이차 함수 정의

형식이 표현되는 실수 변수의 2차 함수.

\(f\왼쪽( x \오른쪽) = a{x^2} + bx + c\)

여기서 변수는 \(x\), \(a, b\) 및 c는 \(a \ne 0.\)를 갖는 이차 함수의 계수라고 하는 실수 상수입니다.

이 표는 2차 함수의 일반적인 예와 모델링할 수 있는 상황을 발전시켜 나중에 실제 문제에서 직접 적용하는 방법을 설명합니다.

이차 함수	모델링할 수 있는 상황
\(f\왼쪽( x \오른쪽) = {x^2}\)	변수 \(y\)는 한 변이 \(x\)인 정사각형의 면적입니다.
\(f\왼쪽( x \오른쪽) = \pi {x^2}\)	변수 \(y\)는 반지름이 \(x\)인 원의 면적입니다.
\(f\왼쪽( x \오른쪽) = 100 – 4.9{x^2}\)	변수 \(y\)는 높이 100에서 떨어뜨린 물체의 높이이고 \(x\)는 경과 시간입니다.
\(f\left( x \right) = 60\left( {{\bf{죄}}45^\circ } \right) x – 4.9{x^2}\)	변수 \(y\)는 60m/s의 속도로 45° 각도로 던진 포탄의 높이이고 \(x\)는 경과 시간입니다.

일반 공식과 이차 함수

\(x = \alpha \)에 대해 이차 함수가 0이면 숫자는 \(\alpha \)가 이차 함수의 근이라고 합니다. 예, \(\alpha \)는 이차 방정식의 해입니다.

\(a{x^2} + bx + c = 0\)

이차 방정식을 풀기 위한 일반 공식은 이차 함수의 근이 다음과 같다는 것입니다.

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}},\;\;\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b ^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

위에서부터 근과 이차 함수의 계수 사이의 관계는 다음과 같이 설정됩니다.

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a},\;\;\alpha \beta = \frac{c}{a}\)

주목할만한 제품을 통해 다음과 같은 정체성이 확립됩니다.

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\)

일반 공식에서 확립된 것과 유사한 방식으로 이차 함수가 다음 형식으로 표현될 수 있음이 확립됩니다.

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

\(h = – \frac{b}{{2a}}\) 및 \(k = – \frac{{{b^2} – 4ac}}{a}\)

방정식을 풀면:

\(a{\left( {x – h} \right)^2} + k = 0\)

획득:

\(\left| {x – h} \right| = \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

\(x = h \pm \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

위에서 상수 \(k\)와 \(a\)는 부호가 반대인 경우 이 이차 함수의 실근은 다음과 같습니다. \(h + \sqrt { – \frac{k}{a}} ,\;\;h – \sqrt { – \frac{k}{a} } \).

상수 \(k\)와 \(a\)의 부호가 같으면 이차 함수는 실근이 없습니다.

\(k = 0,\;\;\)일 때 이차 함수는 단 하나의 근을 가집니다.

실생활에 적용한 예

적용 사례 1: 경제학

한 학교에서 각 팀이 다른 팀과 한 번만 경기하는 축구 토너먼트를 조직하려고 합니다. 중재 비용이 게임당 $200인 경우 중재 비용은 $15,600의 예산이 있습니다. 얼마나 많은 팀이 토너먼트에 등록할 수 있습니까?

문제 설명: \(n\)이 있을 때 일치 항목 수를 계산하는 함수를 찾아야 합니다. 팀 수를 계산하기 위해 우리는 팀 1이 다른 모든 팀과 먼저 플레이한다고 가정합니다. 즉, \(n – 1\) 성냥. 팀 2는 이미 팀 1과 플레이했으므로 이제 나머지 모든 플레이어, 즉 \(n – 2\)와 플레이하게 됩니다. 3팀은 이미 1팀, 2팀과 경기를 했기 때문에 n-3팀과 경기를 해야 합니다.

위의 추론을 통해 다음과 같은 결론에 도달합니다.

\(f\left( n \right) = n – 1 + n – 2 + \ldots + 2 + 1\)

\(f\left(n \right) = \frac{{n\left({n – 1} \right)}}{2}\)

비용 함수는 다음과 같습니다.

\(C\왼쪽( n \오른쪽) = 200f\왼쪽( n \오른쪽) = 100n\왼쪽( {n – 1} \오른쪽)\)

예산이 15,600달러이므로 방정식은 다음과 같습니다.

\(100n\왼쪽({n – 1} \오른쪽) = 15600\)

방정식의 해

\(100n\left( {n – 1} \right) = 15600\) 초기 상황
\(n\left( {n – 1} \right) = 156\) 방정식의 각 변을 100으로 나눕니다.
\({n^2} – n – 156 = \) 등식의 각 변에 \( – 156\)을 추가합니다.
\(\left( {n – 13} \right)\left( {n + 12} \right) = 0\) \(\left( { – 13} \right)\left( {12} \right ) = – 156\) 및 \( – 13 + 12 = – 1\)
그것은 인수되었습니다.
방정식 \(n = – 12,\;13\)의 해
답변: 예산은 13개 팀이 등록하기에 충분합니다.

적용 사례 2: 경제학

한 광역 교통 버스 회사는 하루 8시간 동안 각 버스가 평균 1,000명의 승객을 수송한다는 사실을 확인했습니다. 직원들에게 인상을 줄 수 있는 위치에 있으려면 현재 5달러인 요금을 인상해야 합니다. 한 경제학자는 요금이 인상될 때마다 각 트럭이 매일 평균 40명의 승객을 잃게 될 것이라고 계산합니다. 회사는 급여 인상분을 충당하기 위해 매일 트럭당 $760를 추가로 확보해야 한다고 계산했습니다. 요금을 얼마나 인상해야 합니까?

문제 설명: \(x\)는 티켓이 인상될 페소 금액이며 \(5 + x\)는 티켓의 새로운 비용입니다. 이와 같은 증가로 각 트럭은 평균적으로 하루 \(1000 – 40x\)명의 승객을 운송하게 됩니다.

마지막으로 트럭당 수익은 다음과 같습니다.

\(I\left( x \right) = \left( {5 + x} \right)\left( {1000 – 40x} \right) = – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \오른쪽)\)

급여 인상을 충당하기 위해 각 버스는 \(1000\left( 5 \right) + 760 = 5760\)를 징수해야 합니다.

마지막으로 방정식이 있습니다.

\( – 40\왼쪽( {x + 5} \오른쪽)\왼쪽( {x – 25} \오른쪽) = 5760\)

방정식의 해
\( – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = 5760\) 초기 상황
\(\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = – 144\) 방정식의 각 변을 \( – 40\)로 나눕니다.
\({n^2} – 20n – 125 = – 144\) 놀라운 제품이 개발되었습니다.
\({n^2} – 20n + 19 = 0\) 각각에 144씩 추가됨
\(\left( {n – 19} \right)\left( {n – 1} \right) = 0\) \(\left( { – 19} \right)\left( { – 1} \ 오른쪽) = 19\) 및 \( – 19 – 1 = – 20\)
인수분해
방정식 \(n = 1.19\)의 해
답변: 티켓 가격은 $1 또는 $19 페소까지 오를 수 있습니다.

적용 사례 3: 경제학

빵 가게는 일주일에 평균 1,200롤을 6달러에 판매합니다. 어느 날 그는 가격을 개당 9달러로 인상하기로 결정했습니다. 이제 그녀의 판매량은 감소했습니다. 그녀는 일주일에 평균 750롤만 판매합니다. 소매점의 수익이 가능한 한 최고가 되려면 각 빵의 가격은 얼마여야 합니까? 수요와 가격 사이에 선형 관계가 있다고 가정합니다.

문제 설명: 수요 D와 가격 \(x,\) 사이에 선형 관계가 있다고 가정하면

\(D = mx + b\)

방정식을 생성하는 \(x = 6;D = 1200;\;\)인 경우:

\(1200 = 6m + b\)

\(x = 9;D = 750;\;\) lo이고 방정식을 얻을 때:

\(750 = 9m + b\)

연립방정식을 풀면 수요와 가격의 관계는 다음과 같습니다.

\(D = – 150x + 2100 = – 150\left( {x – 14} \right)\)

소득은 다음과 같다

\(I\왼쪽( x \오른쪽) = Dx = – 150x\왼쪽( {x – 14} \오른쪽)\)

해결책

아래쪽으로 열리는 포물선의 소득 그래프이며 최대 값은 의 꼭지점에서 도달합니다. 이는 다음을 모델링하는 이차 함수의 근을 평균화하여 찾을 수 있습니다. 소득. 근은 \(\alpha = 0,\;\;\beta = 14\)입니다.

\(h = \frac{{0 + 14}}{2} = 7\)

\(I\왼쪽( h \오른쪽) = – 150\왼쪽( 7 \오른쪽)\왼쪽( {7 – 14} \오른쪽) = 7350\)

답변

최대 수익은 $7,350이며 $7의 가격으로 달성됩니다. 평균적으로 일주일에 1050 롤을 판매합니다.

적용 사례 4: 경제학

하루에 \(n\)개의 의자를 제조하는 비용은 2차 함수로 계산할 수 있습니다.

\(C\왼쪽( n \오른쪽) = {n^2} – 200n + 13000\)

달성할 수 있는 최소 비용을 결정합니다.

문제 설명

\(C\left( n \right)\)의 그래프는 위로 열리는 포물선이며 \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \frac{{\ 왼쪽( { – 200} \오른쪽)}}{{2\왼쪽( 1 \오른쪽)}} = 100\)

\(C\왼쪽( {100} \오른쪽) = {\왼쪽( {100} \오른쪽)^2} – 200\왼쪽( {100} \오른쪽) + 13000 = 3000\)

답변

가능한 최저 비용은 $3000이며 의자 100개를 제조하면 달성됩니다.

적용 사례 5: 기하학

마름모의 면적은 21cm2입니다. 대각선의 길이의 합이 17cm라면 마름모의 각 대각선의 길이는?

문제 설명: 마름모의 면적은 다음과 같이 계산됩니다.

\(A = \frac{{DD}}{2}\)

\(D\) 및 \(d\)의 대각선 길이를 사용하면 다음과 같이 알 수 있습니다.

\(디 + 디 = 7\)

\(D = 17 – d\)

대체하면 다음을 얻습니다.

\(A = \frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2}\)

마지막으로 방정식을 얻습니다.

\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\)

해결책
\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\) 초기 상황
\(\left( {17 – d} \right) d = 42\) 방정식의 각 변에 \( – 40\)을 곱합니다.
\({d^2} – 17d + 42 = 0\) 제품이 개발되었습니다.
\(\left( {d – 14} \right)\left( {d – 3} \right) = 0\) \(\left( { – 14} \right)\left( { – 3} \ 오른쪽) = 42\) 및 \( – 14 – 3 = – 17\)
인수분해
방정식 \(d = 3.14\)의 해
답변:

마름모의 대각선 길이는 14cm와 3cm입니다.

적용 사례 6: 기하학

닭장의 바닥을 형성할 상당히 긴 울타리를 이용하여 140m2의 직사각형 닭장을 짓는 것이 바람직합니다. 나머지 3면은 34미터의 철망으로 시공할 예정인데, 전체 철망을 사용하려면 닭장의 길이와 너비는 얼마가 되어야 할까요?

동일한 조건에서 동일한 메쉬로 울타리를 칠 수 있는 최대 면적은 얼마입니까?

문제 설명: 다이어그램에 따르면 면적은 다음과 같습니다.

\(A\왼쪽( x \오른쪽) = x\왼쪽( {34 – 2x} \오른쪽) = 2x\왼쪽( {17 – x} \오른쪽)\)

여기서 \(x\)는 울타리에 수직인 변의 길이입니다.

140m2의 면적을 갖도록 직사각형의 측정을 알기 위해서는 방정식을 풀기에 충분합니다.

\(2x\왼쪽({17 – x} \오른쪽) = 140\)

\(A\left( x \right)\)의 그래프는 면적의 최대값을 계산하기 위해 아래쪽으로 열리는 포물선이므로 포물선의 꼭지점을 계산하는 것으로 충분하다.

답변
면적이 140m2인 직사각형 측정
펜스에 수직인 변의 길이

\(x\) 펜스와 평행한 변의 길이

\(34 – 2x\)
10 14
7 20

정점의 첫 번째 좌표는 \(h = \frac{{17}}{2}\)이고

\(A\left( h \right) = \frac{{289}}{2}\)

면적은 수직 변이 \(\frac{{17}}{2}\;\)m이고 평행 변이 17m일 때 17m이고 도달한 최대 면적의 값은 \(\frac{ {289}} {2}\)m2.

이차 함수의 그래프

기하학적 관점에서 근은 함수의 그래프가 \(x\) 축과 교차하는 지점입니다.

표현에서

\(f\왼쪽( x \오른쪽) = a{\왼쪽( {x – h} \오른쪽)^2} + k,\)

우리는 이차 함수 그래프의 일반적인 형태를 설정할 것입니다.

첫 번째 경우 \(a > 0\) 및 \(k > 0\)

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

\(엑스\)	\(f\왼쪽( x \오른쪽)\)
\(h – 1\)	\(a + k\)
\(h – 2\)	\(4a + k\)
\(h – 3\)	\(9a + k\)
\(h – 4\)	\(16a + 케이\)
\(시간\)	\(케이\)
\(시간 + 1\)	\(a + k\)
\(시간 + 2\)	\(4a + k\)
\(시간 + 3\)	\(9a + k\)
\(시간 + 4\)	\(16a + 케이\)

이 경우 그래프는 다음을 충족합니다.

대칭: 대칭축 \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) 즉, \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \오른쪽)\)

\(x\) 축 위에 있으며 교차하지 않습니다. 즉 \(f\left( x \right) > 0\)에는 실근이 없습니다.

그래프에서 가장 낮은 지점은 \(\left( {h, k} \right)\) 지점입니다. 즉 \(f\left( x \right) \ge f\left( h \right) = k\)

두 번째 경우 \(a < 0\) 및 \(k < 0\)

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

\(엑스\)	\(f\왼쪽( x \오른쪽)\)
\(h – 1\)	\(a + k\)
\(h – 2\)	\(4a + k\)
\(h – 3\)	\(9a + k\)
\(h – 4\)	\(16a + 케이\)
\(시간\)	\(케이\)
\(시간 + 1\)	\(4a + k\)
\(시간 + 2\)	\(9a + k\)
\(시간 + 3\)	\(4a + k\)
\(시간 + 4\)	\(16a + 케이\)

이 경우 그래프는 다음을 충족합니다.

대칭: 대칭축 \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) 즉, \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \오른쪽)\)

\(x\) 축 아래에 있으며 교차하지 않습니다. 즉 \(f\left( x \right) < 0\)에는 실근이 없습니다. 그래프에서 가장 높은 지점은 \(\left( {h, k} \right)\) 지점입니다. 그것은 \(f\left( x \right) \le f\left( h \right) = k\) 세 번째 경우 \(a > 0\) 및 \(k \le 0\)입니다.

이 경우는 첫 번째 경우와 비슷하지만 차이점은 이제 하나의 실근( \(k = 0\) 일 때) 또는 두 개의 실근이 있다는 것입니다.

이 경우 그래프는 다음을 충족합니다.

대칭: 대칭축 \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) 즉, \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \오른쪽)\)

그것은 \(x\) 축과 교차합니다. 즉, 적어도 하나의 실근을 가집니다.

그래프에서 가장 낮은 지점은 \(\left( {h, k} \right)\) 지점입니다. 즉 \(f\left( x \right) \ge f\left( h \right) = k\)

네 번째 경우 \(a < 0\) 및 \(k \ge 0\). 이 경우는 두 번째 경우와 비슷하지만 차이점은 이제 하나의 실근( \(k = 0\) 일 때) 또는 두 개의 실근이 있다는 것입니다. 이 경우 그래프는 다음을 충족합니다.

대칭: 대칭축 \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) 즉, \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \오른쪽)\)

그래프에서 가장 낮은 지점은 \(\left( {h, k} \right)\) 지점입니다. 즉 \(f\left( x \right) \le f\left( h \right) = k\)

이차 함수의 그래프를 포물선이라고 하며 강조 표시할 요소는 대칭축, 교차하는 점입니다. \(x\) 축과 꼭지점에 따라 함수의 그래프에서 최저점 또는 최고점에 도달하는 지점 사례.

수행된 분석을 기반으로 다음과 같이 말할 수 있습니다.

2차 함수 \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\)와 관련된 포물선의 정점은 \(\left( {h, k} \right)\)입니다. 여기서 :

\(h = – \frac{b}{{2a}},\;\;k = f\left( h \right)\)

예

이차 함수 \(y = {x^2}\)	중요한 요소
포물선의 정점	\(\왼쪽( {0,0} \오른쪽)\)
포물선의 대칭축	\(x = 0\)
\(x\) 축으로 가로채기	\(\왼쪽( {0,0} \오른쪽)\)

이차 함수 \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2}\)	중요한 요소
포물선의 정점	\(\왼쪽( {2,0} \오른쪽)\)
포물선의 대칭축	\(x = 2\)
\(x\) 축으로 가로채기	\(\왼쪽( {2,0} \오른쪽)\)

이차 함수 \(y = {\left( {x + 2} \right)^2} – 4\)	중요한 요소
포물선의 정점	\(\왼쪽( { – 2, – 4} \오른쪽)\)
포물선의 대칭축	\(x = – 2\)
\(x\) 축으로 가로채기	\(\왼쪽( { – 4,0} \오른쪽);\왼쪽( {0,0} \오른쪽)\)

이차 함수 \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 9} \right)^2} + 8\)	중요한 요소
포물선의 정점	\(\왼쪽( {9,8} \오른쪽)\)
포물선의 대칭축	\(x = 9\)
\(x\) 축으로 가로채기	\(\왼쪽( {5,0} \오른쪽);\왼쪽( {13,0} \오른쪽)\)

이차 함수 \(y = {x^2} + 1\)	중요한 요소
포물선의 정점	\(\왼쪽( {0,1} \오른쪽)\)
포물선의 대칭축	\(x = 0\)
\(x\) 축으로 가로채기	이 없습니다

이차 함수 \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2} – 1\)	중요한 요소
포물선의 정점	\(\왼쪽( {2, – 1} \오른쪽)\)
포물선의 대칭축	\(x = 2\)
\(x\) 축으로 가로채기	이 없습니다

이차 함수의 실근이 존재하는 경우 관련 포물선을 그래프로 그릴 수 있습니다. \(f\left( x \right) = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\)

이를 위해서는 다음 사항을 고려해야 합니다.

\(\알파 + \베타 = – \frac{b}{a}\)

\(\frac{{\alpha + \beta }}{2} = – \frac{b}{{2a}} = h\)

처럼

\(k = f\왼쪽(h \오른쪽)\)

\(k = f\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2}} \right)\)

\(k = a\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \alpha } \right)\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \ 베타 } \right)\)

\(k = – \frac{a}{4}{\left( {\alpha – \beta } \right)^2}\)

예

이차 함수 \(f\left( x \right) = \frac{1}{4}\left( {x – 3} \right)\left( {x + 6} \right )\)의 그래프를 스케치합니다.

해결책

근은 \(\alpha = 3\;\) 및 \(\beta = – 6\)입니다. 그런 다음 \(h = \frac{{3 – 6}}{2} = – \frac{3}{2}\).

\(k = f\left( { – \frac{3}{2}} \right) = 2\left( { – \frac{3}{2} – 3} \right)\left( { – \frac {3}{2} + 6} \right) = \frac{1}{4}\left( { – \frac{9}{2}} \right)\left( {\frac{9}{2}} \right) = – \frac{{81}}{{16}}\)

따라서 다음 테이블을 만들 수 있습니다.

\(f\왼쪽( x \오른쪽) = 2\왼쪽( {x – 3} \오른쪽)\왼쪽( {x + 6} \오른쪽)\)	중요한 요소
포물선의 정점	\(\left( { – \frac{3}{2}, – \frac{{81}}{2}} \right)\)
포물선의 대칭축	\(x = – \frac{{81}}{2}\)
\(x\) 축으로 가로채기	\(\왼쪽( { – 6,0} \오른쪽)\;,\;\왼쪽( {3,0} \오른쪽)\)

함수의 그래프를 스케치하려면:

\(에프\왼쪽( x \오른쪽) = 3{x^2} – 18x + 4\)

우리는 이미 사용한 것과 동일한 아이디어를 사용할 것입니다. 이를 위해 먼저 정점을 결정합니다.

이 경우 \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\)입니다.

\(a > 0\)이므로 포물선은 "열리고 \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \left( {\frac{{ – 18}}{{3\left ( 2 \right)}}} \right) = 3.\) 다음으로 \(k:\)를 계산합니다.

\(k = f\left( h \right) = f\left( 3 \right) = 3{\left( 3 \right)^2} – 18\left( 3 \right) + 4 = – 23\)

포물선의 꼭지점은 \(\left( {3, – 23} \right)\)이고 위쪽으로 열리므로 포물선은 \(x\;\) 축과 교차하고 대칭축은 \ (x = 3\).

이제 이차함수를 생각해보자

\(f\왼쪽( x \오른쪽) = – 5{x^2} + 10x – 9\)

이 경우 \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\)입니다.

\(a < 0\)이므로 포물선은 아래쪽으로 "열리고" \(h = - \frac{b}{{2a}} = - \left( {\frac{{10}}{{\left( 2 \right)\left( { - 5} \right)}}} \right) = 1.\) A 다음으로 \(k:\) \(k = f\left( h \right) = f\left( 1 \right) = - 5{\left( 1 \right)^2} + 10\left( 1 \ 오른쪽) - 9 = - 4\) 포물선은 \(\left( {1, - 4} \right)\)에 있고 아래쪽으로 열리므로 포물선은 \(x\;\) 축과 교차하지 않으며 대칭축은 \(x = 1.\)