Maxwell의 방정식이란 무엇이며 어떻게 정의됩니까?

이 방정식 이전에는 전기력과 자기력이 "원거리에 있는 힘"이라고 말했으며 이러한 유형의 상호 작용이 발생하는 물리적 수단은 알려져 있지 않았습니다. 에 대한 수년간의 연구 끝에 전기 와이 자기, Michael Faraday는 전하와 전류 사이의 공간에 서로 상호 작용하고 모든 것을 나타낼 수 있는 물리적인 무언가가 있어야 한다고 직감했습니다. 알려진 전기 및 자기 현상, 그는 처음에 이것을 "힘의 선"이라고 불렀고, 이는 전자기장의 존재에 대한 아이디어로 이어졌습니다.

Faraday의 아이디어를 바탕으로 James Clerk Maxwell은 4개의 편미분 방정식으로 표현되는 장 이론을 개발합니다. Maxwell은 이것을 "전자기 이론"이라고 불렀고 이러한 유형의 수학적 언어를 물리 이론에 통합한 최초의 사람이었습니다. 진공에 대한 미분 형태의 Maxwell 방정식(즉, 유전체 및/또는 분극성 물질이 없는 경우)은 다음과 같습니다.

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)
\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\partial \vec{E}}{\partial t}\)
미분 형태의 진공에 대한 Maxwell 방정식

여기서 \(\vec{E}~\)는 전기장, \(\vec{B}~\)는 자기장, \(\rho ~\)는 의 밀도 전하, \(\vec{J}~~\)는 a에 연결된 벡터입니다. 전류, \({{\epsilon }_{0}}~\)는 진공의 전기 유전율이고 \({{\mu }_{0}}~~\)는 진공의 투자율입니다. 이 방정식의 각각은

법 전자기학의 의미를 가지고 있습니다. 아래에서 각각에 대해 간략하게 설명하겠습니다.

가우스의 법칙

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
전기장의 가우스 법칙

이 첫 번째 방정식이 알려주는 것은 전하가 전기장의 소스이며 이 전기장은 전하에서 직접 "발산"한다는 것입니다. 또한, 전기장의 방향은 전기장을 생성하는 전하의 부호에 의해 결정되며, 전기장 선이 얼마나 가까운지는 전기장 자체의 크기를 나타냅니다. 아래 이미지는 방금 언급한 내용을 다소 요약한 것입니다.

그림 1. Studiowork에서. 양전하와 음전하의 두 점 전하에 의해 생성된 전기장의 다이어그램.

이 법칙은 발산 정리를 기반으로 공식화한 수학자 Johann Carl Friedrich Gauss의 이름을 따서 명명되었습니다.

자기장에 대한 가우스 법칙

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

자기장에 대한 가우스 법칙

이 법칙은 특별한 이름이 없지만 앞의 방정식과 유사하기 때문에 그렇게 부른다. 이 표현의 의미는 "전하"와 유사한 "자기 전하"가 없다는 것입니다. 즉, 자기장의 근원인 자기 모노폴이 없습니다. 이것이 우리가 자석을 반으로 쪼개도 북극과 남극이 있는 두 개의 유사한 자석을 갖게 되는 이유입니다.

패러데이의 법칙

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
패러데이의 귀납법칙

이것은 1831년 Faraday가 변화하는 자기장이 전류를 유도할 수 있다는 것을 발견했을 때 공식화된 유명한 유도 법칙입니다. 이 방정식이 의미하는 바는 시간에 따라 변하는 자기장이 다음을 유도할 수 있다는 것입니다. 그 주위에 전기장, 차례로 전하를 이동시키고 생성할 수 있습니다. 개울. 처음에는 매우 추상적으로 들릴 수 있지만 패러데이의 법칙은 모터, 일렉트릭 기타 및 인덕션 쿡탑의 작동 이면에 있습니다.

암페어-맥스웰 법칙

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\partial \vec{E}}{\partial t}\)

이 방정식이 알려주는 첫 번째 사실은 전류가 전류의 방향 주위에 자기장을 생성한다는 것입니다. 생성된 자기장의 크기는 이것의 크기에 따라 달라집니다. 이것은 Oersted가 관찰한 것이며 나중에 Ampère가 할 수 있었던 것입니다. 공식화하다. 그러나 이 방정식 뒤에는 이상한 점이 있습니다. 바로 옆에 있는 두 번째 항입니다. 법 이 식이 원래 일관성이 없었기 때문에 방정식의 방정식은 Maxwell에 의해 도입되었습니다. 특히 다른 사람들과 함께 그것은 전하 보존 법칙을 위반하게 되었습니다. 이를 피하기 위해 Maxwell은 그의 전체 이론이 일관되도록 이 두 번째 항을 도입했습니다. "변위 전류"라는 이름을 받았지만 당시에는 이를 뒷받침할 실험적 증거가 없었습니다. 백업합니다

그림 2. De Rumruay.- 케이블을 통해 흐르는 전류는 암페어의 법칙에 따라 케이블 주위에 자기장을 생성합니다.

변위 전류의 의미는 자기장이 변수는 전기장을 유도하며, 시간에 따라 변하는 전기장은 전기장을 생성할 수 있습니다. 자기. 변위 전류의 첫 번째 실험적 확인은 1887년 하인리히 헤르츠의 전자기파 맥스웰. 그러나 변위 전류의 첫 번째 직접 측정은 M. 아르 자형. 1929년 Van Cauwenberghe.

빛은 전자기파

Maxwell의 방정식에 의해 만들어진 최초의 놀라운 예측 중 하나는 전자기파 뿐만 아니라 빛이 이 파동이어야 한다는 것도 밝혀냈습니다. 유형. 이것을 보기 위해 우리는 Maxwell의 방정식을 가지고 놀 것입니다.

\({{\nabla }^{2}}u=\frac{1}{{{v}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{ t}^{2}}}\)
3차원 파동 방정식의 일반적인 형태.

여기서 \({{\nabla }^{2}}\)는 라플라시안 연산자이고 \(u\)는 파동 함수이고 \(v\)는 파동의 속도입니다. 우리는 또한 빈 공간, 즉 전하와 전류가 없을 때 전기장과 자기장만 있을 때 Maxwell의 방정식을 사용할 것입니다.

\(\nabla \cdot \vec{E}=0\)

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\)

그리고 우리는 또한 다음을 사용할 것입니다 신원 벡터 미적분:

\(\nabla \times \left( \nabla \times \vec{A} \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \vec{A} \right)-{{\nabla }^{2}} \시간{A}\)

위의 빈 공간에 대한 Maxwell의 방정식을 사용하여 이 항등식을 전기장과 자기장에 적용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

\({{\nabla }^{2}}\vec{E}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{E}}{\부분 {{t}^{2}}}\)

\({{\nabla }^{2}}\vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{B}}{\부분 {{t}^{2}}}\)

위의 파동 방정식과 이 방정식의 유사성에 주목하십시오. 결론, 전기장과 자기장은 파동(전자기파)처럼 작용할 수 있습니다. 이 파동의 속도를 \(c\)로 정의하고 이 방정식을 위의 파동 방정식과 비교하면 속도는 다음과 같다고 말할 수 있습니다.

\(c=\frac{1}{\sqrt{{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}}}\)

\({{\mu }_{0}}\) 및 \({{\epsilon }_{0}}\)는 각각 진공의 투자율과 전기 유전율이며 둘 다 상수입니다. 값이 \({{\mu }_{0}}=4\pi \times {{10}^{-7}}~~T\cdot m/A\) 및 \({{\ 엡실론 } 0}}=8.8542\times {{10}^{-12}}~{{C}^{2}}/N\cdot m~\), 이 값을 대입하면 \(c\)의 값은 \(c=299,792,458\frac{m}{s}\approx 300,000~km/s\)입니다. 빛.

이 작은 분석을 통해 세 가지 매우 중요한 결론을 얻을 수 있습니다.

1) 전기장과 자기장은 파동처럼 행동할 수 있습니다. 즉, 진공을 통해 전파할 수 있는 전자기파도 있습니다.

2) 빛은 투자율과 유전율에 따라 속도가 달라지는 전자기파 빛이 전파하는 매질의 빈 공간에서 빛의 속력은 대략 300,000km/s.

3) 투자율과 전기 유전율은 보편적인 상수이므로, 빛의 속도는 또한 보편적인 상수이지만 이것은 또한 그 값이 의존하지 않는다는 것을 의미합니다. 의 뼈대 그것으로부터 측정됩니다.

이 마지막 발언은 당시 큰 논란을 불러일으켰다. 빛은 측정하는 사람의 움직임과 광원의 움직임에 관계없이 동일합니다. 빛? 속도는 상대적이어야겠죠? 이것은 당시 물리학의 분수령이었으며 이 단순하지만 심오한 사실은 1905년 알베르트 아인슈타인의 특수 상대성 이론의 발전으로 이어졌습니다.