비유클리드 기하학의 정의

기본적으로 비유클리드 기하학은 소위 유클리드의 제5공리따라서 그리스 수학자이자 기하학자인 유클리드의 작업에 대한 일반적인 특성화는 필수적이며 그의 작업은 기하학, 창립자 중 한 명으로 간주됩니다. 확실하게 알려져 있다 보안 기원전 300년경 고대 문화의 중심지인 알렉산드리아에 살았던 사람. 씨.

그의 일 집단 23개의 정의 목록으로 구성된 일련의 "원칙"으로 시작합니다. 다음을 참조하는 5개의 가정이 뒤따른다. 인물 특히 기하학적; 다른 수학 분야에 공통적인 5가지 일반 공리. 다음으로, 원칙 후에 유클리드는 두 가지 유형의 "명제"를 소개합니다. 건물 규칙과 나침반을 가진 인물의; 및 정리, 일부 속성의 시연 참조 기하학적 인물.

유클리드의 다섯 번째 공리

그는 "다른 두 직선과 만나는 직선이 같은 변의 내각을 두 직선보다 작게 만든다면, 두 선이 무한정 연장되면 각이 2보다 작은 쪽에서 만난다. 똑바로”. 각도가 옳다면 정의 번호 23에 따라 그러한 선은 평행합니다 ("평행선은 같은 평면에 있고 무기한으로 연장되는 경우 어떤 방향에서도 만나지 않는 선입니다.”).

이전 가정보다 더 복잡한 이 가정은 그 자체로 의심할 여지가 없었습니다. 선은 무한정 교차하므로 각이 두 직각보다 작은 쪽에서 교차합니다. 건물. 그러면 선이 교차하지 않고 무한정 접근할 가능성이 열려 있었다.

다섯 번째 가정을 증명하려는 시도

이러한 이유로 고대부터 19세기 중반까지 다섯 번째 가정을 증명하려는 일련의 시도가 실패했습니다. 증명은 항상 달성되었습니다. 그러나 유클리드의 가정과 다른 몇 가지 다른 추가 가정(논리적으로 다섯 번째 가정과 동일)을 도입합니다. 즉, 다섯 번째 가정은 증명할 수 없었고 동등한 것으로 대체되었습니다.

이에 대한 예는 John Playfair(s. XVIII): “해당 선에 평행한 단일 점은 동일한 평면에 있는 선 외부의 점을 통과합니다." (로 알려진 "평행 가정”). 비유클리드 기하학은 유클리드 시스템의 다섯 번째 가정을 증명하려는 시도의 실패에서 정확하게 발생합니다.

Saccheri의 부조리 테스트

1733년 이탈리아 수학자 지롤라모 사케리는 유클리드의 다섯 번째 공리의 부조리를 증명하려고 시도했습니다. 이를 위해 그는 사변형("사케리의 사각형", 여기서 한 쌍의 각은 직각임) 그리고 다섯 번째 가정은 특성 각도 그 사변형의 (직각 쌍의 반대편)도 직각입니다. 그럼 세 개가 있다 가설 가능, 상호 배타적: 두 가지 특징적인 각이 직각, 예각 또는 둔각입니다. 부조리로 다섯 번째 가정을 증명하려면 다섯 번째 가정에 의지하지 않고 증명할 필요가 있었다. 둔각과 예각의 가설은 모순을 내포하고, 따라서 거짓.

Saccheri는 둔각 가설이 모순됨을 증명했지만 예각의 경우에는 성공하지 못했습니다. 반대로 그는 유클리드 기하학과 일치하고 양립할 수 없는 일련의 정리를 추론했습니다. 마지막으로 그는 이러한 정리의 기이함을 고려할 때 가설이 거짓임에 틀림없다고 결론지었습니다. 결과적으로 그는 다섯 번째 가정이 부조리하다는 것을 증명했다고 믿었다. 그러나 그가 한 것은 비유클리드 기하학의 중요한 정리 세트를 우연히 증명한 것입니다.

비유클리드 기하학의 "동시" 발견

칼 F. 19세기에 가우스는 다섯 번째 가정이 다른 네 가지로부터 증명될 수 없다고 의심한 첫 번째 사람이었습니다. 독립적으로) 그리고 네 가지 유클리드 가정과 다섯 번째. 그는 자신의 발견을 발표한 적이 없습니다. 이것은 다음과 같은 경우로 간주됩니다. 동시 발견, 그는 세 개의 독립적인 참조 대상(가우스 자신, János Bolyai 및 Nikolai Lobachevsky)을 가지고 있기 때문입니다.

에 대한 거부 다섯 번째 법 of Euclidean은 두 가지 가능성(Playfair의 동등한 공식 사용)을 의미합니다. 직선 외부의 지점을 통해 평행 패스가 없거나 두 개 이상의 평행 패스가 있습니다. 비유클리드 기하학 중에서 예를 들어 기하학 "상상의"로 알려진 Lobachevsky는 나중에 "쌍곡선"- 에 따르면, "한 선의 외부 점이 주어졌을 때 무한한 교차선, 무한히 교차하지 않는 선 및 두 개의 평행선만이 그 점을 통과합니다.", 독특한 유클리드 평행선과 달리; 또는 Bernhard Riemann의 타원 기하학, "선 외부의 점을 통과하면 해당 선과 평행하지 않습니다.”.

발견의 적용 및 의미

현재 로컬 공간에서 두 기하학 모두 대략적인 결과를 제공하는 것으로 알려져 있습니다. 큰 거리를 고려하여 물리적 공간이 하나 또는 다른 형상으로 설명될 때 차이점이 나타납니다. 우리는 계속해서 유클리드 기하학을 사용하고 있지만, 우리 공간을 국부적으로 가장 간단하게 설명하는 기하학이기 때문에, 비유클리드 기하학의 이론은 그것이 진리에 대한 이해의 근본적인 변형을 의미하는 한 결정적이었습니다. 과학적.

그때까지 유클리드 기하학은 진정으로 공간을 설명하는 것으로 생각되었습니다. 다른 가정과 함께 다른 기하학을 통해 그것을 기술할 가능성을 증명할 때, "진실”.

서지

마르티네즈 로르카, A. (1980) “소크라테스의 윤리와 그것이 사회에 미친 영향 생각 Occidental”, Revista Baética: Estudios de Arte, 지리학 및 역사, 3, 317-334. 말라가 대학교.

비유클리드 기하학의 주제