ბერნულის პრინციპის/განტოლების განმარტება

ბერნულის პრინციპი, რომელსაც ხშირად ასევე უწოდებენ ბერნულის განტოლებას, არის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი კონცეფცია ჰიდროდინამიკასა და სითხის მექანიკაში. იგი ჩამოაყალიბა შვეიცარიელმა ფიზიკოსმა და მათემატიკოსმა დანიელ ბერნოულმა 1738 წელს, როგორც მისი ნაშრომის ნაწილი.ჰიდროდინამიკა” და ენერგიის კონსერვაციის ნაწილი მოძრაობის იდეალურ სითხეში.

წარმოვიდგინოთ შემდეგი სიტუაცია: გვაქვს შლანგი, რომლითაც წყალი მიედინება, რომელიც ტოვებს შლანგს გარკვეული სიჩქარით და გარკვეული წნევით. შემდეგ ვაგრძელებთ შლანგის გასასვლელი ხვრელის ნაწილობრივ დაფარვას თითით; ამით ჩვენ ვხედავთ, როგორ გამოდის წყალი ახლა უფრო დიდი სიჩქარით. ეს არის ბერნულის პრინციპის მაგალითი მოქმედებაში.

იდეალური სითხეები მოძრაობაში

ბერნულის პრინციპი ვრცელდება იდეალურ სითხეებზე მოძრაობაში, ამიტომ სანამ ამ პრინციპის ახსნას გავაგრძელებთ, მნიშვნელოვანია აღვნიშნოთ რას ვგულისხმობთ იდეალურ სითხეში. იდეალური სითხე არის რეალური სითხის გამარტივება, ეს კეთდება სითხის აღწერის გამო იდეალური მათემატიკურად უფრო მარტივია და გვაძლევს სასარგებლო შედეგებს, რომლებიც მოგვიანებით შეიძლება გავრცელდეს სითხის შემთხვევაში რეალური.

არსებობს ოთხი ვარაუდი, რომლებიც კეთდება იმისთვის, რომ სითხე იდეალურად მივიჩნიოთ და ყველა მათგანი დაკავშირებულია ნაკადთან:

• სტაბილური ნაკადი: სტაბილური ნაკადი არის ის, რომლის სიჩქარე, რომლითაც სითხე მოძრაობს, სივრცის ნებისმიერ წერტილში ერთნაირია. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ სითხე არ განიცდის ტურბულენტობას.

• შეკუმშვა: ასევე ვარაუდობენ, რომ იდეალური სითხე შეუკუმშვადია, ანუ მას მუდმივად აქვს მუდმივი სიმკვრივე.

• არასიბლანტე: სიბლანტე არის სითხეების თვისება, რომელიც, ზოგადად, წარმოადგენს წინააღმდეგობას, რომელსაც სითხე ეწინააღმდეგება მოძრაობას. სიბლანტე შეიძლება ჩაითვალოს, როგორც მექანიკური ხახუნის ანალოგი.

• ირროტაციული ნაკადი: ამ დაშვებით ვგულისხმობთ იმ ფაქტს, რომ მოძრავი სითხე არ ახორციელებს რაიმე ტიპის წრიულ მოძრაობას თავისი გზის რომელიმე წერტილის გარშემო.

ამ ვარაუდების გამოთქმით და იდეალური სითხის არსებობით ჩვენ მნიშვნელოვნად ვამარტივებთ მათემატიკურ მკურნალობას და ჩვენ ასევე უზრუნველვყოფთ ენერგიის კონსერვაციას, რაც არის ამოსავალი პრინციპისკენ ბერნული.

ბერნულის განტოლება განმარტა

განვიხილოთ იდეალური სითხე, რომელიც მოძრაობს მილში, როგორც ნაჩვენებია შემდეგ სურათზე:

ახლა ჩვენ გამოვიყენებთ სამუშაოსა და კინეტიკური ენერგიის თეორემას, რომელიც არის ენერგიის შენარჩუნების კანონის გამოხატვის კიდევ ერთი გზა, ეს გვეუბნება, რომ:

\(W = {\rm{\Delta }}K\)

სადაც \(W\) არის მთლიანი მექანიკური სამუშაო და \({\rm{\Delta }}K\) არის კინეტიკური ენერგიის ცვლილება ორ წერტილს შორის. ამ სისტემაში გვაქვს ორი სახის მექანიკური სამუშაო, ერთი, რომელიც კეთდება სითხეზე მიზიდულობის ძალით და მეორე სითხის წნევის შედეგად. მოდით \({W_g}\) იყოს გრავიტაციის მიერ შესრულებული მექანიკური სამუშაო და \({W_p}\) იყოს მექანიკური სამუშაო, რომელიც შესრულებულია წნევით, შემდეგ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ:

\({W_g} + {W_p} = {\rm{\Delta }}K\)

ვინაიდან გრავიტაცია არის კონსერვატიული ძალა, მის მიერ შესრულებული მექანიკური მუშაობა ტოლი იქნება გრავიტაციული პოტენციური ენერგიის სხვაობას ორ წერტილს შორის. საწყისი სიმაღლე, რომელზეც სითხე გვხვდება არის \({y_1}\) და საბოლოო სიმაღლე არის \({y_2}\), შესაბამისად, გვაქვს:

\({W_g} = – {\rm{\Delta }}mg{\rm{\Delta }}y = – {\rm{\Delta }}მგ\მარცხნივ( {{y_2} – {y_1}} \მარჯვნივ )\)

სადაც \({\rm{\დელტა }}m\) არის სითხის მასის ნაწილი, რომელიც გადის გარკვეულ წერტილში და \(g\) არის სიმძიმის გამო აჩქარება. ვინაიდან იდეალური სითხე შეკუმშვადია, მაშინ \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). სადაც \(\rho \) არის სითხის სიმკვრივე და \({\rm{\Delta }}V\) არის მოცულობის ნაწილი, რომელიც მიედინება წერტილში. ამ ზემოაღნიშნული განტოლებით ჩანაცვლებით მივიღებთ:

\({W_g} = – \rho g{\rm{\Delta }}V\მარცხნივ( {{y_2} – {y_1}} \მარჯვნივ)\)

ახლა განვიხილოთ სითხის წნევით შესრულებული მექანიკური მუშაობა. წნევა არის ძალა, რომელიც მოქმედებს ერთეულ ფართობზე, ანუ \(F = PA\). მეორეს მხრივ, მექანიკური სამუშაო განისაზღვრება როგორც \(W = F{\rm{\Delta }}x\), სადაც \(F\) არის გამოყენებული ძალა და \({\rm{\Delta }}x\) არის ამ შემთხვევაში განხორციელებული გადაადგილება x-ღერძზე. ამ კონტექსტში ჩვენ შეგვიძლია წარმოვიდგინოთ \({\rm{\Delta }}x\), როგორც სითხის ნაწილის სიგრძე, რომელიც მიედინება გარკვეულ წერტილში. ორივე განტოლების კომბინაციით მივიღებთ \(W = PA{\rm{\Delta }}x\). ჩვენ შეგვიძლია გავაცნობიეროთ, რომ \(A{\rm{\Delta }}x = {\rm{\Delta }}V\), ანუ ეს არის მოცულობის ნაწილი, რომელიც მიედინება ამ წერტილში. მაშასადამე, ჩვენ გვაქვს \(W = P{\rm{\Delta }}V\).

საწყის ეტაპზე სისტემაზე კეთდება მექანიკური სამუშაოები ტოლი \({P_1}{\rm{\Delta }}V\) და ბოლოს სისტემა აკეთებს მექანიკურ მუშაობას გარემოზე ტოლი \({P_2}{\rm{\დელტა }}V\). სითხის ზეწოლის გამო მექანიკური სამუშაო იქნება სისტემაზე შესრულებული სამუშაო, გამოკლებული სამუშაო, რომელსაც აკეთებს მის გარემოცვაზე, ანუ:

\({W_p} = {P_1}{\rm{\Delta }}V – {P_2}{\rm{\Delta }}V = \left( {{P_1} – {P_2}} \მარჯვნივ){\rm {\დელტა }}V\)

დაბოლოს, კინეტიკური ენერგიის სხვაობა \({\rm{\დელტა }}K\) ტოლი იქნება ბოლო წერტილის კინეტიკური ენერგიის გამოკლებით საწყისი წერტილის კინეტიკური ენერგია. ანუ:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_2^2 – \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_1^ 2 = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}m\ მარცხენა ( {v_2^2 - v_1^2} \მარჯვნივ)\)

ზემოაღნიშნულიდან ჩვენ ვიცით, რომ \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). ზემოაღნიშნული განტოლება შემდეგნაირად არის:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\left( {v_2^2 - v_1^2} \მარჯვნივ)\)

ენერგიის შენარჩუნების განტოლებაში მიღებული ყველა შედეგის ჩანაცვლებით, მიიღება, რომ:

\(\ მარცხნივ( {{P_1} – {P_2}} \მარჯვნივ){\rm{\Delta }}V – \rho {\rm{\Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \მარჯვნივ) = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\left( {v_2^2 - v_1^2} \მარჯვნივ)\)

ჩვენ შეგვიძლია განვასხვავოთ ტერმინი \({\rm{\Delta }}V\) განტოლების ორივე მხარეს, ეს იწვევს:

\({P_1} - {P_2} - \rho g\left( {{y_2} - {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho \left( {v_2^2 - v_1^2 } \მარჯვნივ)\)

დაკარგული პროდუქტების შემუშავებისას ჩვენ უნდა:

\({P_1} – {P_2} – \rho g{y_2} + \rho g{y_1} = \frac{1}{2}\rho v_2^2 – \frac{1}{2}\rho v_1^ 2\)

განტოლების ორივე მხარეს ყველა ტერმინის გადალაგებით მივიღებთ, რომ:

\({P_1} + \rho g{y_1} + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = {P_2} + \rho g{y_2} + \frac{1}{2}\rho v_2^ 2\)

ეს განტოლება არის კავშირი ჩვენი სისტემის საწყის მდგომარეობასა და საბოლოო მდგომარეობას შორის. საბოლოოდ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ:

\(P + \rho gy + \frac{1}{2}\rho {v^2} = მუდმივი\)

ეს ბოლო განტოლება არის ბერნულის განტოლება, საიდანაც გამომდინარეობს მისი პრინციპი. ბერნულის პრინციპი არის იდეალური სითხის შენარჩუნების კანონი მოძრაობაში.

ცნობები

დევიდ ჰალიდეი, რობერტ რეზნიკი და ჯეარლ უოკერი. (2011). ფიზიკის საფუძვლები. შეერთებული შტატები: John Wiley & Sons, Inc.