს ორივე ფესვი ან მხოლოდ ერთი, თუმცა ამ შემთხვევას ვიყენებთ უფრო ზოგადი შედეგის მისაღებად. რაციონალიზაციის პროცესის განხორციელების ცენტრალური იდეა ამ შემთხვევაში იგივეა, რაც წინა შემთხვევებში, მხოლოდ ის ამ შემთხვევაში, ჩვენ გავამრავლებთ როგორც მრიცხველს, ასევე მნიშვნელს ბინომის კონიუგატზე. მნიშვნელი. ბინომის კონიუგატი არის ბინომი, რომელსაც აქვს იგივე ტერმინები, მაგრამ რომლის ცენტრალური სიმბოლო საპირისპიროა თავდაპირველი ბინომისა. მაგალითად, ბინომის \(ux + vy\) კონიუგატი არის \(ux – vy\). როგორც ითქვა, შემდეგ გვაქვს:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\frac{{b\sqrt c \ mp d\sqrt e }}{{b\sqrt c \mp d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{\left( {b\sqrt c \pm d\sqrt e } \right)\left( {b \sqrt c \mp d\sqrt e } \მარჯვნივ)}}\)

სიმბოლო \( \mp \) მიუთითებს, რომ ნიშანი შეიძლება იყოს დადებითი ან უარყოფითი, მაგრამ ის უნდა იყოს მნიშვნელის სიმბოლოს საპირისპიროდ, რომ ორობითი იყოს კონიუგირებული. მნიშვნელის ბინომების გამრავლების შემუშავებით მივიღებთ, რომ:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \მარჯვნივ)}}{{{ b^2}\sqrt {{c^2}} + bd\sqrt {ce} – bd\sqrt {ce} – {d^2}\sqrt {{e^2}} }}\)

საბოლოოდ მივიღებთ ამას:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{{b^2}c – {d^2}e}}\left( {b\ sqrt c \mp d\sqrt e } \right)\)

ამით ჩვენ რაციონალიზაცია მოვახდინეთ კოეფიციენტის რადიკალთან. ეს კოეფიციენტები რადიკალებთან არის ის, რაც შეიძლება ზოგადად რაციონალური იყოს. შემდეგი, ჩვენ ვიხილავთ რადიკალების რაციონალიზაციის რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითები

მოდით გადავხედოთ რაციონალიზაციის რამდენიმე მაგალითს ზემოხსენებული ტიპის რადიკალებით კოეფიციენტებით. ჯერ დავუშვათ, რომ გვაქვს შემდეგი კოეფიციენტი:

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }}\)

ამ შემთხვევაში საკმარისია მრიცხველის და მნიშვნელის გამრავლება \(\sqrt 2 \)-ზე.

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }} = \frac{3}{{7\sqrt 2 }}\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{3 }{{7\sqrt 2 \sqrt 2 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{7\sqrt 4 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{14}}\sqrt 2 \)

ახლა დავუშვათ, რადიკალთან გვაქვს შემდეგი კოეფიციენტი:

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\)

ამ შემთხვევაში გვაქვს კუბური სიმძლავრის მეექვსე ფესვი. წინა ნაწილში აღვნიშნეთ, რომ თუ გვაქვს \(\sqrt[n]{{c^m}}}\) ფორმის რადიკალი მნიშვნელი, ჩვენ შეგვიძლია რაციონალიზაცია მოვახდინოთ მრიცხველისა და მნიშვნელის \(\sqrt[n]{{{c^{n-ზე გამრავლებით –მ}}}}\). ამის შედარება აქ წარმოდგენილ შემთხვევასთან შეგვიძლია მივხვდეთ, რომ \(n = 6\), \(c = 4\) და \(m = 3\), შესაბამისად მაშასადამე, წინა კოეფიციენტის რაციონალიზაცია შეგვიძლია მრიცხველისა და მნიშვნელის გამრავლებით \(\sqrt[6]{{{4^3}}}\):

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}} }\frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}\sqrt[6]{{{4^3}}}}}}\sqrt[6]{{{4^3} }} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^6}}}}}\sqrt[6]{{{4^3}}} = \frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{6}\)

დაბოლოს, დავუშვათ, რომ გვაქვს შემდეგი ფუნქცია:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\)

როგორც წინა განყოფილებაში იყო ნაჩვენები, ამ ტიპის კოეფიციენტის რადიკალების რაციონალიზაციისთვის, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მრიცხველი და მნიშვნელი მნიშვნელის კონიუგატზე. ამ შემთხვევაში მნიშვნელის კონიუგატი იქნება \(x – \sqrt x \). ამიტომ, გამოთქმა იქნება შემდეგი:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\frac{{{x – \sqrt x }}{{x – \sqrt x }} = \frac{1}{{\left( {x + \sqrt x } \მარჯვნივ)\მარცხნივ( {x – \sqrt x } \მარჯვნივ)}}\left( {x – \sqrt x } \მარჯვნივ)\)

მნიშვნელის კონიუგატური ბინომების გამრავლების შემუშავებით, საბოლოოდ მივიღებთ იმას, რომ:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }} = \frac{{x – \sqrt x }}{{{x^2} – x}}\)

ცნობები

აგილარ არტურო, ბრავო ფაბიანი, გალეგოს ჰერმანი, სერონ მიგელი და რეეს რიკარდო. (2009). არითმეტიკა. მექსიკა: პირსონის განათლება.