작업 계층 구조는 무엇입니까?

작업의 계층 구조는 결합된 계산 작업이 수행되어야 하는 순서를 설정하는 수학적 규칙입니다. 즉, 수학적 연산(더하기, 빼기, 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱, 근)이 결합되어 결과에 도달하려면 특정 순서로 수행되어야 합니다. 흔한.

그런데 계층 구조가 필요한 이유는 무엇입니까? 이에 답하기 위해서는 먼저 집합의 요소에 적용되는 변환으로 구성된 수학 연산의 특성을 잘 이해해야 합니다. 예를 들어 실수 집합, 즉 우리 모두가 알고 있는 숫자를 생각해 봅시다. 숫자 a를 취하여 다른 숫자 b와 더하면 동일한 실수 집합에 속하는 다른 숫자 c를 얻게 됩니다.

a+b = c

또한, 가수가 표시되는 순서는 최종 결과에 영향을 미치지 않습니다. a+b = b+a, 이 속성을 교환성이라고 합니다. 덧셈은 다른 모든 것이 파생되는 기본 연산이기 때문에 덧셈에 대해 이야기하는 것이 중요합니다. 곱셈은 ​​반복되는 더하기의 연속일 뿐입니다. 우리가 다시 숫자 a를 가지고 있고 그것을 숫자 b로 곱한다면, 우리가 하는 일은 때때로 숫자 b를 자신과 더하거나, 대안으로 b 곱하기 숫자 a를 자신과 더하는 것입니다. 후자는 곱셈이 덧셈처럼 가환적이기 때문에 그렇습니다. 이는 다음을 의미합니다. a⋅b = b⋅a. 위의 내용은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

예를 들어 쉽게 시각화할 수 있습니다. 5×2 곱셈을 해보자:

5×2 = 2×5 = 2+2+2+2+2 = 5+5 = 10

이제 덧셈과 곱셈을 결합한 연산을 수행해야 한다면 어떻게 될까요? 예: a⋅b+c. 덧셈과 곱셈을 수행해야 하는 순서는 무엇입니까? 어떤 작업에 우선권을 주어야 합니까? 곱셈을 먼저 수행하고 합계로 전개하면 다음과 같이 됩니다.

이제 덧셈을 먼저 수행한 다음 곱셈을 수행하면 다음을 얻을 수 있습니다.

덧셈은 가환적이므로 방정식의 오른쪽을 다시 그룹화하여 다음을 얻을 수 있습니다.

두 상황에서 얻은 결과를 비교하면 다음을 쉽게 알 수 있습니다.

그런 다음 작업을 수행하기로 결정한 순서가 얻은 결과에 영향을 미친다는 결론을 내립니다. 우리가 권력을 행사할 때도 마찬가지입니다. 숫자 b를 c의 거듭제곱으로 올릴 때 우리가 하는 일은 c에 숫자 b를 곱하는 것입니다. 즉, 다음과 같습니다.

이제 곱셈과 거듭제곱 a⋅b를 포함하는 다음 결합 연산을 수행합니다.^씨 이전 사례에서와 다른 순서로. 우리가 먼저 권력에 우선순위를 둔다면 우리는 다음을 갖게 됩니다:

이제 곱셈을 먼저 수행한 다음 거듭제곱을 수행하면 다음과 같이 됩니다.

곱셈의 교환성을 이용하여 방정식의 우변을 다음과 같이 재편성할 수 있습니다.

다시, 우리는 다른 순서로 작업을 수행하여 얻은 결과를 비교하여 다음을 실현할 수 있습니다.

또한 이 경우 작업이 수행되는 순서는 얻은 결과에 영향을 미칩니다. 그렇다면 작업을 수행해야 하는 순서는 무엇입니까? 연산의 계층 구조는 거듭제곱이 수학적 진술에서 우선 순위를 갖는 방식으로 곱셈보다 더 높은 수준의 계층 구조에 있음을 설정합니다. 차례로 곱셈은 덧셈보다 더 높은 계층 수준을 갖습니다.

그러나 뺄셈, 나눗셈, 근은 어떻습니까? 뺄셈은 덧셈의 반대 연산으로 숫자 a에서 숫자 b를 빼면 c+b=a가 되는 다른 숫자 c를 얻습니다. 나누기와 빼기에서도 비슷한 일이 일어납니다. 숫자 a를 숫자 b로 나누어 숫자 c를 얻으면 b⋅c=a인 숫자를 찾았습니다. 그리고 마지막으로 숫자 a의 근 b를 계산하여 c를 만족하는 숫자 c를 찾습니다.^비=아. 이러한 동등성은 뺄셈, 나눗셈 및 근을 각각 덧셈, 곱셈 및 거듭제곱과 동일한 계층 수준에 둡니다.

괄호 및 대괄호 사용

이제 계층 수준에 관계없이 수학적 진술에서 일부 작업에 우선 순위를 부여하려는 경우 어떻게 됩니까? 이를 위해 괄호와 대괄호가 사용됩니다. a⋅b+c 원리의 진술이 있다고 가정합니다. 이전에 말한 내용으로 곱셈을 먼저 수행한 다음 덧셈을 수행해야 한다는 것을 이미 알고 있습니다. 그러나 이것이 사실이 아니길 원한다면 어떻게 해야 할까요? 이렇게 하려면 괄호나 대괄호를 사용하여 덧셈과 곱셈을 구분해야 하므로 덧셈을 먼저 계산하는 것, 즉 a⋅(b+c)에 우선순위를 두어야 합니다. 이로 인해 괄호와 대괄호로 구분된 문이 다른 모든 작업보다 우선 순위가 가장 높습니다.

위에서 언급한 모든 작업의 ​​계층 구조 또는 수행해야 하는 순서는 다음과 같습니다.

1) 괄호와 괄호
2) 권력과 뿌리
3) 곱셈과 나눗셈
4) 덧셈과 뺄셈

참조

시간. 벤케, F. 바흐만, K. 플랫, W. 수스, H. 게리케, F. 호헨버그, G. 피커트, H. 라우 & S. 시간. 굴드. (1983). 수학의 기초: 제1권. 캠브리지, 매사추세츠 및 런던: MIT Press.